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Note per Studenti Esercizio 10 · riparametrizzare con la lunghezza d'arco

Esercizio 10riparametrizzare con la lunghezza d'arco

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Testo.

  1. Riparametrizzare la curva f(t)=3et(cos⁡t,sin⁡t)f(t) = 3e^t(\cos t, \sin t), t∈[0,2π]t \in [0, 2\pi], con la lunghezza d'arco.
  2. Parametrizzare con la lunghezza d'arco la spirale logaritmica, espressa in coordinate polari da ρ(t)=et/10\rho(t) = e^{t/10}, t∈[−10,10]t \in [-10, 10].

Teoria: Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →, Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →.

Il metodo (richiamo)

  1. Ascissa curvilinea: s=φ(t)=∫at∣f′(u)∣ dus = \varphi(t) = \int_a^t|f'(u)|\,du.
  2. Inversione: t=φ−1(s)t = \varphi^{-1}(s).
  3. Sostituzione: g(s)=f(φ−1(s))g(s) = f(\varphi^{-1}(s)), s∈[0,L]s \in [0, L].

Per curve in coordinate polari ∣f′(t)∣=ρ2+ρ′2|f'(t)| = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2}.

1. f(t)=3et(cos⁡t,sin⁡t)f(t) = 3e^t(\cos t, \sin t), t∈[0,2π]t \in [0, 2\pi]

È una curva in coordinate polari con ρ(t)=3et\rho(t) = 3e^t (una spirale logaritmica).

Passo 1. ρ′=3et\rho' = 3e^t, quindi ∣f′(t)∣=9e2t+9e2t=32 et|f'(t)| = \sqrt{9e^{2t} + 9e^{2t}} = 3\sqrt2\,e^t e s=∫0t32 eu du=32 (et−1)s = \int_0^t 3\sqrt2\,e^u\,du = 3\sqrt2\,(e^t - 1) In particolare la lunghezza totale è L=φ(2π)=32 (e2π−1)L = \varphi(2\pi) = 3\sqrt2\,(e^{2\pi} - 1).

Passo 2. Si isola ete^t e si prende il logaritmo: et=1+s32⟹t=log⁡(1+s32)e^t = 1 + \frac{s}{3\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad t = \log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right) (l'argomento del logaritmo è ≥1\ge 1 per s≥0s \ge 0, quindi va bene).

Passo 3. Nella curva compare 3et=3(1+s32)=3+s23e^t = 3\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right) = 3 + \frac{s}{\sqrt2}, quindi g(s)=(3+s2)(cos⁡log⁡(1+s32), sin⁡log⁡(1+s32)),s∈[0, 32 (e2π−1)]g(s) = \left(3 + \frac{s}{\sqrt2}\right)\left(\cos\log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right),\ \sin\log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right)\right), \qquad s \in \big[0,\ 3\sqrt2\,(e^{2\pi} - 1)\big]

Verifica (con Python): la norma di g′(s)g'(s) semplificata vale 11 ✓. Interpretazione: con la lunghezza d'arco la distanza dall'origine 3+s23 + \frac{s}{\sqrt2} cresce linearmente nella strada percorsa (è l'angolo costante di 45°45° della spirale logaritmica: ogni metro di strada allontana di 12\frac{1}{\sqrt2} metri).

2. Spirale logaritmica ρ(t)=et/10\rho(t) = e^{t/10}, t∈[−10,10]t \in [-10, 10]

La curva è f(t)=et/10(cos⁡t,sin⁡t)f(t) = e^{t/10}(\cos t, \sin t): parte vicino all'origine, a distanza e−1≈0.37e^{-1} \approx 0.37, e compie circa 202π≈3.2\frac{20}{2\pi} \approx 3.2 giri allontanandosi lentamente fino a distanza e≈2.72e \approx 2.72.

Passo 1. ρ′=110et/10\rho' = \frac{1}{10}e^{t/10}, quindi ∣f′(t)∣=et/5+1100et/5=et/10101100=10110 et/10|f'(t)| = \sqrt{e^{t/5} + \frac{1}{100}e^{t/5}} = e^{t/10}\sqrt{\frac{101}{100}} = \frac{\sqrt{101}}{10}\,e^{t/10} e, partendo da a=−10a = -10, s=∫−10t10110 eu/10 du=10110[10 eu/10]−10t=101 (et/10−e−1)s = \int_{-10}^t\frac{\sqrt{101}}{10}\,e^{u/10}\,du = \frac{\sqrt{101}}{10}\Big[10\,e^{u/10}\Big]_{-10}^t = \sqrt{101}\,\big(e^{t/10} - e^{-1}\big) Lunghezza totale: L=101 (e−e−1)≈23.62L = \sqrt{101}\,(e - e^{-1}) \approx 23.62.

