Variabili aleatorie discrete e densità discreta

Inizio della parte II del corso ("Variabili aleatorie", punto 2 del programma). Prerequisiti: Spazio campionario ed eventiUno spazio di probabilità è la terna (Ω, F, P); Ω raccoglie gli esiti possibili dell'esperimento, un evento è un sottoinsieme di Ω, e le operazioni logiche tra eventi sono unione, intersezione e complementare.Spazio campionario ed eventi →, Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →, Spazi di probabilità discreti e uniformiIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →. Seguito: Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →, Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →.

Perché servono le variabili aleatorie

Negli esercizi del capitolo 1 si lavora direttamente sugli esiti $\omega \in \Omega$: per il lancio di due dadi $\Omega = \{1, \dots, 6\}^2$, per 100 lanci di moneta $\Omega = \{T, C\}^{100}$. Spesso però non interessa l'esito intero, ma un numero che dipende dall'esito:

• lanciando due dadi interessa la somma dei punti, non la coppia $(i, j)$;
• lanciando 100 monete interessa il numero di teste, non la sequenza esatta di $T$ e $C$;
• in un gioco interessa la vincita in euro.

Una variabile aleatoria è proprio questo: una regola che a ogni esito associa un numero. Il vantaggio è enorme: invece di ragionare su $\Omega$ (che può essere complicatissimo, ad esempio $2^{100}$ sequenze) si ragiona sui valori del numero, che sono pochi (da $0$ a $100$ teste).

Definizione

Definizione (variabile aleatoria discreta). Sia $(\Omega, \mathcal F, P)$ uno spazio di probabilità. Una variabile aleatoria (v.a.) discreta è una funzione $$X : \Omega \to \mathbb R$$ tale che l'insieme dei valori assunti $X(\Omega) = \{X(\omega) : \omega \in \Omega\}$ è finito o numerabile, e tale che per ogni $x \in \mathbb R$ l'insieme $\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\}$ è un evento (cioè sta in $\mathcal F$).

Esempio. Nel lancio di due dadi, $S(\omega_1, \omega_2) = \omega_1 + \omega_2$ è una v.a. discreta con alfabeto $\{2, 3, \dots, 12\}$.

• È una funzioneUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico → nel senso di Analisi 1: dominio $\Omega$, codominio $\mathbb R$, e $X(\Omega)$ è la sua immagine. "Numerabile" vuol dire che i valori si possono mettere in fila e numerare $x_1, x_2, x_3, \dots$ (come gli elementi di $\mathbb N$); un intervallo di $\mathbb R$ invece non è numerabile, ed è il caso delle Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →.
• L'insieme dei valori $X(\Omega)$ si chiama alfabeto (o supporto) di $X$ e lo indicheremo con $\mathcal X_X$ (negli appelli compare anche come $\Omega_X$).
• La condizione "$\{X = x\} \in \mathcal F$" serve perché vogliamo poter calcolare $P(X = x)$: la probabilità è definita solo sugli eventi, cioè sugli elementi della σ-algebraLa famiglia F degli insiemi di esiti a cui la probabilità assegna un valore: contiene Ω, è chiusa per complementare e per unioni numerabili.Sigma-algebre di eventi →. Se $\Omega$ è discreto e $\mathcal F = \mathcal P(\Omega)$ la condizione è automatica: ogni sottoinsieme è un evento.
• Il nome è fuorviante: una v.a. non è una variabile e non è aleatoria, è una funzione fissata. L'aleatorietà sta nell'esito $\omega$, che non conosciamo a priori; una volta uscito $\omega$, il valore $X(\omega)$ è determinato.

Notazione abbreviata. Si scrive

$$\{X = x\} := \{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\}, \qquad \{X \in B\} := \{\omega : X(\omega) \in B\}, \qquad \{X \le x\} := \{\omega : X(\omega) \le x\}$$

e si scrive $P(X = x)$ invece di $P(\{X = x\})$. Sono eventi, cioè sottoinsiemi di $\Omega$: l'evento "$X$ vale $x$" è l'insieme di tutti gli esiti che producono il valore $x$, cioè la controimmagineL'insieme degli elementi del dominio che la funzione manda nel valore (o nell'insieme di valori) indicato: qui gli esiti ω con X(ω) = x. $X^{-1}(\{x\})$.

