Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale

Casi notevoli del punto 3 del programma. Prerequisiti: Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →. Analoghi discreti: uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta → e Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →.

Uniforme continua $U(a, b)$

Situazione

Un punto scelto "a caso" in un intervallo $[a, b]$, nel senso che intervalli della stessa lunghezza hanno la stessa probabilità. Esempi: la fase di un segnale sinusoidale ricevuto senza sincronizzazione (uniforme su $[0, 2\pi]$); l'errore di arrotondamento all'intero più vicino (uniforme su $[-\frac12, \frac12]$); il generatore di numeri casuali di un computer (uniforme su $[0, 1]$).

Densità e FdD

Definizione (uniforme continua). $X \sim U(a, b)$, con $a < b$, se $$f_X(x) = \frac{1}{b - a} \, \mathbb 1_{[a, b]}(x), \qquad F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \dfrac{x - a}{b - a} & a \le x < b \\ 1 & x \ge b. \end{cases}$$

Esempio. $X \sim U(0,4)$ ha $f_X = \frac{1}{4}$ su $[0,4]$ e $P(1 \le X \le 3) = \int_1^3 \frac14\,dx = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$: l'area è un rettangolo di base $2$ e altezza $\frac14$.

Perché quel valore. La densità deve essere costante su $[a, b]$ (ogni zona è ugualmente probabile) e nulla fuori; la costante $c$ si trova imponendo area $1$: $\int_a^b c\,dx = c \cdot (b - a) = 1$, quindi $c = \frac{1}{b - a}$. La FdD si ottiene integrando la costante da $a$ a $x$: $F_X(x) = \int_a^x \frac{dt}{b - a} = \frac{x - a}{b - a}$ per $a \le x < b$; prima di $a$ non c'è ancora probabilità ($0$), dopo $b$ c'è già tutta ($1$).

Probabilità = lunghezza relativa. Per $[c, d] \subseteq [a, b]$:

$$P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}.$$

Si ottiene come differenza della FdD: $F_X(d) - F_X(c) = \frac{d - a}{b - a} - \frac{c - a}{b - a} = \frac{d - c}{b - a}$ (gli estremi inclusi o esclusi non contano, perché ogni punto ha probabilità $0$).

È la versione continua di "casi favorevoli su casi possibili": lunghezza favorevole su lunghezza totale.

Media e varianza

Proprietà (media e varianza dell'uniforme continua). $$E[X] = \frac{a + b}{2}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12}.$$

Media: $E[X] = \frac{1}{b - a} \int_a^b x \, dx = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{(b - a)(b + a)}{2(b - a)} = \frac{a + b}{2}$, il punto medio (il baricentro di una sbarra omogenea). Passaggi: una primitiva di $x$ è $\frac{x^2}{2}$, quindi l'integrale è $\frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2}$; poi si scompone la differenza di quadrati $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ e si semplifica $b - a \ne 0$.

Varianza. Conviene ridursi a $U(0, 1)$: se $U \sim U(0, 1)$ allora $X = a + (b - a)U \sim U(a, b)$ (si stira $[0, 1]$ di un fattore $b - a$ e lo si trasla). Lo si verifica con la FdD: per $a \le x < b$, $$P(X \le x) = P\big(a + (b - a)U \le x\big) = P\Big(U \le \tfrac{x - a}{b - a}\Big) = \tfrac{x - a}{b - a},$$ dove si è diviso per $b - a > 0$ (verso della disuguaglianza invariato) e si è usata la FdD di $U(0, 1)$, $P(U \le u) = u$ per $u \in [0, 1]$. È la FdD di $U(a, b)$. Per $U$:

$$E[U^2] = \int_0^1 u^2 \, du = \Big[\frac{u^3}{3}\Big]_0^1 = \frac13, \qquad \text{Var}(U) = E[U^2] - E[U]^2 = \frac13 - \Big(\frac12\Big)^2 = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}.$$

Quindi $\text{Var}(X) = (b - a)^2 \text{Var}(U) = \frac{(b - a)^2}{12}$ (proprietà $\text{Var}(\alpha U + \beta) = \alpha^2 \text{Var}(U)$ di Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →, con $\alpha = b - a$ e $\beta = a$: la traslazione non cambia la dispersione). Allo stesso modo si ritrova la media: $E[X] = a + (b - a)\cdot\frac12 = \frac{a + b}{2}$.

