Statica del corpo rigido

Ultimo argomento del capitolo sul corpo rigido. Prima: Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →. Usa le Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →, il momento delle forze (Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →) e l'attrito statico (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →). Esercizi: Esercizio 67 · disco spinto contro un gradino, Esercizio 60 · due dischi incollati appesi con un blocchetto (punto a).

Le equazioni cardinali della statica

Un corpo rigido è in equilibrio se, lasciato fermo, resta fermo: il centro di massa non accelera e il corpo non inizia a ruotare. Dalle due equazioni cardinali (Corpo rigido e suo centro di massaUn corpo rigido è un sistema di punti a distanze reciproche fisse. Il suo centro di massa si calcola con integrali sulla densità (e con le simmetrie); il moto più generale è una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno a un asse.Corpo rigido e suo centro di massa →), con $\vec a_{CM} = 0$ e $\vec L$ costante (nullo):

Legge (equazioni cardinali della statica). $$\boxed{\vec F^{(e)} = \sum \vec F_i = 0 \qquad\text{e}\qquad \vec M^{(e)}_O = \sum \vec r_i\times\vec F_i = 0}$$

Esempio. Trave appoggiata in $A$ e $B$ distanti $2$ m con un carico di $100$ N a $0{,}5$ m da $A$ (peso della trave trascurato): momenti rispetto ad $A$, $R_B\cdot2 = 100\cdot0{,}5$, quindi $R_B = 25$ N e $R_A = 100 - 25 = 75$ N.

Entrambe sono necessarie:

• la sola condizione sulle forze non basta: due forze uguali e opposte applicate agli estremi di un'asta, non sulla stessa retta (una coppia), hanno risultante nulla ma fanno ruotare l'asta;
• la sola condizione sui momenti non basta: una forza che passa per il polo ha momento nullo ma sposta il corpo.

Per un problema piano (tutte le forze in un piano, rotazioni attorno ad assi perpendicolari a quel piano) sono tre equazioni scalari: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M_z = 0$. Quindi si possono trovare al massimo tre incognite.

La scelta del polo

Se la risultante delle forze è nulla, il momento totale è lo stesso rispetto a qualunque polo. Infatti, cambiando polo da $O$ a $O'$:

$$\vec M_{O'} = \sum (\vec r_i - \vec r_{O'})\times\vec F_i = \vec M_O - \vec r_{O'}\times\sum\vec F_i = \vec M_O$$

Quindi in statica il polo si sceglie liberamente, e lo si sceglie in modo furbo: nel punto dove sono applicate le forze incognite che non interessano (o il maggior numero di incognite). Rispetto a quel punto quelle forze hanno momento nullo e spariscono dall'equazione dei momenti, che si risolve subito.

Il metodo

1. Isolare il corpo e disegnare tutte le forze esterne, ciascuna nel suo punto di applicazione: peso nel CM, reazioni nei punti di appoggio, tensioni dei fili, forze applicate. L'attrito statico in ogni appoggio scabro, con verso ipotizzato (se esce negativo, il verso era l'opposto).
2. Contare incognite ed equazioni (3 nel piano).
3. Equazione dei momenti rispetto al polo più comodo.
4. Equazioni delle forze per le reazioni rimaste.
5. Controlli: le reazioni normali devono uscire $\ge 0$ (un appoggio può solo spingere: se esce negativa il corpo si stacca); l'attrito statico deve rispettare $|f_s| \le \mu_s N$.

Esempio 1: la scala appoggiata al muro

Una scala omogenea di massa $m = 10$ kg e lunghezza $\ell$ è appoggiata a un muro liscio e a un pavimento scabro, e forma un angolo $\alpha = 60°$ con il pavimento. Quanto deve valere almeno il coefficiente d'attrito statico perché non scivoli?

Forze: peso $mg$ nel punto medio; nel piede $A$ la normale $N_A$ (verticale, verso l'alto) e l'attrito $f_s$ (orizzontale, verso il muro: il piede tenderebbe a scivolare via dal muro); nella sommità $B$ la normale del muro $N_B$ (orizzontale, verso l'esterno; niente attrito perché il muro è liscio). Tre incognite: $N_A$, $f_s$, $N_B$.

Momenti rispetto al piede $A$ (così $N_A$ e $f_s$ spariscono). Il peso ha braccio $\frac{\ell}{2}\cos\alpha$ (distanza orizzontale tra $A$ e il punto medio), $N_B$ ha braccio $\ell\sin\alpha$ (quota di $B$); i due momenti hanno versi opposti:

$$N_B\,\ell\sin\alpha = m g\,\frac{\ell}{2}\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad N_B = \frac{m g}{2\tan\alpha}$$

Forze: in verticale $N_A = mg$; in orizzontale $f_s = N_B = \frac{mg}{2\tan\alpha}$.

