Integrali doppi e formule di riduzione

Lezione 6 di analisi, Unità 1-3. Prerequisiti: Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →, Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →.

L'idea: il volume sotto una superficie

Sia $f : [a, b]\times[c, d] \to [0, +\infty[$. Il trapezoide di $f$ è il solido $$\operatorname{Trap}(f) := \{(x, y, z) : (x, y) \in [a, b]\times[c, d],\ 0 \le z \le f(x, y)\}$$ compreso tra il rettangolo di base e il grafico. Per calcolarne il volume si fa come in una variabile con l'area: si suddivide la base in rettangolini $A_i$, si sceglie in ognuno un punto $c_i$, e si approssima il solido con parallelepipedi di base $A_i$ e altezza $f(c_i)$: $$\operatorname{Vol}(\operatorname{Trap}(f)) \approx \sum_i f(c_i)\operatorname{Area}(A_i)$$ L'approssimazione migliora quando i rettangolini diventano piccoli (il loro diametro massimo tende a $0$).

Definizione. $f : [a, b]\times[c, d] \to \mathbb{R}$ limitata è integrabile (secondo Riemann) se le somme $\sum_i f(c_i)\operatorname{Area}(A_i)$ convergono quando il massimo dei diametri dei rettangolini tende a $0$. Il limite si indica con $\displaystyle\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x, y)\,dx\,dy$ ed è l'integrale doppio di $f$.

Esempio. $f \equiv 1$ su $[0,2] \times [0,3]$: ogni somma vale $\sum \text{Area}(A_i) = 6$, quindi $\int f = 6$.

Proposizione. Ogni funzione continua su un rettangolo chiuso è integrabile.

Esempio. $f(x,y) = xy$ è continua su $[0,1]^2$, quindi è integrabile.

Si estende a domini $D$ limitati non rettangolari (il prof ammette la nozione senza i dettagli): ogni $f$ continua e limitata su un dominio $D$ limitato "ragionevole" (misurabile) è integrabile, e $$\operatorname{Vol}(\operatorname{Trap}(f)) := \int_D f\,dx\,dy \quad (f \ge 0), \qquad \operatorname{Area}(D) := \int_D 1\,dx\,dy$$

Proprietà

Siano $f, g$ integrabili su $D$.

1. Linearità: $\int_D(cf + g) = c\int_D f + \int_D g$.
2. Positività: se $f \ge 0$ allora $\int_D f \ge 0$ (quindi se $f \le g$ allora $\int_D f \le \int_D g$).
3. Il sostegno di una curva rettificabile ha area nulla.
4. Additività: se $D = D_1 \cup D_2$ e $D_1 \cap D_2$ è al più un'unione finita di sostegni di curve (cioè i due pezzi si toccano solo lungo dei bordi), $\int_D f = \int_{D_1}f + \int_{D_2}f$.

La 3 e la 4 dicono che i bordi non contano: includere o escludere il bordo di un dominio non cambia l'integrale.

Formule di riduzione sui rettangoli

L'integrale doppio si calcola con due integrali semplici, uno dentro l'altro (integrale iterato).

Fette verticali. Fissata $x$, si integra in $y$: $A(x) := \int_c^d f(x, y)\,dy$ è l'area della "fetta" del solido sopra il segmento verticale di ascissa $x$. Poi si sommano le fette: $\int_a^b A(x)\,dx$. È il principio di Cavalieri: il volume è l'integrale delle aree delle sezioni.

Fette orizzontali. Prima $\int_a^b f(x, y)\,dx$ con $y$ fissato, poi si integra in $y$.

