Macchine termiche e frigorifere

Inizio del capitolo sul secondo principio. Prima: Primo principio della termodinamicaUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica → e Trasformazioni dei gas idealiPer ogni trasformazione di un gas ideale si calcolano ΔU = n c_V ΔT, il lavoro W e il calore Q = ΔU + W. Isocora: W = 0. Isobara: W = nRΔT, Q = n c_p ΔT. Isoterma reversibile: ΔU = 0, Q = W = nRT ln(Vf/Vi). Adiabatica reversibile: Q = 0, pV^γ costante. Adiabatica irreversibile: n c_V ΔT = −p_est ΔV.Trasformazioni dei gas ideali →, che servono per calcolare calore e lavoro di ogni tratto di un ciclo. Seguito: Secondo principio della termodinamicaNon esiste una macchina ciclica che trasformi in lavoro tutto il calore preso da un solo serbatoio (Kelvin-Planck), né una che porti calore dal freddo al caldo senza lavoro (Clausius): i due enunciati sono equivalenti. Trasformazioni reversibili e irreversibili.Secondo principio della termodinamica →. Esercizi: Esercizio 86 · ciclo di Stirling reversibile e irreversibile, Esercizio 90 · frigorifero tra acqua bollente e ghiaccio.

Convenzioni sui segni

Come nei temi d'esame del corso, per il gas (o il fluido) che lavora nella macchina:

• $Q > 0$ se il calore è assorbito dal gas, $Q < 0$ se è ceduto;
• $W > 0$ se il lavoro è compiuto dal gas (espansione), $W < 0$ se è subito (compressione);
• primo principio: $\Delta U = Q - W$.

Serbatoi di calore

Un serbatoio (o termostato) è un corpo così grande che, scambiando calore con un sistema, la sua temperatura non cambia: l'aria dell'ambiente, il mare, una miscela di acqua e ghiaccio a $273{,}15\ \text{K}$ (finché c'è ghiaccio, il calore ricevuto lo fonde senza alzare la temperatura), una miscela di acqua e vapore a $373{,}15\ \text{K}$. Negli esercizi i serbatoi sono le "sorgenti" con cui la macchina scambia calore.

Che cos'è una macchina termica

Una macchina termica è un dispositivo che trasforma calore in lavoro in modo continuo. Per poterlo fare indefinitamente, il fluido che lavora dentro la macchina (di solito un gas) deve compiere un ciclo: una sequenza di trasformazioni che lo riporta allo stato iniziale, da ripetere quante volte si vuole.

Bilancio di un ciclo. L'energia interna è una funzione di statoUna grandezza il cui valore dipende solo dallo stato del sistema (p, V, T) e non da come ci si è arrivati: dopo un giro completo torna al valore iniziale., e alla fine del ciclo il gas è tornato nello stato iniziale, quindi $\Delta U_{\text{ciclo}} = 0$. Dal primo principio:

$$0 = Q_{\text{ciclo}} - W_{\text{ciclo}} \quad \Longrightarrow \quad W = Q_{\text{ciclo}} = Q_{\text{ass}} + Q_{\text{ced}}$$

dove $Q_{\text{ass}} > 0$ è la somma dei calori assorbiti nei tratti in cui il gas riceve calore e $Q_{\text{ced}} < 0$ la somma dei calori ceduti. Il lavoro prodotto in un ciclo è la differenza tra il calore che entra e quello che esce: $W = Q_{\text{ass}} - |Q_{\text{ced}}|$.

Nel piano di Clapeyron $(V, p)$ il ciclo è una curva chiusa e il lavoro $W = \oint p\,dV$ è l'area racchiusa: positiva se il ciclo è percorso in senso orario (macchina termica, motore), negativa se è percorso in senso antiorario (macchina frigorifera).

Rendimento

Il rendimento dice quale frazione del calore assorbito diventa lavoro:

Definizione (rendimento di una macchina termica). $$\boxed{\eta = \frac{W}{Q_{\text{ass}}} = \frac{Q_{\text{ass}} + Q_{\text{ced}}}{Q_{\text{ass}}} = 1 + \frac{Q_{\text{ced}}}{Q_{\text{ass}}} = 1 - \frac{|Q_{\text{ced}}|}{Q_{\text{ass}}}}$$

È un numero puro. Poiché $|Q_{\text{ced}}| \ge 0$, si ha sempre $\eta \le 1$; il Secondo principio della termodinamicaNon esiste una macchina ciclica che trasformi in lavoro tutto il calore preso da un solo serbatoio (Kelvin-Planck), né una che porti calore dal freddo al caldo senza lavoro (Clausius): i due enunciati sono equivalenti. Trasformazioni reversibili e irreversibili.Secondo principio della termodinamica → dice di più: $|Q_{\text{ced}}|$ non può mai essere zero, quindi $\eta < 1$ sempre. Una parte del calore assorbito va obbligatoriamente ceduta a un corpo più freddo.

