Moto smorzato esponenzialmente

Primo esempio di moto rettilineo con accelerazione non costante: qui le formule del Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato → non valgono e bisogna integrare a partire dalle definizioni di Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →. È il moto di un corpo frenato da un fluido (una barca a motore spento, una pallina che si muove nell'olio): la causa fisica, la forza di attrito viscoso, si vedrà in Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso →. Esercizio: Esercizio 3 · barca a motore spento.

La legge dell'accelerazione

Il moto si dice smorzato esponenzialmente quando l'accelerazione è proporzionale alla velocità e di verso opposto:

Definizione (moto smorzato esponenzialmente). $$a = -k\,v \qquad (k > 0)$$

Esempio. Con $k = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$ e $v = 10\ \text{m/s}$: $a = -0{,}5\cdot10 = -5\ \text{m/s}^2$; quando $v$ scende a $2\ \text{m/s}$ la frenata è solo $a = -1\ \text{m/s}^2$.

Il segno meno dice che l'accelerazione si oppone sempre al moto (se $v > 0$ allora $a < 0$ e viceversa), quindi il corpo rallenta sempre. Più va veloce, più rallenta in fretta; quando è quasi fermo, rallenta pochissimo.

Dimensioni di $k$. Da $[a] = [k][v]$ si ricava $[k] = \frac{[L][T]^{-2}}{[L][T]^{-1}} = [T]^{-1}$: $k$ si misura in $\text{s}^{-1}$. Per questo si scrive di solito $k = \frac{1}{\tau}$, dove

Definizione (costante di tempo). $$\tau = \frac{1}{k} \quad [\text{s}]$$

è un tempo, detto costante di tempo del moto. L'accelerazione diventa $a = -\dfrac{v}{\tau}$.

Esempio. $k = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$ dà $\tau = 2$ s: ogni $\tau$ la velocità si riduce al $37\%$, e si dimezza in $\tau\ln2 = 1{,}39$ s.

La velocità

Si deve risolvere $\dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{v}{\tau}$ con $v(0) = v_0$. È un'equazione a variabili separabili: si portano le $v$ a sinistra e le $t$ a destra (si può fare finché $v \neq 0$),

$$\frac{dv}{v} = -\frac{dt}{\tau}$$

e si integra tra l'istante iniziale (velocità $v_0$) e un istante generico $t$ (velocità $v$):

$$\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v'} = -\frac{1}{\tau}\int_0^t dt' \quad \Longrightarrow \quad \ln\frac{v}{v_0} = -\frac{t}{\tau}$$

(si è usato $\ln v - \ln v_0 = \ln\frac{v}{v_0}$; $v$ e $v_0$ hanno lo stesso segno, perché la velocità non cambia mai segno, come si vede dal risultato). Prendendo l'esponenziale di entrambi i membri:

Legge della velocità (moto smorzato). $$\boxed{v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}}$$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$, $\tau = 2$ s: $v(4) = 10\,e^{-2} = 1{,}35\ \text{m/s}$.

Controllo: derivando, $\frac{dv}{dt} = v_0 \cdot \left(-\frac1\tau\right) e^{-t/\tau} = -\frac{v}{\tau}$ ✓, e $v(0) = v_0 e^0 = v_0$ ✓.

Significato della costante di tempo

• Dopo un tempo $\tau$ la velocità si è ridotta al $37\%$ circa; dopo ogni ulteriore $\tau$ si riduce di nuovo allo stesso fattore $e^{-1}$.
• La velocità non si annulla mai esattamente ($e^{-t/\tau} > 0$ per ogni $t$), ma dopo $5\tau$ è meno dell'$1\%$ di quella iniziale: in pratica il corpo è fermo.
• $\tau$ ha anche un'interpretazione grafica: la tangente al grafico di $v(t)$ nell'istante $t = 0$ ha pendenza $a(0) = -\frac{v_0}{\tau}$, quindi taglia l'asse dei tempi proprio in $t = \tau$. È il tempo in cui il corpo si fermerebbe se continuasse a rallentare con l'accelerazione iniziale.