Teorema (formula di riduzione sui rettangoli). Se $f$ è integrabile su $[a, b]\times[c, d]$, $$\int_{[a,b]\times[c,d]}f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_c^d f(x, y)\,dy\right)dx = \int_c^d\left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right)dy$$

Esempio del prof. $\int_0^2\int_0^1(4 - x - y)\,dy\,dx$. Integrale interno ($x$ fissato, si integra in $y$): $$\int_0^1(4 - x - y)\,dy = \left[4y - xy - \frac{y^2}2\right]_0^1 = \frac72 - x$$ Poi $\int_0^2\left(\frac72 - x\right)dx = \left[\frac72x - \frac{x^2}2\right]_0^2 = 7 - 2 = 5$. Nell'altro ordine: $\int_0^2(4 - x - y)\,dx = 6 - 2y$ e $\int_0^1(6 - 2y)\,dy = 5$ ✓.

Esempio del prof. $\int_{[0,1]\times[0,2]}(xy^2 + 2x^2y^3)\,dx\,dy$: $\int_0^2(xy^2 + 2x^2y^3)\,dy = \frac83x + 8x^2$, e $\int_0^1\left(\frac83x + 8x^2\right)dx = \frac43 + \frac83 = 4$.

Volume di un trapezoide. Sotto $z = 1 + x^2 + y^2$ con $(x, y) \in [-1, 1]\times[0, 1]$: $$\int_{-1}^1\int_0^1(1 + x^2 + y^2)\,dy\,dx = \int_{-1}^1\left(1 + x^2 + \frac13\right)dx = \frac83 + \frac23 = \frac{10}{3}$$

Prodotto di funzioni di una variabile. Se $f(x, y) = g(x)\,h(y)$ su un rettangolo: $$\int_{[a,b]\times[c,d]}g(x)h(y)\,dx\,dy = \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right)$$

Perché: nell'integrale interno in $y$, $g(x)$ è una costante e si porta fuori. Per $f = 1$ si ritrova l'area del rettangolo $(b - a)(d - c)$. Esempio: $$\int_{[0,2]\times[0,1]}\frac{1 + x^2}{1 + y^2}\,dx\,dy = \left[x + \frac{x^3}3\right]_0^2\cdot\big[\arctan y\big]_0^1 = \frac{14}{3}\cdot\frac\pi4 = \frac{7\pi}{6}$$

Domini semplici

Definizione. $D$ è semplice rispetto a $x$ (o "normale rispetto all'asse $x$") se $$D = \{(x, y) : x \in [a, b],\ \alpha(x) \le y \le \beta(x)\}$$ con $\alpha, \beta : [a, b] \to \mathbb{R}$ continue. È semplice rispetto a $y$ se $D = \{(x, y) : y \in [c, d],\ \alpha(y) \le x \le \beta(y)\}$.

Esempio. Il triangolo $\{0 \le y \le x \le 1\}$ è semplice rispetto a $x$, con $\alpha(x) = 0$ e $\beta(x) = x$ per $x \in [0, 1]$.

Semplice rispetto a $x$: ogni retta verticale $x = x_0$ (con $x_0 \in [a, b]$) taglia $D$ in un solo segmento, da $\alpha(x_0)$ a $\beta(x_0)$. Esempio: $\{0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le x^2\}$, la regione sotto la parabola.

Formule di riduzione. $$D \text{ semplice rispetto a } x: \quad \int_D f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,dy\right)dx$$ $$D \text{ semplice rispetto a } y: \quad \int_D f\,dx\,dy = \int_c^d\left(\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x, y)\,dx\right)dy$$

Ora gli estremi dell'integrale interno dipendono dalla variabile esterna: la fetta verticale di ascissa $x$ va da $\alpha(x)$ a $\beta(x)$. Gli estremi dell'integrale esterno sono sempre numeri.

Esempio del prof. $D = \{0 \le x \le 1,\ x \le y \le 2x\}$, $\int_D x\,e^y\,dx\,dy$: $$\int_0^1\left(\int_x^{2x}x\,e^y\,dy\right)dx = \int_0^1 x\,(e^{2x} - e^x)\,dx$$ e per parti ($\int x e^{kx} = e^{kx}\left(\frac xk - \frac{1}{k^2}\right)$): $\left[e^{2x}\left(\frac x2 - \frac14\right)\right]_0^1 - \big[e^x(x - 1)\big]_0^1 = \frac{e^2}4 + \frac14 - 1 = \frac{e^2 - 3}{4}$.