Attenzione a cosa va in $Q_{\text{ass}}$: si sommano solo i calori positivi, tratto per tratto. Non si usa il calore totale del ciclo (che è $W$).

Esempio. Un ciclo assorbe $Q_{\text{ass}} = 5000\ \text{J}$ e cede $|Q_{\text{ced}}| = 3995\ \text{J}$. Il lavoro è $W = 5000 - 3995 = 1005\ \text{J}$ e il rendimento $\eta = \frac{1005}{5000} = 0{,}201$: solo il $20\%$ del calore diventa lavoro.

Macchina frigorifera e pompa di calore

Percorrendo un ciclo in senso antiorario il gas subisce lavoro ($W < 0$), assorbe calore $Q_{\text{ass}} = Q_2 > 0$ da un corpo freddo (l'interno del frigorifero) e cede calore $|Q_{\text{ced}}| = |Q_2| + |W|$ a un corpo caldo (la stanza). Il risultato è portare calore dal freddo al caldo, cosa che spontaneamente non succede: per farlo serve lavoro dall'esterno (il motore elettrico del compressore).

Efficienza (coefficiente di prestazione) del frigorifero: l'utile è il calore tolto al corpo freddo, il costo è il lavoro speso:

Definizione (efficienza di una macchina frigorifera). $$\boxed{\xi = \frac{Q_{\text{ass}}}{|W|}}$$

Esempio. Un frigorifero che assorbe $Q_{ass} = 300$ J dalla cella spendendo $|W| = 100$ J ha $\xi = \frac{300}{100} = 3$.

A differenza del rendimento, $\xi$ può essere maggiore di $1$: un frigorifero con $\xi = 3$ toglie $3\ \text{J}$ di calore dall'interno per ogni joule di energia elettrica.

Pompa di calore. È la stessa macchina, usata per scaldare: l'utile è il calore ceduto al corpo caldo (la casa), preso dal corpo freddo (l'aria esterna). Il suo coefficiente di prestazione è

Formula (efficienza della pompa di calore). $$\xi_{\text{pdc}} = \frac{|Q_{\text{ced}}|}{|W|} = \frac{Q_{\text{ass}} + |W|}{|W|} = \xi + 1 > 1$$

cioè una pompa di calore porta in casa sempre più energia di quella elettrica che consuma: la differenza la prende dall'aria esterna.

Esempio. Stessa macchina usata per scaldare: $|Q_{ced}| = 300 + 100 = 400$ J, quindi $\xi_{pdc} = \frac{400}{100} = 4 = \xi + 1$.

Cicli tipici

Ciclo di Stirling

Due isoterme reversibili (a $T_2$ e $T_1 < T_2$) e due isocore. Con $r = V_{\max}/V_{\min}$ il rapporto di espansione e il ciclo $A \to B$ (espansione isoterma a $T_2$), $B \to C$ (isocora, raffreddamento a $T_1$), $C \to D$ (compressione isoterma a $T_1$), $D \to A$ (isocora, riscaldamento a $T_2$), usando le formule delle trasformazioni dei gas idealiIsoterma: Q = W = nRT ln(Vfin/Vin). Isocora: W = 0, Q = n cV ΔT.Trasformazioni dei gas ideali →:

Lavoro (somma di tutti i calori; quelli delle isocore si cancellano): $W = nR(T_2 - T_1)\ln r$. Rendimento:

Formula (rendimento del ciclo di Stirling). $$\eta_{\text{Stirling}} = \frac{nR(T_2 - T_1)\ln r}{nRT_2 \ln r + n c_V (T_2 - T_1)}$$

Esempio: $n = 1$ mol di gas biatomico ($c_V = \frac52 R$), $T_2 = 400$ K, $T_1 = 300$ K, $r = 2$: $Q_{AB} = 8{,}31 \cdot 400 \cdot \ln 2 = 2304\ \text{J}$, $Q_{DA} = \frac52 \cdot 8{,}31 \cdot 100 = 2078\ \text{J}$, $W = 8{,}31 \cdot 100 \cdot \ln 2 = 576\ \text{J}$, $\eta = \frac{576}{4382} = 0{,}131$.

