Esercizio 62integrali tripli dai Ripassi

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Tutti i risultati sono stati verificati con Python (sympy). Si indicano con $\rho, \theta$ le coordinate polari nel piano opportuno.

2.1 Per fili lungo $y$ sopra il disco $x^2 + z^2 \le 1$ del piano $xz$: il filo sopra $(x, z)$ va da $y = 0$ a $y = 1 - x - z$, ma solo dove $1 - x - z \ge 0$; dove $x + z > 1$ (una piccola calotta del disco) non ci sono punti di $T$. Conviene ruotare gli assi nel piano $xz$: $u = \frac{x + z}{\sqrt2}$, $v = \frac{z - x}{\sqrt2}$ (una rotazione, jacobiano $1$; il disco resta il disco unitario). Allora $x = \frac{u - v}{\sqrt2}$, la condizione diventa $u \le \frac{1}{\sqrt2}$ e la lunghezza del filo è $1 - \sqrt2\,u$: $$\iiint_T x = \iint_{u^2 + v^2 \le 1,\ u \le 1/\sqrt2}\frac{u - v}{\sqrt2}\,(1 - \sqrt2\,u)\,du\,dv$$ Il termine con $v$ è dispari in $v$ su un dominio simmetrico: si annulla. Resta, integrando in $v$ sul segmento di lunghezza $2\sqrt{1 - u^2}$: $$\int_{-1}^{1/\sqrt2}\left(\sqrt2\,u - 2u^2\right)\sqrt{1 - u^2}\,du = -\frac16 - \frac{3\pi}{16} \approx -0.756$$ (il primo pezzo, $\sqrt2\left[-\frac{(1 - u^2)^{3/2}}{3}\right]_{-1}^{1/\sqrt2} = -\frac16$; il secondo calcolato con sympy). Attenzione: se si integra $x(1 - x - z)$ su tutto il disco, senza accorgersi che il filo "si capovolge" dove $x + z > 1$, si ottiene $-\frac\pi4 \approx -0.785$, che non è l'integrale su $T$.

2.2 (a) $x \le 1 - y^2 - z^2$ con $x \ge 0$: è la regione dentro il paraboloide $x = 1 - y^2 - z^2$ (con asse l'asse $x$, vertice in $(1, 0, 0)$), tagliata dal piano $x = 0$: una "cupola" sopra il disco $y^2 + z^2 \le 1$ del piano $yz$. (b) Per fili lungo $x$ (lunghezza $1 - \rho^2$), polari in $(y, z)$: $$\int_0^{2\pi}\int_0^1\rho^2\sin^2\theta\,(1 - \rho^2)\,\rho\,d\rho\,d\theta = \pi\left(\frac14 - \frac16\right) = \frac{\pi}{12}$$

2.4 Il dominio è la regione sopra il paraboloide $z = x^2 + y^2$ e sotto $z = 2 - x^2 - y^2$, sopra il disco unitario (dove i due paraboloidi si incontrano). In cilindriche la $z$ va da $\rho^2$ a $2 - \rho^2$: $$\int_0^{2\pi}\int_0^1\rho^3(2 - 2\rho^2)\,\rho\,d\rho\,d\theta = 2\pi\cdot 2\left(\frac15 - \frac17\right) = \frac{8\pi}{35}$$

2.5 (i) $\operatorname{Area} = \int_0^1\frac{x}{1 + x^2}dx = \frac{\ln 2}{2}$. (ii) $\bar z = \frac{1}{\operatorname{Area}}\int_0^1\frac12\left(\frac{x}{1 + x^2}\right)^2dx = \frac{\pi - 2}{8\ln 2}$. (iii) Per strati perpendicolari all'asse $x$ (dischi di raggio $\frac{x}{1 + x^2}$): $\operatorname{Vol} = \pi\int_0^1\frac{x^2}{(1 + x^2)^2}dx = \frac{\pi(\pi - 2)}{8}$. Controllo con Pappo-Guldino: $2\pi\,\bar z\cdot\operatorname{Area} = 2\pi\cdot\frac{\pi - 2}{8\ln 2}\cdot\frac{\ln 2}{2} = \frac{\pi(\pi - 2)}{8}$ ✓.

2.7 Il dominio è simmetrico rispetto al piano $y = 0$ (il piano $z = x + 2$ e i cilindri non dipendono dal segno di $y$) e la funzione $y$ è dispari: $\iiint_\Omega y = 0$.

2.15 $\int_0^{\pi/2}\int_0^1\rho\cos\theta\,\rho\,d\rho\,d\theta\cdot\int_{-1}^0z\,dz = \frac13\cdot\left(-\frac12\right) = -\frac16$.