Come riconoscere un dominio semplice (e trovarne la descrizione)

• La proiezione di $D$ sull'asse $x$ è $\pi_x(D) = \{x : \exists y,\ (x, y) \in D\}$ (le ascisse dei punti di $D$), e per $x \in \pi_x(D)$ la sezione è $D(x) = \{y : (x, y) \in D\}$.
• $D$ è semplice rispetto a $x$ se la proiezione è un intervallo $[a, b]$ e ogni sezione $D(x)$ è un intervallo $[\alpha(x), \beta(x)]$ con estremi che dipendono con continuità da $x$.

In pratica: si disegna $D$; si leggono gli estremi $a, b$ della proiezione; per una $x$ generica si traccia la retta verticale e si guarda da quale curva entra ($\alpha$) e da quale esce ($\beta$). Se la curva di ingresso o di uscita cambia a metà, si spezza il dominio in più pezzi.

Esempio del prof. $D = \{x + y \ge 1,\ x^2 + y^2 \le 1\}$ (il segmento circolare sopra la corda da $(1, 0)$ a $(0, 1)$). Semplice rispetto a $x$: $x \in [0, 1]$, $1 - x \le y \le \sqrt{1 - x^2}$. Per simmetria anche rispetto a $y$.

Esempio del prof. $\{y \in [0, 1],\ 0 \le x \le y^2\}$ è semplice rispetto a $y$, ma anche rispetto a $x$: è la regione tra la parabola $x = y^2$ (cioè $y = \sqrt x$) e la retta $y = 1$, quindi $\{x \in [0, 1],\ \sqrt x \le y \le 1\}$.

Scambiare l'ordine di integrazione

A volte l'integrale interno non ha una primitiva elementare in un ordine, ma diventa facile nell'altro.

Esempio del prof. $D = \{x \in [0, 1],\ x \le y \le 1\}$ (il triangolo sopra la bisettrice), $\int_D\sin(y^2)\,dx\,dy$. Con le fette verticali servirebbe $\int\sin(y^2)\,dy$, che non è elementare. Lo stesso triangolo è semplice rispetto a $y$: $y \in [0, 1]$, $0 \le x \le y$. Allora $$\int_0^1\left(\int_0^y\sin(y^2)\,dx\right)dy = \int_0^1 y\sin(y^2)\,dy = \left[-\frac{\cos(y^2)}{2}\right]_0^1 = \frac{1 - \cos 1}{2}$$ Integrando prima in $x$ è comparso il fattore $y$, che è proprio la derivata (a meno di $2$) di $y^2$.

Il metodo per scambiare: (1) dagli estremi dell'integrale iterato si ricostruisce e si disegna il dominio; (2) lo si ridescrive con fette nell'altra direzione; (3) si riscrivono gli estremi.

Esempio del prof. $\int_0^1\int_{3y}^3 e^{x^2}\,dx\,dy$: dominio $0 \le y \le 1$, $3y \le x \le 3$, cioè il triangolo di vertici $(0,0)$, $(3, 0)$, $(3, 1)$. Con le fette verticali: $x \in [0, 3]$, $0 \le y \le \frac x3$: $$\int_0^3\int_0^{x/3}e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^3\frac x3e^{x^2}\,dx = \frac{e^9 - 1}{6}$$

Altri esempi (unioni di domini, regioni tra due parabole, baricentri) nell'Esercizio 28 · integrali doppi su rettangoli e domini semplici e nell'Esercizio 29 · scambiare l'ordine di integrazione e aree.

Errori comuni

• Mettere la variabile esterna negli estremi esterni: gli estremi dell'integrale esterno sono numeri, quelli dell'interno possono dipendere dalla variabile esterna (mai il contrario).
• Scambiare l'ordine copiando gli estremi: bisogna ridisegnare il dominio.
• Dimenticare di spezzare il dominio quando la curva di ingresso o di uscita cambia.