Integrale curvilineo di una funzione

Lezione 5 di analisi, Unità 1. Prerequisiti: Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →, Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →.

Motivazione: la massa di un filo

Un filo metallico ha la forma del sostegno di una curva $r : [a, b] \to \mathbb{R}^3$, e la sua densità lineare di massa (massa per unità di lunghezza) nel punto $x$ è $\mu(x)$, che può variare lungo il filo. Qual è la massa totale?

Se la densità fosse costante, la massa sarebbe densità × lunghezza. Altrimenti:

1. si divide $[a, b]$ in pezzetti $a = t_0 < t_1 < \dots < t_{m+1} = b$;
2. su ogni pezzetto la densità è quasi costante, $\approx \mu(r(t_i))$, e la lunghezza del tratto di filo è $\approx |r(t_{i+1}) - r(t_i)| \approx |r'(t_i)|\,(t_{i+1} - t_i)$;
3. la massa è approssimata da $$\sum_{i=0}^{m}\mu(r(t_i))\,|r'(t_i)|\,(t_{i+1} - t_i)$$ che è una somma di Riemann della funzione $t \mapsto \mu(r(t))\,|r'(t)|$, e tende al suo integrale quando il passo tende a $0$.

Definizione

Definizione. Siano $r : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ una curva di classe $C^1$ e $\mu : r([a, b]) \to \mathbb{R}$ continua. L'integrale curvilineo di $\mu$ su $r$ è $$\int_r \mu\,ds = \int_r \mu(x_1, \dots, x_n)\,ds := \int_a^b \mu(r(t))\,|r'(t)|\,dt$$

Come si calcola: si sostituiscono le coordinate della curva dentro $\mu$ e si moltiplica per la velocità scalare $|r'(t)|$ (è il "$ds = |r'(t)|\,dt$" dell'ascissa curvilinea). Si ottiene un integrale ordinario in $t$.

Casi particolari:

• $\mu = 1$: $\int_r ds = \int_a^b|r'(t)|\,dt = L(r)$, la lunghezza;
• $\mu$ = densità lineare: la massa del filo;
• $\frac{1}{L(r)}\int_r \mu\,ds$ è il valor medio di $\mu$ lungo la curva.

Esempio del prof. $\mu(x, y, z) = x - 3y^2 + z$ sul segmento $r(t) = (t, t, t)$, $t \in [0, 1]$. Qui $r'(t) = (1, 1, 1)$, $|r'(t)| = \sqrt3$, e $\mu(r(t)) = t - 3t^2 + t = 2t - 3t^2$: $$\int_r \mu\,ds = \int_0^1(2t - 3t^2)\sqrt3\,dt = \sqrt3\,\big[t^2 - t^3\big]_0^1 = 0$$ (un integrale curvilineo può essere nullo o negativo: $\mu$ qui cambia segno lungo il segmento).

Esempio. $\int_r 4x^3\,ds$ sul segmento da $(1, 2)$ a $(-2, -1)$. Parametrizzazione $r(t) = (1, 2) + t\,(-3, -3) = (1 - 3t,\ 2 - 3t)$, $t \in [0, 1]$, con $|r'(t)| = |(-3, -3)| = 3\sqrt2$: $$\int_0^1 4(1 - 3t)^3\cdot 3\sqrt2\,dt = 12\sqrt2\left[-\frac{(1 - 3t)^4}{12}\right]_0^1 = \sqrt2\,\big[1 - 16\big] = -15\sqrt2$$

Baricentro di una curva

Il baricentro di $m$ punti $p_k$ con masse $m_k$ è la media pesata $\frac{\sum_k m_k p_k}{\sum_k m_k}$. Per un filo la somma diventa un integrale.

Definizione. Se $\mu \ge 0$ è continua e non identicamente nulla, il baricentro di $(r, \mu)$ è il punto $$\frac{1}{\int_r \mu\,ds}\left(\int_r x_1\,\mu\,ds,\ \dots,\ \int_r x_n\,\mu\,ds\right)$$ Con $\mu = 1$ si parla di baricentro geometrico.

