Variabili binomiale e geometrica

Lezione 4 di probabilità, Unità 3-4. Prerequisiti: Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzioneUna variabile aleatoria è una funzione X : Ω → R; {X ∈ A} = X⁻¹(A) è un evento. X è discreta se assume un insieme finito o numerabile di valori x₀, x₁, …; la densità discreta pₓ(x) = P(X = x) ha somma 1 e determina tutto: P(X ∈ A) = Σ_{xₖ∈A} pₓ(xₖ). La funzione di distribuzione Fₓ(x) = P(X ≤ x) è crescente, continua a destra, con limiti 0 e 1; P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a), P(X = a) = F(a) − F(a⁻) (il salto in a), P(X < a) = F(a⁻). Per una discreta F è a gradini. Bernoulli Be(p): vale 1 (successo) con probabilità p, 0 altrimenti.Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione →, Eventi indipendenti e indipendenza condizionataA e B sono indipendenti se P(AB) = P(A)P(B), cioè (se P(B) > 0) P(A | B) = P(A): sapere B non cambia la probabilità di A. Se A, B sono indipendenti lo sono anche A e Bᶜ. Tre eventi sono indipendenti se lo sono a coppie E P(ABC) = P(A)P(B)P(C): l'indipendenza a coppie non basta. Prove ripetute indipendenti: le probabilità si moltiplicano. Indipendenza condizionata a F: P(AB | F) = P(A | F)P(B | F); non implica l'indipendenza (due lanci della stessa moneta scelta a caso). Eventi disgiunti con probabilità positive non sono mai indipendenti.Eventi indipendenti e indipendenza condizionata → (prove ripetute), Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton →.

La variabile binomiale

Esempio del prof. Si lancia un dado sette volte (lanci indipendenti): probabilità che il $6$ esca esattamente $4$ volte? Una sequenza particolare con quattro $6$ e tre non-$6$, per esempio $(6, 6, 6, 6, \bar6, \bar6, \bar6)$, ha probabilità $\left(\frac16\right)^4\left(\frac56\right)^3$ (prove indipendenti: si moltiplica). Tutte le sequenze con quattro $6$ hanno la stessa probabilità, e sono tante quanti i modi di scegliere le $4$ posizioni dei $6$ tra le $7$: $\binom74 = 35$. Quindi $$P = 35\cdot\frac{1}{6^4}\cdot\frac{5^3}{6^3} = \frac{4375}{279\,936} \approx 0.0156$$

In generale: $n$ prove di Bernoulli indipendenti, ciascuna con successo di probabilità $p$, e $X$ = numero di successi. Per lo stesso ragionamento $P(X = k) = \binom nk p^k(1 - p)^{n-k}$.

Definizione. $X$ è binomiale di parametri $(n, p)$, $X \sim B(n, p)$, se $\operatorname{Im}X = \{0, 1, \dots, n\}$ e $$p_X(k) = \binom nk p^k(1 - p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n$$

Esempio. $X \sim B(3, \frac{1}{2})$: $P(X = 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$.

Controllo: $\sum_{k=0}^n\binom nk p^k(1 - p)^{n-k} = (p + (1 - p))^n = 1$ per il binomio di Newton (da cui il nome). $B(1, p)$ è la Bernoulli $\operatorname{Be}(p)$.

Forma della densità. Il prof mostra le densità di $B(50, 0.3)$, $B(50, 0.5)$, $B(50, 0.8)$: "campane" discrete centrate vicino a $np$ ($15$, $25$, $40$), simmetriche per $p = \frac12$, asimmetriche altrimenti. Vedremo che $np$ è il valore atteso (il numero medio di successi) e che per $n$ grande la forma diventa quella della gaussianaZ ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) →.

Esempi del prof.

• Dado lanciato $7$ volte, probabilità che esca esattamente $4$ volte un numero $\ge 5$: ora il successo ha probabilità $p = \frac26 = \frac13$, e $P(X = 4) = \binom74\left(\frac13\right)^4\left(\frac23\right)^3 = \frac{35\cdot 8}{2187} = \frac{280}{2187} \approx 0.128$.
• La fabbrica di smartphone: ogni telefono è difettoso con probabilità $1\%$, indipendentemente dagli altri. In una confezione di $50$, il numero di difettosi è $X \sim B(50, 0.01)$ e $$P(X \le 2) = 0.99^{50} + 50\cdot 0.01\cdot 0.99^{49} + \binom{50}2 0.01^2\cdot 0.99^{48} \approx 0.6050 + 0.3056 + 0.0756 = 0.9862 \approx 0.986$$ (con i termini arrotondati a tre cifre la somma verrebbe $0.605 + 0.306 + 0.076 = 0.987$: la terza cifra si sposta per gli arrotondamenti, per questo qui se ne tengono quattro).

Variabili indipendenti e la binomiale come somma

Definizione. Le variabili $\{X_i : i \in I\}$ sono indipendenti se, comunque si scelgano $A_i \subseteq \mathbb{R}$, gli eventi $\{X_i \in A_i\}$ sono indipendenti.

Esempio. In una successione di lanci di una moneta, le variabili "esito del lancio $i$" sono indipendenti.

In una successione di prove indipendenti, le variabili che descrivono gli esiti delle singole prove sono indipendenti.

Proposizione. Se $X_1, \dots, X_n \sim \operatorname{Be}(p)$ sono indipendenti, allora $X := X_1 + \cdots + X_n \sim B(n, p)$.