Esempio. L'errore di arrotondamento $E \sim U(-\frac12, \frac12)$ ha media $0$ e deviazione standard $\sqrt{1/12} \approx 0{,}289$.

Esponenziale $\text{Exp}(\lambda)$

Situazione

Il tempo di attesa del primo evento di un fenomeno che "non invecchia": la durata di un componente elettronico che si guasta per cause accidentali, il tempo fino al prossimo pacchetto che arriva a un router, il tempo di decadimento di un atomo. Il parametro $\lambda > 0$ è il tasso: il numero medio di eventi per unità di tempo.

Densità e FdD

Definizione (distribuzione esponenziale). $X \sim \text{Exp}(\lambda)$, con $\lambda > 0$, se $$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \, \mathbb 1_{[0, +\infty)}(x), \qquad F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & x \ge 0. \end{cases}$$

Esempio. $X \sim \text{Exp}(2)$ ha $f_X(x) = 2e^{-2x}$ per $x \ge 0$ e $P(X \le 1) = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865$.

Controllo della normalizzazione: $\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1$ ✓. Passaggi: $-e^{-\lambda x}$ è una primitiva perché, per la derivata della funzione compostaDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →, $\frac{d}{dx}\big(-e^{-\lambda x}\big) = -e^{-\lambda x} \cdot (-\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$. L'estremo $+\infty$ indica un integrale improprioL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri →: si integra fino a $M$ e si fa il limite, $\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^M = 1 - e^{-\lambda M} \to 1$, perché $e^{-\lambda M} \to 0$ per $M \to +\infty$ quando $\lambda > 0$ (Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →).

FdD: per $x \ge 0$, $F_X(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = -e^{-\lambda x} - (-e^{0}) = 1 - e^{-\lambda x}$.

Probabilità di sopravvivenza

Proprietà (probabilità di sopravvivenza dell'esponenziale). $$P(X > t) = e^{-\lambda t}, \qquad t \ge 0.$$

Viene dal complementare: $P(X > t) = 1 - P(X \le t) = 1 - F_X(t) = 1 - (1 - e^{-\lambda t}) = e^{-\lambda t}$.

Esempio. $X \sim \text{Exp}(\frac{1}{2})$: $P(X > 4) = e^{-\frac12 \cdot 4} = e^{-2} \approx 0{,}135$.

È la formula più usata (si chiama anche funzione di sopravvivenza: probabilità che il componente funzioni ancora al tempo $t$). È l'analogo di $P(X > n) = (1 - p)^n$ della geometrica.

Media e varianza

Proprietà (media e varianza dell'esponenziale). $$E[X] = \frac1\lambda, \qquad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}.$$

Esempio. $X \sim \text{Exp}(2)$: $E[X] = \frac{1}{2}$ e $\text{Var}(X) = \frac{1}{4}$.

Media, per partiL'integrale di u dv vale u v (valutato agli estremi) meno l'integrale di v du: si sceglie come u il fattore che derivato si semplifica.Integrazione per parti → con $u = x$, $dv = \lambda e^{-\lambda x} dx$ ($du = dx$, $v = -e^{-\lambda x}$):

$$E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[-x e^{-\lambda x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} \, dx = 0 + \frac1\lambda.$$

Si sceglie $u = x$ perché derivandolo diventa $1$ e l'integrale che resta è elementare. Il termine di bordo è nullo: in $x = 0$ vale $-0 \cdot e^0 = 0$, e per $x \to +\infty$ si ha $x e^{-\lambda x} = \frac{x}{e^{\lambda x}} \to 0$, perché l'esponenziale va all'infinito più in fretta di qualunque potenza (gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →). L'integrale rimasto è $\int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx = \frac1\lambda \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \frac1\lambda \cdot 1$, usando la normalizzazione appena vista.

