Variabili aleatorie congiunte continue

Lezione 9 di probabilità, Unità 3-5. Prerequisiti: Variabili aleatorie congiunte discreteUna variabile congiunta discreta è una coppia (X, Y) di v.a. discrete; la densità congiunta è p_{X,Y}(a,b) = P(X = a, Y = b). Le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile: pₓ(a) = Σ_y p_{X,Y}(a,y). Le marginali NON determinano la congiunta. X e Y sono indipendenti se e solo se p_{X,Y}(a,b) = pₓ(a) p_Y(b) per ogni (a,b). E[g(X,Y)] = Σ g(x,y) p_{X,Y}(x,y); in particolare E[XY] e Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y].Variabili aleatorie congiunte discrete →, Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale →, Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione →, Integrali doppi in coordinate polariCon x = ρ cos t, y = ρ sin t lo jacobiano è ρ: ∫D f dx dy = ∫E f(ρ cos t, ρ sin t) ρ dρ dt, con E la descrizione di D in (ρ,t). Conviene per dischi, corone, settori e funzioni radiali: ∫{B(0,R]} g(√(x²+y²)) = 2π ∫₀ᴿ g(ρ) ρ dρ. L'area della regione 0 ≤ ρ ≤ ρ(t), t ∈ [a,b] è ½ ∫ₐᵇ ρ(t)² dt. Esempi: ∫{B(0,R]} e^{x²+y²} = π(e^{R²} − 1); petalo (x²+y²)² ≤ 8xy di area 2.Integrali doppi in coordinate polari →.

Densità congiunta

Esempio del prof. Si colpisce a caso un punto di un bersaglio circolare $B_R$ di raggio $R$; $(X, Y)$ sono le sue coordinate. È naturale porre, per $A \subseteq B_R$, $P((X, Y) \in A) = \frac{\operatorname{Area}(A)}{\pi R^2} = \int_A\frac{1}{\pi R^2}\,dx\,dy$: la probabilità è l'integrale doppio di una funzione costante.

Definizione. $(X, Y)$ è una variabile congiunta continua se esiste $f_{X,Y} : \mathbb{R}^2 \to [0, +\infty[$, la densità congiunta, tale che $$P((X, Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x, y)\,dx\,dy \qquad \text{per ogni } A \subseteq \mathbb{R}^2$$ In particolare $f_{X,Y} \ge 0$ e $\iint_{\mathbb{R}^2}f_{X,Y} = 1$.

Tutti i calcoli di probabilità diventano integrali doppi sulla regione $A$ intersecata con il sostegno $S = \{f_{X,Y} \ne 0\}$: conviene sempre disegnare $S$ e $A$.

Uniforme su un insieme. Se $C \subseteq \mathbb{R}^2$ ha area finita, $(X, Y) \sim U(C)$ ha densità $\frac{1}{\operatorname{Area}(C)}$ su $C$ e $0$ fuori; allora $P((X, Y) \in A) = \frac{\operatorname{Area}(A)}{\operatorname{Area}(C)}$ per $A \subseteq C$. Una densità costante su $C$ e nulla fuori è necessariamente uniforme.

Esempio del prof. $f_c(x, y) = c$ per $0 \le y \le x \le 1$ (il triangolo sotto la bisettrice), $0$ altrove.

• Il triangolo ha area $\frac12$, quindi $c = 2$.
• $P(X^2 + Y^2 \le \frac14)$: il quarto di cerchio di raggio $\frac12$ intersecato con il triangolo è il settore di angolo $\frac\pi4$ (tra l'asse $x$ e la bisettrice), di area $\frac12\cdot\frac14\cdot\frac\pi4 = \frac{\pi}{32}$. Quindi $P = 2\cdot\frac\pi{32} = \frac\pi{16}$.

Densità marginali

Proposizione. Se $(X, Y)$ è congiunta continua, $X$ e $Y$ sono continue con densità (marginali) $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x, y)\,dy, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x, y)\,dx$$

È l'analogo continuo delle somme per riga e per colonna: per avere la densità di $X$ in $x$ si "raccoglie" tutta la densità sulla retta verticale di ascissa $x$.

