Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale

Lezione 7 di probabilità, Unità 1-2. Prerequisiti: Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzioneUna variabile aleatoria è una funzione X : Ω → R; {X ∈ A} = X⁻¹(A) è un evento. X è discreta se assume un insieme finito o numerabile di valori x₀, x₁, …; la densità discreta pₓ(x) = P(X = x) ha somma 1 e determina tutto: P(X ∈ A) = Σ_{xₖ∈A} pₓ(xₖ). La funzione di distribuzione Fₓ(x) = P(X ≤ x) è crescente, continua a destra, con limiti 0 e 1; P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a), P(X = a) = F(a) − F(a⁻) (il salto in a), P(X < a) = F(a⁻). Per una discreta F è a gradini. Bernoulli Be(p): vale 1 (successo) con probabilità p, 0 altrimenti.Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione →, Somma di Poisson indipendenti e processo di PoissonSe X ~ Po(λ) e Y ~ Po(μ) sono indipendenti, X + Y ~ Po(λ + μ). Un processo di Poisson di intensità λ (eventi per unità di tempo) è una famiglia {Xₜ} in cui Xₜ ~ Po(λt) conta gli eventi in [0, t], gli incrementi X_{t+τ} − Xₜ ~ Po(λτ) dipendono solo dalla lunghezza τ dell'intervallo, e incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti. Quindi il numero di eventi in un intervallo non dipende da quanti ne sono avvenuti prima; la probabilità di nessun evento in un tempo τ è e^{−λτ}.Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson →, Integrali impropriL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → (Analisi 1).

Dalla massa concentrata alla massa distribuita

Una variabile discreta è come un insieme di masse puntiformi sulla retta (massa $p_X(x_k)$ nel punto $x_k$). Ma l'istante di arrivo di un autobus, la durata di una lampadina, il punto colpito su un bersaglio possono assumere un continuo di valori, e ogni singolo valore ha probabilità $0$. L'analogo fisico è un filo con una densità di massa: la massa di un tratto è l'integrale della densità.

Definizione. Una v.a. $X$ è continua se esiste una funzione integrabile $f_X : \mathbb{R} \to [0, +\infty[$, la densità di $X$, tale che $$P(X \in (a, b)) = \int_a^b f_X(x)\,dx$$ per ogni intervallo $(a, b) \subseteq \mathbb{R}$ (aperto, chiuso o misto, anche illimitato).

Esempio. $f_X(x) = \frac{1}{2}$ su $[0, 2]$: $P(X \in (0{,}5; 1{,}5)) = \int_{0{,}5}^{1{,}5} \frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2}$.

Necessariamente $f_X \ge 0$ e $$\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx = P(X \in \mathbb{R}) = 1$$ Una continua non è mai discreta: $P(X = x) = \int_x^x f_X = 0$ per ogni $x$. Di conseguenza non importa se gli estremi degli intervalli sono inclusi: $$P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a \le X \le b) = P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$$

Attenzione: $f_X(x)$ non è una probabilità (può anche essere maggiore di $1$). Per $h$ piccolo, $P(x < X < x + h) \approx f_X(x)\,h$: la densità è "probabilità per unità di lunghezza".

Densità e funzione di distribuzione

Proposizione. $X$ è continua se e solo se esiste $f_X \ge 0$ con $\int_a^b f_X = F_X(b) - F_X(a)$ per ogni $a \le b$; in tal caso $$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,dt$$

Se $F_X$ è di classe $C^1$, per il teorema fondamentale del calcoloUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → $F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b F_X'$, quindi $X$ è continua con densità $F_X'$. Lo stesso vale se $F_X$ è continua e $C^1$ a tratti ($C^1$ su ogni intervallo $]-\infty, t_1[$, $]t_1, t_2[$, …, $]t_n, +\infty[$, con derivata che può mancare solo nei punti $t_i$).

Come riconoscere una v.a. continua. Se $F_X$ è continua e $C^1$ a tratti, allora $X$ è continua con densità $f_X = F_X'$ (definita tranne al più in un numero finito di punti, dove si può dare un valore qualsiasi).