Momento secondo, di nuovo per parti con $u = x^2$ ($du = 2x\,dx$) e lo stesso $v$:

$$E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[-x^2 e^{-\lambda x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty 2x e^{-\lambda x} \, dx = \frac2\lambda \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \frac2\lambda \cdot \frac1\lambda = \frac{2}{\lambda^2}.$$

Il bordo è di nuovo $0$ ($x^2 e^{-\lambda x} \to 0$ per la stessa gerarchia); nel terzo passaggio si moltiplica e divide per $\lambda$ per far ricomparire la densità, $2x e^{-\lambda x} = \frac{2}{\lambda} \cdot x \lambda e^{-\lambda x}$, e l'integrale che resta è proprio $E[X] = \frac1\lambda$.

Quindi $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$: la deviazione standard $\frac1\lambda$ coincide con la media. In generale $E[X^k] = \frac{k!}{\lambda^k}$ (si vede con la funzione GammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma →).

Interpretazione: se arrivano in media $\lambda = 3$ pacchetti al millisecondo, il tempo medio fino al prossimo è $\frac13$ di millisecondo.

Assenza di memoria

Proprietà (assenza di memoria dell'esponenziale). Per ogni $s, t \ge 0$: $$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t).$$

Esempio. $X \sim \text{Exp}(\lambda)$: $P(X > 5 \mid X > 2) = P(X > 3) = e^{-3\lambda}$ (qui $s = 2$, $t = 3$).

Dimostrazione. Per la definizione di probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata → serve $P(\{X > s + t\} \cap \{X > s\})$. Ma $\{X > s + t\} \subseteq \{X > s\}$ (se $X$ supera $s + t$ supera anche $s$, essendo $t \ge 0$), quindi l'intersezione è $\{X > s + t\}$ e

$$P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s + t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t). \ \blacksquare$$

Il penultimo passaggio è la proprietà delle potenze $\frac{e^{A}}{e^{B}} = e^{A - B}$, con $A - B = -\lambda s - \lambda t + \lambda s = -\lambda t$.

Significato. Un componente che ha già funzionato per $s$ ore ha la stessa probabilità di durare altre $t$ ore di uno nuovo: non si usura. Va bene per guasti accidentali (fulmini, sovratensioni), non per componenti meccanici che si consumano.

Unicità. Se $X \ge 0$ è a.c. e senza memoria, posto $G(t) = P(X > t)$ si ha $G(s + t) = G(s) G(t)$ (si moltiplica per $P(X > s)$ la definizione di probabilità condizionata). L'unica soluzione continua decrescente con $G(0) = 1$ è $G(t) = e^{-\lambda t}$. Schema del perché: applicando la regola più volte $G(n t) = G(t)^n$; con $t = \frac1m$ si ottiene $G(1) = G\big(\tfrac1m\big)^m$, cioè $G\big(\tfrac1m\big) = G(1)^{1/m}$, e quindi $G(q) = G(1)^q$ per ogni razionale $q = \frac nm > 0$. Posto $G(1) = e^{-\lambda}$ (cioè $\lambda = -\ln G(1)$, positivo perché $0 < G(1) < 1$), vale $G(q) = e^{-\lambda q}$ sui razionali, e per continuità su tutti i reali (ogni reale è limite di razionali). Quindi l'esponenziale è l'unica legge continua senza memoria, come la geometrica lo è tra quelle a valori interi.