2.19 In sferiche: $z \ge 0$ e $x^2 + y^2 \le z^2$ significano $\varphi \le \frac\pi4$; $\sqrt{x^2 + y^2} = \rho\sin\varphi$: $$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^1\frac{1}{\rho\sin\varphi}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot\frac\pi4\cdot\frac12 = \frac{\pi^2}{4}$$

2.20 Doppio cono $\rho \le |z|$, $z \in [-1, 2]$; in cilindriche: $$\int_{-1}^2 2\pi\int_0^{|z|}(\rho^2 + z^2)\rho\,d\rho\,dz = 2\pi\int_{-1}^2\frac34z^4\,dz = \frac{3\pi}{2}\cdot\frac{32 + 1}{5} = \frac{99\pi}{10}$$

2.24 $\int_0^1 x\,e^{xz}\,dz = e^x - 1$, poi $\int_1^3y\,dy = 4$ e $\int_0^2(e^x - 1)\,dx = e^2 - 3$: totale $4(e^2 - 3) = 4e^2 - 12$.

2.26 Per fili in $z$: $\int_0^{x+y}(x + y + z)\,dz = \frac32(x + y)^2$; poi $\int_0^1\int_{2x}^{x+1}\frac32(x + y)^2\,dy\,dx = \frac{13}{8}$.

2.29 La regione (nel piano $xz$, con $0 \le x \le 1$) è tra la parabola $z = x^2 - 1$ e $z = (x - 1)^2$; la sua "altezza" alla distanza $x$ dall'asse è $(x - 1)^2 - (x^2 - 1) = 2 - 2x$. Con Pappo-Guldino nella forma $2\pi\iint x$: $$\operatorname{Vol} = 2\pi\int_0^1 x(2 - 2x)\,dx = 2\pi\cdot\frac13 = \frac{2\pi}{3}$$

2.30 Per fili: sopra la corona $r \le \rho \le 1$, la $z$ va da $\rho^2$ a $1$: $\operatorname{Vol} = 2\pi\int_r^1(1 - \rho^2)\rho\,d\rho = \frac\pi2(1 - r^2)^2$. Imponendo $\frac\pi2(1 - r^2)^2 = \frac\pi8$: $1 - r^2 = \frac12$, $r = \frac{1}{\sqrt2}$.

2.33 $\int_0^{\pi/2}\cos(x + y + z)\,dz = \sin(x + y + \frac\pi2) - \sin(x + y)$, e iterando si ottiene $-2$ (il valore è negativo perché $x + y + z$ arriva fino a $\frac{3\pi}2$).

2.34 Fattorizza: $\int_0^1z\,dz\cdot\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{\rho}{1 + \rho^2}d\rho\,d\theta = \frac12\cdot 2\pi\cdot\frac{\ln 2}{2} = \frac{\pi\ln 2}{2}$.

2.35 Tra il paraboloide $z = \rho^2$ (sotto) e $z = 1 - \rho^2$ (sopra), che si incontrano per $\rho^2 = \frac12$: $\operatorname{Vol} = 2\pi\int_0^{1/\sqrt2}(1 - 2\rho^2)\rho\,d\rho = 2\pi\cdot\frac18 = \frac\pi4$.

2.44 Con $u = \sqrt2\,x$, $v = \sqrt3\,y$ (jacobiano $dx\,dy = \frac{du\,dv}{\sqrt6}$) diventa $\{u^2 + v^2 + z^2 \le 1,\ u^2 + v^2 \le \frac12\}$: la palla unitaria intersecata con il cilindro di raggio $\frac{1}{\sqrt2}$. In cilindriche (la $z$ va da $-\sqrt{1 - \rho^2}$ a $\sqrt{1 - \rho^2}$): $$\operatorname{Vol} = \frac{1}{\sqrt6}\cdot 2\pi\int_0^{1/\sqrt2}2\sqrt{1 - \rho^2}\,\rho\,d\rho = \frac{4\pi}{3\sqrt6}\left(1 - \frac{\sqrt2}{4}\right) = \frac{\sqrt6\,\pi(4 - \sqrt2)}{18} \approx 1.105$$

2.47 $z \ge 0$ prende la mezza palla; $x^2 \le y^2$, cioè $|x| \le |y|$, prende metà degli angoli $\theta$ (i due settori attorno all'asse $y$). Volume: $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac43\pi = \frac\pi3$.

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Errori comuni

• Non sfruttare le simmetrie (2.7, 2.47): molti integrali sono nulli o frazioni semplici di volumi noti.
• Dimenticare il fattore $\frac1{\sqrt6}$ del cambio di variabile in 2.44.