Attenzione agli insiemi dove le densità sono nulle. Se $I$ è la proiezione del sostegno $S$ sull'asse $x$, allora $f_X(x) = 0$ per $x \notin I$; e per $x \in I$ si integra solo sul segmento verticale dentro $S$ (gli estremi dell'integrale in $y$ dipendono da $x$, come nelle formule di riduzione).

Esempio del prof. $f_{X,Y}(x, y) = cx^2y$ su $[0, 1]^2$. $\int_0^1\int_0^1 cx^2y = c\cdot\frac13\cdot\frac12 = 1$, quindi $c = 6$, e $$f_X(x) = \int_0^1 6x^2y\,dy = 3x^2, \qquad f_Y(y) = \int_0^1 6x^2y\,dx = 2y \qquad \text{(su } [0, 1]\text{)}$$

Esempio del prof (uniforme sull'ellisse $\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1$). Area $\pi\cdot 2\cdot 1 = 2\pi$, densità $\frac{1}{2\pi}$. Per $|x| \le 2$ il segmento verticale va da $-\sqrt{1 - x^2/4}$ a $\sqrt{1 - x^2/4}$: $$f_X(x) = \frac{2\sqrt{1 - x^2/4}}{2\pi} = \frac{\sqrt{1 - x^2/4}}{\pi} \ (|x| \le 2), \qquad f_Y(y) = \frac{4\sqrt{1 - y^2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{1 - y^2}}{\pi} \ (|y| \le 1)$$ (il segmento orizzontale ad altezza $y$ è lungo $2\cdot 2\sqrt{1 - y^2}$). Le marginali di un'uniforme non sono uniformi: i valori centrali sono più probabili.

Valore atteso e covarianza

Proposizione. Se $g$ è continua e $\iint|g|f_{X,Y} < +\infty$: $\displaystyle E[g(X, Y)] = \iint_{\mathbb{R}^2}g(x, y)\,f_{X,Y}(x, y)\,dx\,dy$. In particolare $E[XY] = \iint xy\,f_{X,Y}$, e $\operatorname{Cov}[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y]$.

Esempio del prof (uniforme sul disco unitario). Per simmetria $E[X] = E[Y] = 0$ ed $E[XY] = 0$ ($xy$ è dispari in $x$ e il disco è simmetrico). Quindi $\operatorname{Cov}[X, Y] = 0$, ma $X$ e $Y$ non sono indipendenti (vedi sotto): se $X$ è vicino a $1$, $Y$ deve essere vicino a $0$.

Esempio del prof. $f_{X,Y} = 2$ su $0 \le y \le x \le 1$.

• $f_X(x) = \int_0^x 2\,dy = 2x$, $f_Y(y) = \int_y^1 2\,dx = 2(1 - y)$, su $[0, 1]$.
• $E[X] = \int_0^1 2x^2 = \frac23$, $E[Y] = \int_0^1 2y(1 - y) = \frac13$.
• $E[XY] = \int_0^1\int_0^x 2xy\,dy\,dx = \int_0^1 x^3\,dx = \frac14$, quindi $\operatorname{Cov}[X, Y] = \frac14 - \frac29 = \frac1{36}$.
• $\operatorname{Var}[X] = \frac12 - \frac49 = \frac1{18}$, $\operatorname{Var}[Y] = \frac16 - \frac19 = \frac1{18}$, e $\operatorname{Var}[X + Y] = \frac1{18} + \frac1{18} + 2\cdot\frac1{36} = \frac16$.

Indipendenza

Proposizione. $X$ e $Y$ continue sono indipendenti se e solo se $$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x)\,f_Y(y) \qquad \text{per ogni } (x, y)$$

Esempio. $f_{X,Y} = 4xy$ su $[0,1]^2$ è il prodotto di $2x$ e $2y$: indipendenti. $f_{X,Y} = 2$ sul triangolo $0 \le y \le x \le 1$ ha sostegno non rettangolare: non indipendenti.