Serve la continuità di $F_X$: una $F$ $C^1$ a tratti ma con un salto corrisponde a una variabile con un valore di probabilità positiva, quindi non continua (come l'esempio "misto" della lezione 4).

Esempio del prof. $X$ con densità $f_X(x) = C(1 + x^2)$ su $[0, 3]$ e $0$ altrove.

1. Normalizzazione: $\int_0^3 C(1 + x^2)\,dx = C\left(3 + 9\right) = 12C = 1$, quindi $C = \frac1{12}$.
2. $P(X \in [1, 4]) = \int_1^3\frac{1 + x^2}{12}\,dx = \frac1{12}\left(2 + \frac{27 - 1}{3}\right) = \frac1{12}\cdot\frac{32}{3} = \frac89$ (fuori da $[0, 3]$ la densità è nulla, quindi l'intervallo si "taglia" a $[1, 3]$).
3. $F_X(x) = 0$ per $x < 0$, $F_X(x) = \frac{1}{12}\left(x + \frac{x^3}{3}\right)$ per $0 \le x \le 3$, $F_X(x) = 1$ per $x > 3$.

Funzioni di una variabile continua

Il metodo: per trovare la legge di $Y = g(X)$ si parte dalla funzione di distribuzione, $F_Y(y) = P(g(X) \le y)$, si riscrive l'evento in termini di $X$, e poi si deriva.

Esempio del prof. $X$ con densità $f_X$ e $F_X \in C^1$; $Y = e^{-3X + 2}$. $Y > 0$ sempre, quindi $F_Y(y) = 0$ per $y \le 0$. Per $y > 0$, siccome $t \mapsto e^{-3t + 2}$ è decrescente, la disuguaglianza si rovescia passando a $X$: $$F_Y(y) = P(e^{-3X + 2} \le y) = P(-3X + 2 \le \log y) = P\left(X \ge \frac{2 - \log y}{3}\right) = 1 - F_X\left(\frac{2 - \log y}{3}\right)$$ $F_Y$ è $C^1$ su $]0, +\infty[$, quindi $Y$ è continua e, derivando con la regola della catena, $$f_Y(y) = f_X\left(\frac{2 - \log y}{3}\right)\cdot\frac{1}{3y}, \qquad y > 0$$

La variabile uniforme

Esempio del prof. Si colpisce a caso un punto $X$ di $[0, 10]$: $P(X \in [c, d]) = \frac{d - c}{10}$ per $[c, d] \subseteq [0, 10]$. Allora $F_X(x) = \frac{x}{10}$ su $[0, 10]$ ($0$ prima, $1$ dopo).

Definizione. $X$ è uniforme sull'intervallo $(a, b)$, $X \sim U(a, b)$, se $$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \le x < b \\ 1 & x \ge b \end{cases}, \qquad f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & a < x < b \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$$ Quindi $P(X \in [c, d]) = \frac{d - c}{b - a}$ per $[c, d] \subseteq [a, b]$: la probabilità è proporzionale alla lunghezza.

Esempio del prof (la SIM). Su una SIM ricaricata con $5$ euro il credito residuo è $X \sim U(0, 5)$. Per scaricare un video servono $2$ euro: $P(X \ge 2) = \frac{5 - 2}{5} = \frac35$. Se ci si riesce, probabilità di scaricarne un altro: $P(X \ge 4 \mid X \ge 2) = \frac{P(X \ge 4)}{P(X \ge 2)} = \frac{1/5}{3/5} = \frac13$. (Condizionata a $X \ge 2$, la variabile è uniforme su $[2, 5]$.)