Esempio del prof. Baricentro geometrico della semicirconferenza $r(t) = R(\cos t, \sin t)$, $t \in [0, \pi]$. Qui $|r'(t)| = R$ e $\int_r ds = \pi R$ (la lunghezza): $$\frac{1}{\pi R}\left(\int_0^\pi R\cos t\cdot R\,dt,\ \int_0^\pi R\sin t\cdot R\,dt\right) = \frac{1}{\pi R}\big(0,\ 2R^2\big) = \left(0,\ \frac{2R}{\pi}\right)$$ La prima coordinata è $0$ per simmetria; la seconda, $\frac{2R}{\pi} \approx 0.64R$, è dentro il semicerchio, non sulla curva: il baricentro di un filo curvo in generale non sta sul filo.

Cammini

Definizione. Una curva $r : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ (continua) è $C^1$ a tratti, o un cammino, se esiste una suddivisione $a = t_0 < \dots < t_{m+1} = b$ tale che su ogni $[t_i, t_{i+1}]$ la restrizione $r_i$ sia di classe $C^1$. Si pone $$\int_r \mu\,ds := \sum_i\int_{r_i}\mu\,ds$$

Esempio. Il bordo del quadrato $[0,1]^2$ percorso lato per lato è un cammino: $\int_r \mu\,ds$ è la somma degli integrali sui quattro lati.

Esempi: il bordo di un triangolo o di un quadrato (tre o quattro segmenti), una semicirconferenza chiusa dal diametro.

L'algebra dei cammini.

• Giustapposizione $r_1r_2$: se il punto finale di $r_1 : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ è il punto iniziale di $r_2 : [c, d] \to \mathbb{R}^n$, si percorre prima $r_1$ e poi $r_2$ (traslando il parametro di $r_2$ perché parta da $b$): $r_1r_2(t) = r_1(t)$ per $t \in [a, b]$, $r_2(t + c - b)$ per $t \in [b, b + d - c]$.
• Cammino inverso $r^{-1}(t) := r(a + b - t)$, $t \in [a, b]$: stesso sostegno percorso al contrario.

Proprietà

Sia $r$ un cammino e $\mu, \nu$ continue sul sostegno. Allora:

1. $\int_r(\mu + \nu)\,ds = \int_r \mu\,ds + \int_r \nu\,ds$;
2. $\int_r c\,\mu\,ds = c\int_r \mu\,ds$;
3. se $\mu \le \nu$ allora $\int_r \mu\,ds \le \int_r \nu\,ds$;
4. (cammino inverso) $\int_{r^{-1}}\mu\,ds = \int_r \mu\,ds$;
5. (giustapposizione) $\int_{r_1r_2}\mu\,ds = \int_{r_1}\mu\,ds + \int_{r_2}\mu\,ds$.

La 4 dice che il verso non conta: la massa di un filo non dipende da quale estremo si parte (la dimostrazione è la stessa dell'invarianza della lunghezza: il modulo $|r'|$ "assorbe" il segno). Più in generale l'integrale non cambia con una parametrizzazione equivalente. Sarà diverso per gli integrali dei campi vettorialiL'integrale di un campo F lungo un cammino r : [a,b] → D è ∫_r F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r'(t) dt: per un campo di forze è il lavoro. Si scrive anche ∫_r F·T ds (T versore tangente) o ∫_r F₁ dx₁ + … + Fₙ dxₙ (notazione "termodinamica"); su un circuito si parla di circuitazione ∮. È lineare, additivo per giustapposizione, e CAMBIA SEGNO invertendo il verso di percorrenza.Integrale curvilineo di un campo vettoriale →.

Esercizi svolti (elica, cardioide, cicloide): Esercizio 24 · integrali curvilinei di funzioni e baricentri.

Errori comuni

• Dimenticare $|r'(t)|$: $\int_r \mu\,ds$ non è $\int_a^b\mu(r(t))\,dt$.
• Dimenticare il modulo quando $|r'(t)|$ si semplifica in una radice di un quadrato (cardioide, cicloide: $\sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2|\cos\frac t2|$).
• Calcolare il baricentro senza dividere per la massa $\int_r \mu\,ds$.