Legame con la geometrica

Si divide il tempo in intervalli di lunghezza $h$ piccola e si supponga che in ciascuno l'evento avvenga con probabilità $\lambda h$, indipendentemente. Il numero $N$ dell'intervallo in cui avviene il primo evento è $\text{Geo}(\lambda h)$, e il tempo è circa $T = Nh$:

$$P(T > t) = P\left(N > \tfrac th\right) = (1 - \lambda h)^{t/h} \xrightarrow[h \to 0]{} e^{-\lambda t}.$$

Il primo passaggio usa la coda della geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →, $P(N > n) = (1 - p)^n$ (le prime $n$ prove sono tutte fallimenti), con $p = \lambda h$ e $n = \frac th$. Il limite è una forma $1^\infty$: con il logaritmo, $$\ln (1 - \lambda h)^{t/h} = \frac th \ln(1 - \lambda h) \sim \frac th \cdot (-\lambda h) = -\lambda t,$$ perché $\ln(1 + y) \sim y$ per $y \to 0$ (qui $y = -\lambda h$), e poi si torna indietro con l'esponenziale, che è continua. È il limite notevole(1 + x/n)^n tende a e^x per n che tende a infinito; qui con n = t/h e x = −λt.Limiti notevoli di funzioni → che definisce l'esponenziale. L'esponenziale è quindi il limite continuo della geometrica, così come la Poisson è il limite della binomiale; i tempi tra eventi successivi di un fenomeno di Poisson sono esponenziali.

Trasformazioni utili

• Cambio di scala: se $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ e $c > 0$, allora $cX \sim \text{Exp}(\lambda / c)$, perché $P(cX > t) = P(X > t/c) = e^{-(\lambda/c) t}$.
• Minimo: se $X_1 \sim \text{Exp}(\lambda_1)$ e $X_2 \sim \text{Exp}(\lambda_2)$ sono indipendenti, $\min(X_1, X_2) \sim \text{Exp}(\lambda_1 + \lambda_2)$, perché il minimo supera $t$ se e solo se entrambi lo superano: $P(\min > t) = P(X_1 > t,\ X_2 > t) = P(X_1 > t)\,P(X_2 > t) = e^{-\lambda_1 t} e^{-\lambda_2 t} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2) t}$, dove la probabilità dell'intersezione si spezza nel prodotto per l'indipendenza, e l'ultima è la coda di $\text{Exp}(\lambda_1 + \lambda_2)$. (Due componenti in serie: il sistema si guasta al primo guasto.)
• Somma di esponenziali indipendenti dello stesso parametro: è una gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma → (calcolo in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →).

Esempi d'esame

Funzione a gradini di un'esponenziale (II appello 12.02.2026, svolto in Esercizio 14 · funzione a gradini di una esponenziale): con $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ e $Y = g(X)$ che vale $1$ su $[0, 1)$ e $2$ da $1$ in poi, $P(Y = 2) = P(X \ge 1) = e^{-\lambda}$ e $P(Y < X) = P(X > 2) = e^{-2\lambda}$ (se $X < 1$ è $Y = 1 > X$; se $X \ge 1$ è $Y = 2$, minore di $X$ solo quando $X > 2$): tutto si riduce alla probabilità di sopravvivenza.

Quadrato di un'esponenziale (I appello 15.01.2026, svolto in Esercizio 16 · due esponenziali indipendenti, quadrato e somma): $X \sim \text{Exp}(2)$, $W = X^2$. Per $w > 0$: $F_W(w) = P(X^2 \le w) = P(X \le \sqrt w) = 1 - e^{-2\sqrt w}$, dove si estrae la radice senza il $\pm$ perché $X \ge 0$ (metodo generale in Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →).

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere $\lambda$ con la media: in $\text{Exp}(\lambda)$ la media è $\frac1\lambda$. Alcuni testi parametrizzano con la media $\beta = \frac1\lambda$: controllare sempre la densità scritta nel testo.
• Dimenticare che l'esponenziale vive su $[0, +\infty)$: $F_X(x) = 0$ per $x < 0$, non $1 - e^{-\lambda x}$ (che sarebbe negativo).
• Varianza dell'uniforme con $12$ al posto sbagliato: è $(b - a)^2/12$, non $(b - a)/12$.
• Pensare che l'assenza di memoria valga per l'uniforme: un punto uniforme su $[0, 1]$ che ha superato $0{,}9$ ha probabilità $1$ di essere minore di $1$, quindi "ricorda" eccome.