Integrali impropri

Lezioni 41 e 42 (capitolo 6, paragrafo 8). Prerequisiti: Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →, Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →. Esercizi: Esercizio 148 · un integrale improprio su un intervallo illimitato, Esercizio 149 · convergenza di integrali impropri al variare di a, Esercizio 150 · integrali impropri con esponenziale e logaritmo.

Il problema

Finora l'integrale definito $\int_a^b f(x)\,dx$ è stato definito solo se:

1. l'intervallo $[a, b]$ è chiuso e limitato;
2. $f$ è limitata su $[a, b]$.

Si vuole integrare anche:

1. su intervalli illimitati, $[a, +\infty[$ oppure $]-\infty, a]$;
2. funzioni illimitate vicino a un estremo: $f : \,]a, b] \to \mathbb{R}$ con, per esempio, $\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$, oppure $f : [a, b[ \to \mathbb{R}$ con $\lim_{x \to b^-} f(x) = +\infty$.

L'idea (per $f \ge 0$). Nel caso 1 il trapezoide $T$ è una regione con base illimitata; nel caso 2 ha altezza illimitata. In entrambi i casi si calcola l'area di un pezzo limitato $T_x$ (da $a$ fino a $x$, oppure da $x$ fino a $b$) con un integrale definito, e poi si fa tendere $x$ all'estremo "problematico": $$|T| = \lim_{x \to +\infty}\int_a^x f(t)\,dt \qquad\qquad |T| = \lim_{x \to a^+}\int_x^b f(t)\,dt$$

Definizione

Definizione (integrale improprio). Integrale improprio (o in senso generalizzato, "in s.g.").

1(a) $f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$, integrabile in $[a, x]$ per ogni $x > a$: $$\int_a^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{x \to +\infty}\int_a^x f(t)\,dt$$ 1(b) $f : \,]-\infty, a] \to \mathbb{R}$, integrabile in $[x, a]$ per ogni $x < a$: $$\int_{-\infty}^{a} f(t)\,dt = \lim_{x \to -\infty}\int_x^a f(t)\,dt$$ 2(a) $f : \,]a, b] \to \mathbb{R}$, integrabile in $[x, b]$ per ogni $a < x < b$: $$\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to a^+}\int_x^b f(t)\,dt$$ 2(b) $f : [a, b[ \to \mathbb{R}$, integrabile in $[a, x]$ per ogni $a < x < b$: $$\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to b^-}\int_a^x f(t)\,dt$$

Esempio. $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = 1$: l'integrale converge.

Chiamato $I$ il limite:

• se $I$ esiste finito, $f$ si dice integrabile in senso generalizzato e il suo integrale converge a $I$;
• se $I = +\infty$ o $I = -\infty$, $f$ non è integrabile in s.g. e il suo integrale diverge (a $+\infty$ o a $-\infty$);
• se il limite non esiste, $f$ non è integrabile in s.g.

È lo stesso schema delle serieUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →: là il limite delle somme parziali, qui il limite degli integrali su intervalli limitati.

Come si calcola

Non c'è niente di nuovo: si usano integrali definiti e limiti. Tre passi (per il caso 1(a)):

1. Primitiva: si calcola l'integrale indefinito e si sceglie una primitiva $G$;
2. Integrale definito: $I_x = \int_a^x f(t)\,dt = G(x) - G(a)$ (TFCI 1);
3. Limite: $I = \lim_{x \to +\infty} I_x$.

Esempio. $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}$. Una primitiva di $x^{-2}$ è $-\frac1x$, quindi $I_x = \left[-\frac1t\right]_1^x = 1 - \frac1x \to 1$: l'integrale converge a $1$. La regione sotto $\frac{1}{x^2}$ da $1$ a $+\infty$ è illimitata, ma ha area finita.

Esempio. $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}$: $I_x = [\log t]_1^x = \log x \to +\infty$: diverge.

Attenzione, errore frequente: fare direttamente il limite della primitiva, $\lim_{x \to +\infty} G(x)$, senza sottrarre $G(a)$. Il valore iniziale $G(a)$ cambia il risultato: l'integrale è $\lim_x\int_a^x f$, e l'estremo $a$ conta. Esempio svolto in Esercizio 148 · un integrale improprio su un intervallo illimitato.

Spesso però non si sa calcolare una primitiva: per questo servono criteri che dicano se un integrale improprio converge senza calcolarlo, come per le serie: Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →.

Perché interessano: le funzioni integrali (lezione 42)

Gli integrali impropri sono limiti della funzione integrale $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$:

• $\int_a^{+\infty} f = \lim_{x \to +\infty} F_a(x)$: se è un numero $I$, la retta $y = I$ è un asintoto orizzontale di $F_a$ a $+\infty$; se è $+\infty$, $F_a$ tende a $+\infty$;
• $\int_a^b f$ (improprio in $b$) $= \lim_{x \to b^-} F_a(x)$: se è un numero $I$, $F_a$ si prolunga per continuità in $b$ con $F_a(b) = I$; se è $+\infty$, $x = b$ è un asintoto verticale (da sinistra).

Studiare la convergenza di un integrale improprio fa quindi parte dello studio di funzione di una funzione integrale. E ci sono funzioni importanti che esistono solo come funzioni integrali, perché è dimostrato che le loro primitive non si scrivono con le funzioni elementari: per esempio $\int_1^x e^{-t^2}\,dt$ (statistica) e $\int_1^x \cos(t^2)\,dt$ (ottica).

Errori comuni

• Calcolare il limite della sola primitiva, dimenticando il termine $-G(a)$.
• Trattare $\int_a^{+\infty}$ come un integrale definito qualsiasi: è un limite, e può non esistere o essere infinito.
• Confondere le funzioni test nei due casi: $\frac{1}{x^\alpha}$ è integrabile a $+\infty$ per $\alpha > 1$, vicino a $0$ per $\alpha < 1$.
• Pensare che $f \to 0$ basti per la convergenza: è solo una condizione necessaria.