Rigeneratore. Il calore ceduto nell'isocora $BC$ è uguale a quello assorbito in $DA$. Se lo si immagazzina (in un "rigeneratore") e lo si restituisce al gas in $DA$, la macchina deve prendere da fuori solo $Q_{AB}$, e il rendimento sale a $\frac{576}{2304} = 0{,}25 = 1 - \frac{300}{400}$: lo stesso del ciclo di CarnotIl ciclo reversibile tra due sole temperature, con rendimento 1 − T1/T2: il massimo possibile tra quelle temperature.Ciclo di Carnot e teorema di Carnot → tra le stesse temperature.

Stirling reale (irreversibile). Se nelle isocore il gas viene messo direttamente a contatto con il serbatoio alla temperatura finale (per esempio in $DA$ il gas a $T_1$ tocca il serbatoio a $T_2$), lo scambio di calore avviene con una differenza di temperatura finita ed è irreversibile: il ciclo produce entropia. È la situazione dei temi d'esame: Esercizio 86 · ciclo di Stirling reversibile e irreversibile.

Ciclo Otto (motore a benzina)

Due adiabatiche reversibili e due isocore: $A \to B$ compressione adiabatica da $V_1$ a $V_2$, $B \to C$ riscaldamento isocoro (lo scoppio della miscela), $C \to D$ espansione adiabatica da $V_2$ a $V_1$, $D \to A$ raffreddamento isocoro (lo scarico). Calore solo nelle isocore:

$$Q_{\text{ass}} = n c_V (T_C - T_B), \qquad Q_{\text{ced}} = n c_V (T_A - T_D) \quad \Longrightarrow \quad \eta = 1 - \frac{T_D - T_A}{T_C - T_B}$$

Sulle adiabatiche vale $T V^{\gamma - 1} = \text{cost}$, quindi con il rapporto di compressione $r = V_1/V_2$: $T_B = T_A r^{\gamma-1}$ e $T_C = T_D r^{\gamma-1}$. Allora $T_C - T_B = r^{\gamma-1}(T_D - T_A)$ e

Formula (rendimento del ciclo Otto). $$\boxed{\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}}}$$

dipende solo da $r$ e da $\gamma$. Con aria ($\gamma = 1{,}4$) e $r = 8$: $\eta = 1 - 8^{-0{,}4} = 0{,}565$. Nei motori veri è circa la metà, per attriti e irreversibilità.

Esempio. Aria ($\gamma = 1{,}4$) con rapporto di compressione $r = 8$: $\eta = 1 - 8^{-0{,}4} = 0{,}565$.

Il rendimento cresce con $r$, ma sempre più lentamente; nei motori a benzina $r$ non può superare circa $10$-$12$ perché la miscela si accenderebbe da sola durante la compressione.

Ciclo Diesel (cenni)

Come l'Otto, ma il riscaldamento avviene a pressione costante (isobara: il gasolio viene iniettato e brucia mentre il pistone scende) invece che a volume costante. Si ottengono rapporti di compressione molto più alti ($15$-$20$), e quindi rendimenti maggiori. Con $r = 18$, rapporto di combustione $V_C/V_B = 2$ e $\gamma = 1{,}4$ il rendimento ideale è circa $0{,}63$.

Riassunto

Errori comuni

• Mettere in $Q_{\text{ass}}$ il calore totale del ciclo: il calore totale è $W$; nel rendimento va solo la somma dei calori positivi.
• Dimenticare il calore delle isocore nel calcolo di $Q_{\text{ass}}$ (nello Stirling senza rigeneratore il riscaldamento isocoro conta).
• Sbagliare i segni: $Q_{\text{ced}}$ è negativo, quindi $\eta = 1 + Q_{\text{ced}}/Q_{\text{ass}}$; scrivendo $1 + |Q_{\text{ced}}|/Q_{\text{ass}}$ si ottiene un rendimento maggiore di $1$, impossibile.
• Credere che $\xi > 1$ violi qualche legge: il frigorifero non crea energia, la sposta; il calore ceduto al caldo è $Q_{\text{ass}} + |W|$.