Pendolo composto

Prima: Energia cinetica e lavoro nella rotazioneUn corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso ha energia cinetica I ω²/2; il lavoro di un momento è ∫ M dθ e la potenza è M ω. Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i corpi rigidi, con König per i moti di rototraslazione.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →. È la versione "rigida" del Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice → e porta di nuovo al Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →. Seguito: Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento →; il metodo generale delle piccole oscillazioni è in Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore →. Esercizi: Esercizio 63 · asta con momento d'attrito urtata da un corpo puntiforme.

Definizione

Un pendolo composto (o pendolo fisico) è un corpo rigido di massa $m$ libero di ruotare, sotto l'azione del peso, attorno a un asse orizzontale fisso che non passa per il suo centro di massa. Chiamiamo:

• $O$ il punto dove l'asse incontra il piano del moto (il punto di sospensione);
• $h$ la distanza tra $O$ e il centro di massa $G$;
• $I$ il momento d'inerzia rispetto all'asse per $O$;
• $\theta$ l'angolo tra il segmento $OG$ e la verticale verso il basso.

La posizione di equilibrio stabile è $\theta = 0$: il CM sta sulla verticale sotto $O$.

Equazione del moto

Le forze esterne sono il peso $m\vec g$, applicato in $G$, e la reazione del perno, applicata in $O$. Rispetto all'asse per $O$ la reazione ha momento nullo (passa per l'asse) e il peso ha braccio $h\sin\theta$. Il momento del peso tende sempre a riportare il corpo verso $\theta = 0$, quindi ha segno opposto a $\theta$:

$$M_z = -m g h\sin\theta$$

Dalla seconda equazione cardinalePer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso il momento delle forze esterne lungo l'asse è uguale a I per l'accelerazione angolare.Rotazione attorno a un asse fisso → $M_z = I\ddot\theta$:

Legge (equazione del moto del pendolo composto). $$I\,\ddot\theta = -m g h\sin\theta \qquad\Longrightarrow\qquad \ddot\theta + \frac{m g h}{I}\sin\theta = 0$$

Esempio. Asta di $0{,}6$ kg e $0{,}8$ m appesa per un estremo ($I = 0{,}128\ \text{kg m}^2$, $h = 0{,}4$ m): per $\theta = 0{,}1$ rad è $\ddot\theta = -\frac{mgh}{I}\sin\theta = -1{,}84\ \text{rad/s}^2$.

Piccole oscillazioni

Per angoli piccoli (in radianti) $\sin\theta \approx \theta$: per esempio $\sin(0{,}1) = 0{,}0998$, errore dello $0{,}2\%$; anche a $\theta = 15° = 0{,}26$ rad l'errore è solo dell'$1\%$. L'equazione diventa

Formula (pulsazione delle piccole oscillazioni del pendolo composto). $$\ddot\theta + \Omega^2\,\theta = 0, \qquad \Omega = \sqrt{\frac{m g h}{I}}$$

Esempio. Stessa asta: $\Omega = \sqrt{\frac{0{,}6\cdot9{,}81\cdot0{,}4}{0{,}128}} = 4{,}29\ \text{rad/s}$.

che è l'equazione del moto armonicoL'equazione x'' + Ω² x = 0 ha per soluzioni x(t) = A cos(Ω t + φ): oscillazioni sinusoidali di pulsazione Ω.Moto armonico semplice →. La soluzione è

$$\theta(t) = \theta_0\cos(\Omega t + \varphi)$$

con ampiezza $\theta_0$ e fase $\varphi$ fissate dalle condizioni iniziali, e il periodo delle piccole oscillazioni è

Formula (periodo del pendolo composto). $$\boxed{T = \frac{2\pi}{\Omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g h}}}$$

Esempio. Stessa asta: $T = \frac{2\pi}{4{,}29} = 1{,}47$ s.

Il periodo non dipende dall'ampiezza (finché le oscillazioni sono piccole): è l'isocronismo delle piccole oscillazioni, già visto per il pendolo semplice.

Controllo dimensionale: $\frac{[I]}{[m][g][h]} = \frac{[M][L]^2}{[M][L][T]^{-2}[L]} = [T]^2$, quindi $\sqrt{\cdot}$ è un tempo ✓.

Caso limite: pendolo semplice. Se tutta la massa è concentrata in un punto a distanza $\ell$ da $O$, allora $h = \ell$, $I = m\ell^2$ e $T = 2\pi\sqrt{\frac{m\ell^2}{mg\ell}} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$: la formula del Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice →.

Lunghezza ridotta

Confrontando le due formule, un pendolo composto oscilla con lo stesso periodo di un pendolo semplice di lunghezza

Definizione (lunghezza ridotta). $$\ell_r = \frac{I}{m h}$$

Esempio. Asta di $\ell = 0{,}8$ m appesa per un estremo: $\ell_r = \frac{2}{3}\ell = 0{,}533$ m, cioè oscilla come un pendolo semplice lungo $53{,}3$ cm.

detta lunghezza ridotta del pendolo composto: $T = 2\pi\sqrt{\ell_r/g}$. Per Steiner $I = I_G + mh^2$, quindi

$$\ell_r = h + \frac{I_G}{m h} > h$$

La lunghezza ridotta è sempre maggiore della distanza del CM dall'asse: un pendolo composto oscilla più lentamente di un pendolo semplice con la massa tutta nel suo CM. Il punto sulla retta $OG$ a distanza $\ell_r$ da $O$ si chiama centro di oscillazione.