Condizione di non scivolamento: $f_s \le \mu_s N_A$, cioè

Formula (attrito minimo per una scala appoggiata). $$\mu_s \ge \frac{1}{2\tan\alpha} = \frac{1}{2\tan60°} = 0{,}289$$

Esempio. Scala inclinata di $\alpha = 45°$: $\mu_s \ge \frac{1}{2\tan45°} = 0{,}5$; a $60°$ basta $0{,}289$.

Numericamente $N_B = f_s = \frac{98{,}1}{3{,}464} = 28{,}3$ N. Osservazioni: la lunghezza della scala si semplifica; più la scala è inclinata (α piccolo) più attrito serve. Una scala quasi verticale non scivola quasi mai.

Esempio 2: il disco contro il gradino

(Tema d'esame del 12 giugno 2014, svolto per intero in Esercizio 67 · disco spinto contro un gradino.) Un disco di massa $m = 0{,}4$ kg e raggio $R = 0{,}3$ m poggia su un pavimento liscio, accostato a un gradino di altezza $h = 0{,}1$ m con spigolo $O$. Nel centro si applica una forza orizzontale $F$ verso il gradino. Qual è la forza minima per far salire il disco?

Geometria: il centro $C$ è a quota $R$, lo spigolo a quota $h$, quindi il dislivello è $R - h = 0{,}2$ m e la distanza orizzontale tra $C$ e $O$ è $d = \sqrt{R^2 - (R - h)^2} = 0{,}224$ m.

Momenti rispetto allo spigolo $O$ (la reazione dello spigolo, incognita, sparisce): $F$ ha braccio $R - h$ e tende a far salire il disco; il peso ha braccio $d$ e lo tiene giù; la normale $\Phi_P$ del pavimento (in $P$, sotto il centro) ha braccio $d$ e aiuta a salire. All'equilibrio:

$$F(R - h) - m g\,d + \Phi_P\,d = 0$$

Al crescere di $F$ la reazione del pavimento diminuisce; il disco si stacca quando $\Phi_P = 0$:

$$F_{min} = \frac{m g\,d}{R - h} = \frac{0{,}4\cdot9{,}81\cdot0{,}224}{0{,}2} = 4{,}39\ \text{N}$$

Esempio 3: il portacarichi

(Tema d'esame del 14 settembre 2015.) Un carrello portacarichi è fatto da un'asse $AO$ (massa $m = 5$ kg, lunghezza $\ell = 1{,}6$ m) e da una ruota di centro $O$ (massa $m_R = 3$ kg); porta un carico di massa $M = 50$ kg con il CM $G$ a distanza $OG = 0{,}9$ m dall'asse della ruota, con $OG$ inclinato di $\beta = 50°$ sull'orizzontale. Il facchino lo tiene fermo con una forza verticale $F_V$ in $A$, con l'asse inclinato di $\alpha = 30°$.

Momenti rispetto a $O$ (la reazione del pavimento sulla ruota passa per il punto di contatto, sulla verticale di $O$, quindi ha braccio nullo; così pure il peso della ruota). I bracci sono le distanze orizzontali da $O$: $\ell\cos\alpha$ per $F_V$, $\frac{\ell}{2}\cos\alpha$ per il peso dell'asse, $h\cos\beta$ per il peso del carico:

$$F_V\,\ell\cos\alpha = m g\,\frac{\ell}{2}\cos\alpha + M g\,h\cos\beta \quad\Longrightarrow\quad F_V = 229\ \text{N}$$

Forze verticali: $F_V + \Phi = (M + m + m_R)g$, quindi $\Phi = 569 - 229 = 340$ N. Il facchino sostiene circa il $40\%$ del peso totale: è il vantaggio della leva.

Equilibrio stabile, instabile, indifferente

Per un corpo soggetto solo al peso e a vincoli fissi, l'equilibrio è:

• stabile se, spostato di poco, il corpo torna verso la posizione di equilibrio: il CM è nel punto più basso possibile (pendolo composto fermo sotto il perno; energia potenziale minima);
• instabile se, spostato di poco, si allontana: il CM è nel punto più alto (asta in equilibrio verticale sopra il perno; energia potenziale massima);
• indifferente se resta in equilibrio anche nelle posizioni vicine: il CM sta sull'asse di rotazione (ruota imperniata nel centro).

Un corpo appoggiato su una base è in equilibrio se la verticale per il CM cade dentro la base d'appoggio; se esce dalla base il momento del peso rispetto allo spigolo lo fa ribaltare.

Errori comuni

• Imporre solo $\sum\vec F = 0$ dimenticando i momenti, o viceversa.
• Calcolare i momenti con la distanza dal punto di applicazione invece del braccio (distanza del polo dalla retta d'azione): nella scala il braccio del peso rispetto al piede è $\frac{\ell}{2}\cos\alpha$, non $\frac{\ell}{2}$.
• Scrivere $f_s = \mu_s N$ in una situazione di equilibrio generico: l'attrito statico vale quanto serve; $\mu_s N$ si usa solo per la condizione limite.
• Accettare una reazione normale negativa: significa che il contatto si è perso e il corpo non è più in equilibrio in quella configurazione.