La variabile esponenziale

Da dove viene. In un processo di PoissonSe X ~ Po(λ) e Y ~ Po(μ) sono indipendenti, X + Y ~ Po(λ + μ). Un processo di Poisson di intensità λ (eventi per unità di tempo) è una famiglia {Xₜ} in cui Xₜ ~ Po(λt) conta gli eventi in [0, t], gli incrementi X_{t+τ} − Xₜ ~ Po(λτ) dipendono solo dalla lunghezza τ dell'intervallo, e incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti. Quindi il numero di eventi in un intervallo non dipende da quanti ne sono avvenuti prima; la probabilità di nessun evento in un tempo τ è e^{−λτ}.Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson → di intensità $\lambda$, sia $T$ l'istante del primo evento. Per $t \ge 0$, "il primo evento arriva dopo $t$" significa "nessun evento in $[0, t]$": $$P(T > t) = P(X_t = 0) = e^{-\lambda t}, \qquad F_T(t) = 1 - e^{-\lambda t} \quad (t \ge 0), \qquad F_T(t) = 0 \quad (t < 0)$$ $F_T$ è continua e $C^1$ a tratti (manca la derivata solo in $0$), quindi $T$ è continua.

Definizione. $T$ è esponenziale di parametro $\lambda > 0$, $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, se $$f_T(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & t > 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}, \qquad P(T > t) = e^{-\lambda t} \ (t \ge 0)$$

Esempio. $T \sim \operatorname{Exp}(\frac{1}{4})$ (attesa in minuti): $P(T > 8) = e^{-8/4} = e^{-2} \approx 0{,}135$.

È il modello dei tempi d'attesa (del prossimo cliente, della prossima telefonata, del prossimo guasto) e delle durate di componenti che non si usurano.

Proposizione (assenza di memoria). Se $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, per ogni $s, t > 0$: $$P(T > t + s \mid T > s) = P(T > t)$$

Esempio. $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$: $P(T > 5 \mid T > 2) = P(T > 3) = e^{-3\lambda}$.

Dimostrazione. $\{T > t + s\} \subseteq \{T > s\}$, quindi $P(T > t + s \mid T > s) = \frac{e^{-\lambda(t + s)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t}$ ∎. È l'analogo continuo della geometricaIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →: aver già aspettato $s$ non cambia l'attesa residua.

Esempi del prof.

• Lo sportello postale (processo di Poisson con $15$ arrivi all'ora $= \frac14$ al minuto). L'attesa del primo cliente è $T \sim \operatorname{Exp}\left(\frac14\right)$ (in minuti), e $P(4 \le T \le 5) = e^{-4/4} - e^{-5/4} \approx 0.368 - 0.287 = 0.081$.

• Il freezer (durata in mesi $X \sim \operatorname{Exp}(0.01)$): $P(X > 200) = e^{-2} \approx 0.135$. Già funzionante da $80$ mesi, funziona per altri $200$ con probabilità $P(X > 280 \mid X > 80) = e^{-2}$: la stessa. Il modello esponenziale dice che il freezer "non invecchia".
• I terremoti di magnitudo tra $7$ e $8$ (processo di Poisson con $15$ all'anno $= \frac{15}{12}$ al mese): l'attesa in mesi è $T \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{15}{12}\right)$. Nessun terremoto per un mese: $P(T > 1) = e^{-15/12} \approx 0.287$. Se non ce ne sono stati per un mese, nessuno nei due mesi successivi: $P(T > 3 \mid T > 1) = P(T > 2) = e^{-30/12} \approx 0.082$.

Media e varianza delle continue sono in Valore atteso e varianza di variabili continuePer X continua con densità fₓ: E[X] = ∫ x fₓ(x) dx (se |x| fₓ è integrabile in senso generalizzato), il baricentro della densità; E[g(X)] = ∫ g(x) fₓ(x) dx; Var[X] = E[X²] − E[X]². Valgono monotonia, linearità, Var[aX + b] = a² Var X, e Var[X + Y] = Var X + Var Y per indipendenti. U(a,b): media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Exp(λ): media 1/λ, varianza 1/λ² (deviazione standard = media); la mediana ln2/λ è minore della media.Valore atteso e varianza di variabili continue →. Esercizi: Esercizio 52 · densità e funzioni di distribuzione continue.

Errori comuni

• Trattare $f_X(x)$ come una probabilità (può superare $1$; la probabilità di un punto è $0$).
• Dimenticare di "tagliare" l'intervallo di integrazione dove la densità è nulla.
• Nel cambio di variabile con $g$ decrescente, non rovesciare la disuguaglianza.
• Usare la densità di un'esponenziale per tempi negativi (è nulla per $t < 0$).