Esempi

1. Asta appesa per un estremo. Asta omogenea di lunghezza $\ell$: $h = \frac{\ell}{2}$, $I = \frac13 m\ell^2$,

$$\ell_r = \frac{\frac13 m\ell^2}{m\,\ell/2} = \frac23\ell, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{2\ell}{3g}}$$

Con $\ell = 0{,}8$ m: $\ell_r = 0{,}533$ m e $T = 2\pi\sqrt{0{,}533/9{,}81} = 1{,}47$ s.

2. Disco appeso a un punto del bordo. Disco di raggio $R$ che oscilla nel suo piano attorno a un asse per un punto del bordo: $h = R$, $I = \frac12 mR^2 + mR^2 = \frac32 mR^2$, quindi $\ell_r = \frac32 R$. Con $R = 0{,}2$ m: $T = 2\pi\sqrt{0{,}3/9{,}81} = 1{,}10$ s.

3. Asta con un corpo puntiforme incollato all'estremo (tema del 14 giugno 2023, problema 2): asta di massa $m_a = 0{,}6$ kg e lunghezza $\ell = 0{,}8$ m appesa per un estremo, con una massa $m = 0{,}1$ kg incollata all'altro estremo. Si calcolano

$$I = \frac13 m_a\ell^2 + m\ell^2 = 0{,}192\ \text{kg}\,\text{m}^2, \qquad (m_a + m)\,h = m_a\frac{\ell}{2} + m\ell = 0{,}32\ \text{kg}\,\text{m}$$

(il prodotto massa totale per distanza del CM si ottiene direttamente dalla definizione di CM, senza calcolare $h$ a parte). Allora $\ell_r = \frac{0{,}192}{0{,}32} = 0{,}6$ m e $T = 2\pi\sqrt{0{,}6/9{,}81} = 1{,}55$ s.

Energia del pendolo composto

Senza attriti l'energia meccanica si conserva. Con $U = mg\,y_G$ e la quota del CM $y_G = -h\cos\theta$ (origine in $O$):

$$\frac12 I\dot\theta^2 - m g h\cos\theta = \text{costante}$$

Da qui si ricava la velocità angolare in qualunque posizione, anche per oscillazioni ampie, dove la formula del periodo non vale più. Per esempio, lasciato da fermo con $\theta = \theta_0$, passa per la verticale con

Formula (velocità angolare massima del pendolo composto). $$\omega_{max} = \sqrt{\frac{2 m g h\,(1 - \cos\theta_0)}{I}}$$

Esempio. Stessa asta lasciata da $\theta_0 = 0{,}2$ rad: $\omega_{\max} = \sqrt{\frac{2\cdot0{,}6\cdot9{,}81\cdot0{,}4\,(1-\cos0{,}2)}{0{,}128}} = 0{,}86\ \text{rad/s}$.

Impulso angolare

La seconda equazione cardinale $\vec M = \frac{d\vec L}{dt}$ si può integrare nel tempo, come si fa con $\vec F = \frac{d\vec p}{dt}$ per ottenere il teorema dell'impulso (Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso →):

$$\int_{t_1}^{t_2}\vec M\,dt = \vec L(t_2) - \vec L(t_1) = \Delta\vec L$$

L'integrale a sinistra si chiama impulso angolare (o momento dell'impulso). Per un corpo che ruota attorno a un asse fisso: $\int M_z\,dt = I\,\Delta\omega$.

Quando serve. Nei fenomeni impulsivi (colpi, urti) agiscono forze grandissime per tempi brevissimi; non si conoscono le forze ma si conosce, o si cerca, il loro effetto complessivo. Se una forza impulsiva $\vec F$ con impulso $\vec J = \int\vec F\,dt$ colpisce un corpo imperniato in un punto a distanza $b$ (braccio) dall'asse:

Formula (impulso angolare). $$I\,\Delta\omega = J\,b$$

Esempio. Una mazza colpisce l'estremo di un'asta ferma imperniata nel centro ($\ell = 0{,}8$ m, $m = 0{,}5$ kg, $I = \frac{1}{12}m\ell^2 = 0{,}0267\ \text{kg}\,\text{m}^2$) con un impulso perpendicolare $J = 0{,}2$ N·s. Il braccio è $\ell/2 = 0{,}4$ m:

$$\omega = \frac{J\,\ell/2}{I} = \frac{0{,}2\cdot 0{,}4}{0{,}0267} = 3{,}0\ \text{rad/s}$$

Il perno, durante il colpo, esercita a sua volta un impulso: in questo caso, con il CM fermo sull'asse, deve annullare la quantità di moto ricevuta, quindi $J_{perno} = -J$. Il calcolo dell'impulso del vincolo è svolto in generale in Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →.

Errori comuni

• Usare $I_G$ invece di $I$ rispetto all'asse di sospensione nella formula del periodo.
• Dimenticare che $h$ è la distanza del CM dall'asse, non la lunghezza del corpo.
• Applicare la formula del periodo a oscillazioni ampie: vale solo per $\sin\theta \approx \theta$. Per le grandi oscillazioni si usa l'energia.
• Usare gli angoli in gradi dentro $\cos(\Omega t)$ o nell'approssimazione $\sin\theta \approx \theta$.