Criterio del sostegno. Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, il sostegno è un prodotto cartesiano: $S = \{f_X \ne 0\}\times\{f_Y \ne 0\}$ (un rettangolo, se i due insiemi sono intervalli).

Uso pratico: se il sostegno è un triangolo, un disco, un'ellisse, … le variabili non sono indipendenti, senza calcoli (su un triangolo $0 \le y \le x$, sapere $X = 0.1$ costringe $Y \le 0.1$).

Esempi del prof.

• Uniforme sull'ellisse: sostegno non rettangolare, non indipendenti (e infatti $f_X(x)f_Y(y) > 0$ anche in punti fuori dall'ellisse, dove $f_{X,Y} = 0$).
• $f = 2y^2$ su $[0, 2]\times[0, 1]$: così com'è scritta non è normalizzata ($\int = 2\cdot\frac23 = \frac43$); con la costante giusta, $\frac32y^2$, la densità è il prodotto di $\frac12$ su $[0, 2]$ (in $x$) e $3y^2$ su $[0, 1]$ (in $y$): indipendenti ($X \sim U(0, 2)$).
• $f = x + y$ su $[0, 1]^2$: sostegno rettangolare, ma $f_X(x) = x + \frac12$, $f_Y(y) = y + \frac12$ e $\left(x + \frac12\right)\left(y + \frac12\right) \ne x + y$ (per esempio in $(0, 0)$: $\frac14 \ne 0$): non indipendenti. Il criterio del sostegno è solo necessario.

Costruire la congiunta di variabili indipendenti. Se $X$, $Y$ sono indipendenti con densità note, $f_{X,Y} = f_Xf_Y$, e le probabilità di eventi che coinvolgono entrambe si calcolano con un integrale doppio.

Esempio del prof (terremoti). L'istante del prossimo forte terremoto è $G \sim \operatorname{Exp}\left(\frac1{10}\right)$ giorni in Grecia e $C \sim \operatorname{Exp}\left(\frac15\right)$ in California, indipendenti. Probabilità che quello in California arrivi almeno un giorno dopo quello in Grecia: $$P(C \ge G + 1) = \int_0^{+\infty}\frac{1}{10}e^{-g/10}\left(\int_{g+1}^{+\infty}\frac15e^{-c/5}\,dc\right)dg = \int_0^{+\infty}\frac1{10}e^{-g/10}e^{-(g+1)/5}\,dg = \frac{e^{-1/5}}{10}\cdot\frac{1}{\frac1{10} + \frac15} = \frac{e^{-1/5}}{3} \approx 0.27$$

L'ago di Buffon. $X \sim U([0, 2])$ e $\Theta \sim U\left(\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]\right)$ indipendenti, densità congiunta $\frac{1}{2\pi}$ sul rettangolo. Allora $$P(X < \cos\Theta) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \frac{2}{2\pi} = \frac1\pi$$ (è la probabilità che un ago lanciato a caso tra righe parallele ne intersechi una: un modo "sperimentale" di stimare $\pi$).

Varianza di somme di indipendenti. Se $X$, $Y$ sono indipendenti, $\operatorname{Cov}[X, Y] = 0$ e $\operatorname{Var}[X_1 + \cdots + X_m] = \sum\operatorname{Var}[X_i]$.

Esercizi: Esercizio 58 · densità congiunte continue dai Ripassi, Esercizio 59 · densità congiunte continue dagli appelli, Esercizio 60 · coppie di variabili indipendenti e incontri casuali.

Errori comuni

• Integrare le marginali su tutto un intervallo fisso quando il sostegno non è un rettangolo (gli estremi dipendono dall'altra variabile).
• Dichiarare indipendenti variabili con sostegno non rettangolare.
• Dimenticare la normalizzazione prima di calcolare probabilità.