Esempio 1: somma di due dadi

$\Omega = \{1, \dots, 6\}^2$ con probabilità uniforme ($P(\{(i, j)\}) = \frac1{36}$). Si pone $S(i, j) = i + j$. L'alfabeto è $\mathcal X_S = \{2, 3, \dots, 12\}$ (11 valori, finito). Per esempio

$$\{S = 4\} = \{(1, 3), (2, 2), (3, 1)\} \quad\Rightarrow\quad P(S = 4) = \frac{3}{36} = \frac1{12}.$$

L'evento $\{S = 4\}$ contiene 3 delle 36 coppie equiprobabili, quindi la probabilità è casi favorevoli su casi possibiliIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →. Le coppie $(1, 3)$ e $(3, 1)$ sono esiti diversi (primo dado 1 e secondo 3, oppure il contrario): vanno contate entrambe.

Esempio 2: numero di teste

$\Omega = \{T, C\}^{n}$, $X(\omega) =$ numero di $T$ nella sequenza $\omega$. Alfabeto $\{0, 1, \dots, n\}$. L'evento $\{X = 42\}$ (con $n = 100$) è l'insieme delle sequenze con esattamente 42 teste: è il problema di conteggio lasciato aperto a lezione, risolto in Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità → e in Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →.

Esempio 3: un alfabeto numerabile

Si lancia una moneta finché esce testa; $X =$ numero di lanci effettuati. Alfabeto $\{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb N^*$: infinito ma numerabile, quindi $X$ è ancora discreta. Con moneta equa $\{X = n\}$ è "le prime $n - 1$ sono croci e la $n$-esima è testa", che ha probabilità $\left(\frac12\right)^{n-1} \cdot \frac12 = \left(\frac12\right)^n$ (lanci indipendenti: le probabilità si moltiplicano). È la Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →.

Densità discreta

Definizione (densità discreta). La densità discreta (o funzione di massa) di una v.a. discreta $X$ è la funzione $$p_X : \mathbb R \to [0, 1], \qquad p_X(x) := P(X = x).$$

Esempio. Dado equo: $p_X(k) = \frac{1}{6}$ per $k = 1, \dots, 6$ e $p_X(x) = 0$ altrimenti.

$p_X(x) > 0$ solo se $x$ appartiene all'alfabeto (fuori dall'alfabeto $\{X = x\} = \emptyset$ e quindi $p_X(x) = 0$). Proprietà:

1. $p_X(x) \ge 0$ per ogni $x$;
2. $\displaystyle\sum_{x \in \mathcal X_X} p_X(x) = 1$.

Perché la somma fa 1. Gli eventi $\{X = x\}$, al variare di $x$ nell'alfabeto, sono disgiunti (un esito $\omega$ produce un solo valore $X(\omega)$) e la loro unione è tutto $\Omega$ (ogni esito produce qualche valore). Formano quindi una partizione di $\Omega$, al più numerabile perché l'alfabeto lo è. Per la σ-additivitàSe gli eventi A_1, A_2, ... sono disgiunti, la probabilità della loro unione è la somma delle probabilità.Misura di probabilità e sue proprietà →:

$$\sum_{x \in \mathcal X_X} P(X = x) = P\Big(\bigcup_{x \in \mathcal X_X} \{X = x\}\Big) = P(\Omega) = 1.$$

Ecco perché serve che l'alfabeto sia al più numerabile: la σ-additività vale solo per unioni numerabili. Se l'alfabeto è infinito, $\{x_1, x_2, \dots\}$, la somma a sinistra è una serieUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → $\sum_{k \ge 1} p_X(x_k)$: ha termini $\ge 0$, quindi il suo valore non dipende dall'ordine in cui si numerano i valori (serie a termini non negativiUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →) e la scrittura $\sum_{x \in \mathcal X_X}$ ha senso.

Esempio (Esempio 3). $\sum_{n \ge 1} \left(\frac12\right)^n = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ per la serie geometricaPer abs(q) < 1 vale Σ_{n≥1} q^n = q/(1−q).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $q = \frac12$.