La legge oraria

Integrando la velocità, con posizione iniziale $x_0$:

Legge oraria (moto smorzato). $$x(t) = x_0 + \int_0^t v_0\,e^{-t'/\tau}\,dt' = x_0 + v_0\Big[-\tau\,e^{-t'/\tau}\Big]_0^t = x_0 + v_0\,\tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

Esempio. $x_0 = 0$, $v_0 = 10\ \text{m/s}$, $\tau = 2$ s: $x(4) = 20\,(1 - e^{-2}) = 17{,}3$ m.

(una primitiva di $e^{-t/\tau}$ è $-\tau e^{-t/\tau}$: derivandola si ritrova $e^{-t/\tau}$.)

Lo spazio percorso è finito. Per $t \to +\infty$ l'esponenziale tende a $0$ e

Formula (spazio totale percorso). $$x_\infty = \lim_{t \to +\infty} x(t) = x_0 + v_0\,\tau$$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$, $\tau = 2$ s: $x_\infty - x_0 = 20$ m; già a $t = 6$ s ($3\tau$) ha percorso il $1 - e^{-3} = 95\%$ di questa distanza.

Il corpo non si ferma mai del tutto, ma non supera mai la posizione $x_0 + v_0 \tau$: la distanza totale percorsa è $v_0 \tau$. Sembra un paradosso (si muove per un tempo infinito e percorre uno spazio finito), ma è come la somma $1 + \frac12 + \frac14 + \dots = 2$: i contributi diventano piccoli abbastanza in fretta.

Velocità in funzione della posizione

Dalle due leggi: $e^{-t/\tau} = \frac{v}{v_0}$, quindi $x - x_0 = v_0\tau\left(1 - \frac{v}{v_0}\right) = \tau\,(v_0 - v)$, cioè

Formula (velocità in funzione della posizione). $$v = v_0 - \frac{x - x_0}{\tau}$$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$, $\tau = 2$ s: dopo $x - x_0 = 12{,}6$ m è $v = 10 - \frac{12{,}6}{2} = 3{,}7\ \text{m/s}$.

La velocità diminuisce linearmente con lo spazio percorso (non con il tempo!). Lo stesso risultato si ottiene con il metodo $a = v\frac{dv}{dx}$: da $v\frac{dv}{dx} = -\frac{v}{\tau}$ si ha $\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\tau}$, una costante.

Esempio numerico

Una barca procede a $v_0 = 10\ \text{m/s}$ quando si spegne il motore; l'acqua la frena con costante di tempo $\tau = 2\ \text{s}$.

Lo spazio totale è $v_0 \tau = 20$ m. Già dopo $6$ s (tre costanti di tempo) ha percorso il $95\%$ di questa distanza.

Il caso con un'accelerazione costante in più

Se oltre all'attrito c'è un'accelerazione costante $a_0$ (per esempio la gravità per un corpo che cade in un fluido), l'accelerazione è $a = a_0 - \frac{v}{\tau}$. La velocità tende allora a un valore limite $v_\ell = a_0 \tau$, in corrispondenza del quale l'accelerazione si annulla, e con $v_0 = 0$ vale $v(t) = v_\ell\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$. Questo caso, la velocità limite, si studia in Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso →.

Riassunto

Errori comuni

• Usare $x = x_0 + v_0 t + \frac12 a t^2$: vale solo con accelerazione costante, qui l'accelerazione cambia istante per istante.
• Dire che il corpo si ferma dopo un tempo $\tau$: dopo $\tau$ ha ancora il $37\%$ della velocità iniziale; si ferma solo asintoticamente.
• Sbagliare la primitiva di $e^{-t/\tau}$ (è $-\tau\,e^{-t/\tau}$, non $-\frac1\tau e^{-t/\tau}$): il controllo dimensionale aiuta, perché $v_0\tau$ deve essere una lunghezza.