Esercizio 9lunghezze di curve in coordinate polari

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Il metodo

Per $f(t) = \rho(t)(\cos t, \sin t)$ con $\rho \in C^1$: $$L = \int_a^b\sqrt{\rho(t)^2 + \rho'(t)^2}\,dt$$ Per disegnare: a ogni angolo $t$ si segna il punto a distanza $|\rho(t)|$ dall'origine sulla semiretta di angolo $t$ (se $\rho(t) < 0$, sulla semiretta opposta).

1. Spirale logaritmica $\rho = e^t$, $t \in [0, 2\pi]$

Disegno. Parte da $(1, 0)$ ($t = 0$, $\rho = 1$) e gira in senso antiorario allontanandosi sempre più in fretta: a $t = \frac\pi2$ è a distanza $e^{\pi/2} \approx 4.8$ sull'asse $y$, a $t = \pi$ a distanza $e^\pi \approx 23.1$ sul semiasse negativo delle $x$, e arriva in $(e^{2\pi}, 0) \approx (535.5, 0)$. Un solo giro, ma molto "allargato".

Lunghezza. $\rho' = e^t$, quindi $\rho^2 + \rho'^2 = 2e^{2t}$ e $$L = \int_0^{2\pi}\sqrt2\,e^t\,dt = \sqrt2\,(e^{2\pi} - 1) \approx 755.9$$ (la radice di $e^{2t}$ è $e^t$, positivo, quindi niente modulo).

Controllo di ragionevolezza. La distanza in linea retta tra punto iniziale e finale è $e^{2\pi} - 1 \approx 534.5$; la curva è più lunga di un fattore $\sqrt2$. Non è un caso: nella spirale logaritmica velocità radiale $\rho'$ e velocità di rotazione $\rho$ sono sempre uguali, quindi la curva taglia ogni semiretta dall'origine con un angolo costante di $45°$.

2. Spirale di Archimede $\rho = \frac32 t$, $t \in [0, \pi]$

Disegno. Parte dall'origine ($\rho(0) = 0$) e si allontana in modo uniforme: a $t = \frac\pi2$ è in $(0, \frac{3\pi}4) \approx (0, 2.36)$, a $t = \pi$ in $(-\frac{3\pi}2, 0) \approx (-4.71, 0)$. Mezzo giro di spirale con le spire equidistanti.

Lunghezza. $\rho' = \frac32$, quindi $\rho^2 + \rho'^2 = \frac94 t^2 + \frac94 = \frac94(1 + t^2)$ e $$L = \frac32\int_0^\pi\sqrt{1 + t^2}\,dt$$

L'integrale di $\sqrt{1 + t^2}$. Una primitiva (si ottiene con la sostituzione $t = \sinh u$ e $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}{2}$, vedi Integrali di funzioni irrazionaliCon radici di x di indici diversi si pone y = radice di indice n = mcm degli indici, e l'integrale diventa razionale. Per 1/√(ax²+bx+c) si completa il quadrato e si arriva ad arcsin, settsinh o settcosh; per √(ax²+bx+c) ci si riduce a √(R²−x²), √(x²+R²), √(x²−R²), che si calcolano con x = R sin t, x = R sinh t, x = R cosh t. Con √(R²−x²) si ottiene l'area del cerchio πR².Integrali di funzioni irrazionali →) è $$\int\sqrt{1 + t^2}\,dt = \frac12\left(t\sqrt{1 + t^2} + \operatorname{settsinh} t\right) + c, \qquad \operatorname{settsinh} t = \log\big(t + \sqrt{1 + t^2}\big)$$ Controllo derivando: $\frac12\left(\sqrt{1 + t^2} + \frac{t^2}{\sqrt{1 + t^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right) = \frac12\cdot\frac{(1 + t^2) + t^2 + 1}{\sqrt{1 + t^2}} = \sqrt{1 + t^2}$ ✓.

Quindi $$L = \frac32\cdot\frac12\Big[\pi\sqrt{1 + \pi^2} + \log\big(\pi + \sqrt{1 + \pi^2}\big)\Big] = \frac34\Big[\pi\sqrt{1 + \pi^2} + \log\big(\pi + \sqrt{1 + \pi^2}\big)\Big] \approx 9.165$$ (confermato con integrazione numerica in Python).

3. $\rho = 5\cos t$, $t \in [0, \frac{3\pi}4]$

Che curva è. Moltiplicando $\rho = 5\cos t$ per $\rho$: $\rho^2 = 5\rho\cos t$, cioè $x^2 + y^2 = 5x$, e completando il quadrato $$\left(x - \frac52\right)^2 + y^2 = \frac{25}4$$ il cerchio di centro $(\frac52, 0)$ e raggio $\frac52$, che passa per l'origine.

Quanta parte se ne percorre. Con le formule di duplicazione: $$\alpha(t) = (5\cos^2 t,\ 5\cos t\sin t) = \left(\frac52 + \frac52\cos 2t,\ \frac52\sin 2t\right)$$ È il cerchio percorso con angolo (rispetto al centro) $2t$, che va da $0$ a $\frac{3\pi}2$: tre quarti di cerchio. Si parte da $(5, 0)$, a $t = \frac\pi4$ si è in cima $(\frac52, \frac52)$, a $t = \frac\pi2$ nell'origine, e per $t \in\, ]\frac\pi2, \frac{3\pi}4]$ si ha $\rho < 0$: il punto sta sulla semiretta opposta, cioè nel quarto quadrante, fino a $\alpha(\frac{3\pi}4) = (\frac52, -\frac52)$.

Lunghezza con la formula. $\rho' = -5\sin t$, $\rho^2 + \rho'^2 = 25(\cos^2 t + \sin^2 t) = 25$: $$L = \int_0^{3\pi/4}5\,dt = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78$$ Controllo geometrico: tre quarti di una circonferenza di raggio $\frac52$ sono $\frac34\cdot 2\pi\cdot\frac52 = \frac{15\pi}4$ ✓.

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Errori comuni

• Usare $\int\rho\,dt$ come lunghezza: manca il contributo radiale $\rho'$. Per $\rho = 5\cos t$ darebbe $5\sin\frac{3\pi}4 = \frac{5\sqrt2}{2}$, sbagliato.
• Ignorare i tratti con $\rho < 0$ nel disegno: il punto non "sparisce", va sulla semiretta opposta.
• Dimenticare il fattore $\frac32$ portato fuori dalla radice nella spirale di Archimede.