Viceversa: ogni funzione $p \ge 0$ definita su un insieme finito o numerabile con somma $1$ è la densità di qualche v.a. Negli esercizi spesso si assegna direttamente la densità ("sia $X$ con $P(X_n = 0) = 1 - \frac1n$, $P(X_n = \sqrt n) = \frac1n$") senza dire chi sono $\Omega$ e $X$.

La densità determina tutte le probabilità che riguardano $X$

Per ogni insieme $B \subseteq \mathbb R$:

Formula (probabilità di un evento tramite la densità). $$\boxed{\;P(X \in B) = \sum_{x \in B \cap \mathcal X_X} p_X(x)\;}$$

Perché. Stesso ragionamento della somma $= 1$: $\{X \in B\}$ è l'unione disgiunta degli eventi $\{X = x\}$ con $x \in B \cap \mathcal X_X$ (gli $x$ di $B$ fuori dall'alfabeto danno eventi vuoti e non contano), e per σ-additività la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità.

Esempio. Dado equo: $P(X \in \{2,4,6\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$. Allo stesso modo, per la somma di due dadi, $P(S \ge 10) = p_S(10) + p_S(11) + p_S(12) = \frac{3 + 2 + 1}{36} = \frac16$.

Densità della somma di due dadi

Contando le coppie con somma $s$: per $s = 2, \dots, 7$ sono $s - 1$, per $s = 7, \dots, 12$ sono $13 - s$. In una sola formula, $p_S(s) = \frac{6 - |s - 7|}{36}$.

Da dove vengono i due conteggi. Fissata la somma $s$, il primo dado $i$ determina il secondo, $j = s - i$; la coppia è valida se anche $j$ sta tra $1$ e $6$, cioè se $s - 6 \le i \le s - 1$. Insieme a $1 \le i \le 6$:

• per $s \le 7$ il vincolo più stretto è $1 \le i \le s - 1$, quindi le coppie sono $s - 1$;
• per $s \ge 7$ è $s - 6 \le i \le 6$, quindi le coppie sono $6 - (s - 6) + 1 = 13 - s$.

Da dove viene la formula unica. Con il valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →: per $s \le 7$ è $|s - 7| = 7 - s$ e $6 - (7 - s) = s - 1$; per $s \ge 7$ è $|s - 7| = s - 7$ e $6 - (s - 7) = 13 - s$. In $s = 7$ le due espressioni danno entrambe $6$.

Somma della riga "coppie": $36$, quindi la somma delle probabilità è $1$ ✓.

Spazio di probabilità indotto da una v.a.

Una v.a. $X$ "trasporta" la probabilità da $\Omega$ ai numeri reali. Si definisce la legge (o distribuzione) di $X$:

$$P_X(B) := P(X \in B), \qquad B \subseteq \mathcal X_X.$$

$P_X$ è una misura di probabilità sull'alfabeto: $P_X(\mathcal X_X) = P(\Omega) = 1$, e se $B_1, B_2, \dots$ sono disgiunti anche gli eventi $\{X \in B_k\}$ lo sono, quindi $P_X$ è σ-additiva. La terna

$$(\mathcal X_X, \ \mathcal P(\mathcal X_X), \ P_X)$$

è lo spazio di probabilità indotto da $X$: è uno spazio discreto, la cui densità è proprio $p_X$.

Perché è importante. Da qui in poi quasi tutti i calcoli si fanno nello spazio indotto: si dimentica $\Omega$ e si lavora con la densità. Due v.a. definite su spazi diversi (una sul lancio di monete, una sull'estrazione di palline) ma con la stessa densità hanno la stessa legge e si dicono identicamente distribuite: per il calcolo delle probabilità sono indistinguibili. Si scrive $X \sim$ (nome della legge), per esempio $X \sim \text{Bin}(n, p)$.