Esempio. Il numero di teste in $3$ lanci di una moneta equa è $X_1 + X_2 + X_3 \sim B(3, \frac{1}{2})$.

Dimostrazione (per $n = 2$). $X_1 + X_2$ vale $0, 1, 2$; per l'indipendenza $$P(X = 0) = P(X_1 = 0)P(X_2 = 0) = (1 - p)^2, \qquad P(X = 2) = p^2$$ $$P(X = 1) = P(X_1 = 1, X_2 = 0) + P(X_1 = 0, X_2 = 1) = 2p(1 - p)$$ che sono i valori di $B(2, p)$ ∎. È la traduzione di "numero di successi = somma delle indicatrici dei successi".

Senza indipendenza non è binomiale. Esempio del prof: due palline estratte senza reimmissione da un'urna con $20$ rosse e $10$ nere; $X_i = 1$ se l'$i$-esima è rossa.

• $X_1 \sim \operatorname{Be}\left(\frac23\right)$, e anche $X_2 \sim \operatorname{Be}\left(\frac23\right)$ (per simmetria, la seconda pallina è rossa con la stessa probabilità della prima: $P(X_2 = 1) = \frac23\cdot\frac{19}{29} + \frac13\cdot\frac{20}{29} = \frac{58}{87} = \frac23$).
• Non sono indipendenti: $P(X_1 = 1, X_2 = 1) = \frac{20}{30}\cdot\frac{19}{29} = \frac{38}{87} \approx 0.437 \ne \frac49 \approx 0.444$.
• Quindi $X = X_1 + X_2$ ha $P(X = 2) = \frac{38}{87}$ e non è $B\left(2, \frac23\right)$. La sua legge si chiama ipergeometrica: $P(X = k) = \frac{\binom{20}k\binom{10}{2-k}}{\binom{30}2}$ (scegliere $k$ rosse e $2 - k$ nere), come per le mani di carte. Con molte palline e poche estrazioni la differenza con la binomiale diventa trascurabile.

La variabile geometrica

Esempio del prof. Lanci indipendenti di una moneta che dà testa con probabilità $\frac14$; $X$ = numero di lanci necessari per vedere la prima testa. $X = k$ significa: croce nei primi $k - 1$ lanci, testa al $k$-esimo. Quindi $P(X = k) = \left(\frac34\right)^{k-1}\frac14$.

Definizione. $X$ è geometrica di parametro $p \in\, ]0, 1[$, $X \sim \operatorname{Ge}(p)$, se $\operatorname{Im}X = \mathbb{N}_{\ge 1}$ e $$p_X(k) = p\,(1 - p)^{k-1}, \qquad k = 1, 2, \dots$$

È il tempo d'attesa del primo successo in prove di Bernoulli indipendenti. Controllo: $\sum_{k \ge 1}p(1 - p)^{k-1} = p\cdot\frac{1}{1 - (1 - p)} = 1$ (serie geometrica, da cui il nome).

La coda. Per ogni $k \in \mathbb{N}$: $$P(X > k) = (1 - p)^k$$

Perché: $X > k$ significa che i primi $k$ lanci sono tutti insuccessi. (Con la serie: $\sum_{j > k}p(1 - p)^{j-1} = p(1 - p)^k\cdot\frac1p$.)

Esempio del prof. Lanciando un dado, servono $7$ o più lanci per il primo $6$ con probabilità $P(X \ge 7) = P(X > 6) = \left(\frac56\right)^6 \approx 0.335$: una volta su tre!

L'assenza di memoria

Proposizione. Se $X \sim \operatorname{Ge}(p)$, per ogni $k, m \in \mathbb{N}$: $$P(X > k + m \mid X > k) = P(X > m)$$

Dimostrazione. $\{X > k + m\} \subseteq \{X > k\}$, quindi $$P(X > k + m \mid X > k) = \frac{P(X > k + m)}{P(X > k)} = \frac{(1 - p)^{k+m}}{(1 - p)^k} = (1 - p)^m = P(X > m)$$ ∎

Significato: sapere che i primi $k$ tentativi sono andati male non cambia nulla per il futuro; l'attesa "riparte da zero". Le prove sono indipendenti: il dado o la moneta non hanno memoria.

Esempio del prof (la zia e il lotto). In ogni estrazione del lotto escono $5$ numeri su $90$; il $90$ esce con probabilità $p = \frac{5}{90} = \frac1{18}$. Il $90$ non esce da $30$ settimane: probabilità che esca alla $31$-esima? Per l'assenza di memoria è ancora $\frac1{18}$, non più alta: il numero "ritardatario" non è favorito. Probabilità che si debba aspettare almeno fino alla $35$-esima settimana (che non esca nelle settimane $31$-$34$): $P(X > 34 \mid X > 30) = P(X > 4) = \left(\frac{17}{18}\right)^4 \approx 0.80$.

Esercizi: Esercizio 49 · binomiali, geometriche e assenza di memoria.

Errori comuni

• Dimenticare il coefficiente $\binom nk$ (la probabilità di una sola sequenza non è quella dell'evento).
• Usare la binomiale per estrazioni senza reimmissione.
• Confondere $P(X > k)$ e $P(X \ge k)$ per la geometrica: $P(X \ge k) = (1 - p)^{k-1}$.
• Credere che i "ritardatari" siano più probabili.