Passo 2. et/10=s101+1e⟹t=10log⁡(s101+1e)e^{t/10} = \frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e \quad\Longrightarrow\quad t = 10\log\left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right)

Passo 3. Il raggio et/10e^{t/10} diventa s101+1e\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e, quindi g(s)=(s101+1e)(cos⁡θ(s), sin⁡θ(s)),θ(s)=10log⁡(s101+1e),s∈[0, 101 (e−e−1)]g(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right)\Big(\cos\theta(s),\ \sin\theta(s)\Big), \qquad \theta(s) = 10\log\left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right), \qquad s \in \big[0,\ \sqrt{101}\,(e - e^{-1})\big]

Controlli. Per s=0s = 0: raggio 1e\frac1e e angolo 10log⁡1e=−1010\log\frac1e = -10, cioè il punto iniziale f(−10)f(-10) ✓. Per s=Ls = L: raggio L101+1e=e\frac{L}{\sqrt{101}} + \frac1e = e e angolo 10log⁡e=1010\log e = 10, il punto finale ✓.

Errori comuni

  • Far partire l'integrale da 00 invece che dall'estremo iniziale a=−10a = -10: l'ascissa curvilinea deve valere 00 nel punto iniziale.
  • Sbagliare la primitiva di eu/10e^{u/10}: è 10 eu/1010\,e^{u/10} (si divide per il coefficiente 110\frac1{10}, cioè si moltiplica per 1010).

Versione ripasso

Testo.

  1. Riparametrizzare la curva f(t)=3et(cos⁡t,sin⁡t)f(t) = 3e^t(\cos t, \sin t), t∈[0,2π]t \in [0, 2\pi], con la lunghezza d'arco.
  2. Parametrizzare con la lunghezza d'arco la spirale logaritmica, espressa in coordinate polari da ρ(t)=et/10\rho(t) = e^{t/10}, t∈[−10,10]t \in [-10, 10].

Teoria: Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →, Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →.

Metodo: 1) s=∫at∣f′∣ dus = \int_a^t|f'|\,du; 2) invertire per t(s)t(s); 3) g(s)=f(t(s))g(s) = f(t(s)), s∈[0,L]s \in [0,L]. In polari ∣f′∣=ρ2+ρ′2|f'| = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2}.

1. ρ(t)=3et\rho(t) = 3e^t

  1. ∣f′∣=9e2t+9e2t=32 et|f'| = \sqrt{9e^{2t} + 9e^{2t}} = 3\sqrt2\,e^t, s=32(et−1)s = 3\sqrt2(e^t - 1), L=32(e2π−1)L = 3\sqrt2(e^{2\pi} - 1).
  2. et=1+s32e^t = 1 + \frac{s}{3\sqrt2}, t=log⁡(1+s32)t = \log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right).
  3. 3et=3+s23e^t = 3 + \frac{s}{\sqrt2}: g(s)=(3+s2)(cos⁡log⁡(1+s32), sin⁡log⁡(1+s32)),s∈[0, 32(e2π−1)]g(s) = \left(3 + \frac{s}{\sqrt2}\right)\left(\cos\log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right),\ \sin\log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right)\right), \quad s \in \left[0,\ 3\sqrt2(e^{2\pi} - 1)\right]

La distanza dall'origine cresce linearmente in ss (angolo costante di 45°45°).

2. ρ(t)=et/10\rho(t) = e^{t/10}, t∈[−10,10]t \in [-10,10]

  1. ρ′=110et/10\rho' = \frac1{10}e^{t/10}, ∣f′∣=10110et/10|f'| = \frac{\sqrt{101}}{10}e^{t/10}; da a=−10a = -10: s=10110[10eu/10]−10t=101(et/10−e−1)s = \frac{\sqrt{101}}{10}\left[10e^{u/10}\right]_{-10}^t = \sqrt{101}\left(e^{t/10} - e^{-1}\right), L=101(e−e−1)≈23.62L = \sqrt{101}(e - e^{-1})\approx23.62.
  2. et/10=s101+1ee^{t/10} = \frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e, t=10log⁡(s101+1e)t = 10\log\left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right).
  3. g(s)=(s101+1e)(cos⁡θ(s),sin⁡θ(s))g(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right)(\cos\theta(s), \sin\theta(s)), θ(s)=10log⁡(s101+1e)\theta(s) = 10\log\left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right), s∈[0,101(e−e−1)]s \in [0, \sqrt{101}(e - e^{-1})].

Controllo: s=0s = 0 dà raggio 1e\frac1e e angolo −10-10 (punto iniziale); s=Ls = L dà raggio ee e angolo 1010.

Errori tipici: far partire l'integrale da 00 invece che da a=−10a = -10; sbagliare la primitiva di eu/10e^{u/10} (è 10eu/1010e^{u/10}).

Teoria collegata