Funzioni di una v.a. discreta

Se $X$ è discreta e $g : \mathbb R \to \mathbb R$ è una funzione qualsiasi, anche $Y = g(X)$ (cioè $Y(\omega) = g(X(\omega))$, la composizioneLa composta g(f(x)) e come trovarne il dominio, somma, prodotto e quoziente di funzioni, e i grafici di f(x+a), f(x)+a, f(|x|) e |f(x)|.Composizione e operazioni tra funzioni → $g \circ X$) è una v.a. discreta: i suoi valori sono i $g(x)$ con $x \in \mathcal X_X$, quindi al più numerabili (un insieme al più numerabile ha un'immagine al più numerabile: basta numerare i $g(x_k)$ con lo stesso indice $k$ degli $x_k$). Inoltre $\{Y = y\}$ è un evento perché è l'unione al più numerabile degli eventi $\{X = x\}$ con $g(x) = y$. La sua densità si ottiene raccogliendo tutti gli $x$ che vanno nello stesso $y$:

Formula (densità di una funzione di una v.a. discreta). $$p_Y(y) = P(g(X) = y) = \sum_{x \in \mathcal X_X : \, g(x) = y} p_X(x).$$

Esempio. $X$ uniforme su $\{-1, 0, 1\}$ (ogni valore con probabilità $\frac13$) e $Y = X^2$. L'alfabeto di $Y$ è $\{0, 1\}$; $Y = 1$ sia per $x = -1$ sia per $x = 1$, quindi

$$p_Y(0) = p_X(0) = \tfrac13, \qquad p_Y(1) = p_X(-1) + p_X(1) = \tfrac23.$$

Se $g$ è iniettivaValori diversi di x danno valori diversi g(x).Funzioni iniettive, suriettive e inverse → non c'è niente da raccogliere: a ogni $y$ dell'alfabeto di $Y$ corrisponde un solo $x$ con $g(x) = y$, la somma ha un solo termine e $p_Y(g(x)) = p_X(x)$.

Esempio d'esame: la vincita all'urna

(I parziale 17.11.2025 e III appello 24.06.2026.) Da un'urna con 8 palline nere e 6 bianche si fanno 2 estrazioni con reinserimento; per ogni nera si vincono 2 euro, per ogni bianca se ne perde 1. Sia $Y$ il numero di nere estratte e $X$ la vincita.

• Con $Y$ nere e $2 - Y$ bianche la vincita è $X = 2Y - 1 \cdot (2 - Y) = 2Y - 2 + Y = 3Y - 2$: è una funzione affine e iniettiva di $Y$ (una retta con pendenza $3 \neq 0$ è strettamente crescente, quindi non assume mai due volte lo stesso valore).
• Con reinserimento la composizione dell'urna è la stessa a ogni estrazione, quindi le estrazioni sono indipendentiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi → e ognuna dà nera con probabilità $\frac{8}{14} = \frac47$ (8 nere su 14 palline), bianca con probabilità $\frac{6}{14} = \frac37$. Allora $Y \sim \text{Bin}(2, \frac47)$ (vedi Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →). I tre valori nella tabella sotto vengono da:
  • $Y = 0$: bianca e bianca, $\frac37 \cdot \frac37 = \frac{9}{49}$;
  • $Y = 1$: le sequenze sono due, NB e BN, ciascuna con probabilità $\frac47 \cdot \frac37 = \frac{12}{49}$; insieme $\frac{24}{49}$ (è il fattore $\binom21 = 2$ della binomiale);
  • $Y = 2$: nera e nera, $\frac47 \cdot \frac47 = \frac{16}{49}$.
• Essendo $g(y) = 3y - 2$ iniettiva, la densità si trasporta valore per valore:

Controllo: $\frac{9 + 24 + 16}{49} = 1$ ✓. Media e varianza di questa $X$ sono calcolate in Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso → e Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →.

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere l'evento con il numero: $\{X = 4\}$ è un insieme di esiti, $P(X = 4)$ è un numero in $[0, 1]$, $4$ è un valore di $X$.
• Dimenticare di controllare che la densità sommi a 1: è il controllo più veloce per scoprire un errore di conteggio.
• Densità di $g(X)$ con $g$ non iniettiva: bisogna sommare le probabilità di tutti gli $x$ che danno lo stesso valore (es. $x = \pm 1$ per $X^2$).
• Scrivere l'alfabeto sbagliato: per la geometrica è $\{1, 2, \dots\}$ (non contiene $0$), per la binomiale è $\{0, \dots, n\}$ (contiene $0$).