Superfici di rotazione e teorema di Pappo-Guldino

Lezione 8 di analisi, Unità 3-4. Prerequisiti: Superfici parametriche e areaUna superficie parametrica è p : D ⊂ R² → R³ continua, con D chiuso e limitato; il sostegno è p(D). I vettori p_u, p_v sono tangenti alle curve coordinate, e |p_u × p_v| è l'elemento d'area: Area(p) = ∫_D |p_u × p_v| du dv (analogo di L = ∫|r'|). Casi da sapere: cilindro (R cos t, R sin t, z), elemento R; sfera in coordinate sferiche, elemento R² sin φ, area 4πR²; superficie cartesiana (x, y, f(x,y)), elemento √(1 + f_x² + f_y²).Superfici parametriche e area →, Integrale curvilineo di una funzioneL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione →.

La parete sotto la montagna russa

Definizione. Siano $r : [a, b] \to \mathbb{R}^2$ una curva $C^1$ del piano $xy$ e $h \ge 0$ continua sul suo sostegno. Il trapezoide di $h$ sopra $r$ è la "parete" verticale $$\operatorname{Trap}_r(h) := \{(r(t), z) : t \in [a, b],\ 0 \le z \le h(r(t))\}$$

Esempio. Sopra il segmento $r(t) = (t, 0)$, $t \in [0, 2]$, con $h \equiv 3$: il trapezoide è il rettangolo $[0,2] \times [0,3]$ nel piano $xz$.

Immagine: la curva è il binario disegnato a terra, $h$ l'altezza della montagna russa sopra ogni punto; la parete è il telo che va da terra al binario. È il sostegno della superficie $$p(t, z) = (r_1(t),\ r_2(t),\ z), \qquad D = \{(t, z) : t \in [a, b],\ 0 \le z \le h(r(t))\}$$ con $p_t = (r_1', r_2', 0)$, $p_z = (0, 0, 1)$, $p_t \times p_z = (r_2', -r_1', 0)$ e elemento d'area $|r'(t)|$. Quindi $$\operatorname{Area} = \int_a^b\int_0^{h(r(t))}|r'(t)|\,dz\,dt = \int_a^b h(r(t))\,|r'(t)|\,dt$$

Proposizione (significato dell'integrale curvilineo). $\operatorname{Area}(\operatorname{Trap}_r(h)) = \displaystyle\int_r h\,ds$.

Controllo. Se $r(t) = (t, 0)$, $t \in [a, b]$ (un segmento sull'asse $x$), la parete è la regione piana sotto il grafico di $h$ e l'area è $\int_a^b h(t)\,dt$: l'integrale curvilineo generalizza l'area sotto un grafico.

Esempio del prof: la tenda. Base a semicerchio $r(t) = (5\cos t, 5\sin t)$, $t \in [0, \pi]$, soffitto sul piano $z = 10 - \frac{x + y}{100}$. Con $|r'(t)| = 5$: $$\operatorname{Area} = \int_0^\pi\left(10 - \frac{5\cos t + 5\sin t}{100}\right)5\,dt = 50\pi - \frac14\int_0^\pi(\cos t + \sin t)\,dt = 50\pi - \frac14\cdot 2 = 50\pi - \frac12$$

(Un'altra tenda del prof: base $r(t) = (\cos t, t^2)$, $t \in [0, 2]$, soffitto $z = x^2 + 2y + 5$; i suoi punti sono $(\cos t,\ t^2,\ z)$ con $0 \le z \le \cos^2 t + 2t^2 + 5$.)

Superfici di rotazione

Sia $r(t) = (r_1(t), r_2(t))$, $t \in [a, b]$, una curva nel semipiano $\{x \ge 0\}$ del piano $xz$ (cioè $r_1 \ge 0$ è la distanza dall'asse $z$ e $r_2$ la quota). Ruotandola attorno all'asse $z$, il punto di quota $r_2(t)$ descrive un cerchio di raggio $r_1(t)$:

Definizione. La superficie di rotazione ottenuta ruotando $r$ attorno all'asse $z$ è $$p(t, \theta) = \big(r_1(t)\cos\theta,\ r_1(t)\sin\theta,\ r_2(t)\big), \qquad t \in [a, b],\ \theta \in [0, 2\pi]$$

Esempio. Ruotando il segmento $r(t) = (R, t)$, $t \in [0, h]$, attorno all'asse $z$ si ottiene il cilindro $p(t, \theta) = (R\cos\theta, R\sin\theta, t)$.

Elemento d'area. $p_t = (r_1'\cos\theta, r_1'\sin\theta, r_2')$, $p_\theta = (-r_1\sin\theta, r_1\cos\theta, 0)$: $$p_t \times p_\theta = \big(-r_1r_2'\cos\theta,\ -r_1r_2'\sin\theta,\ r_1r_1'\big), \qquad |p_t \times p_\theta| = r_1\sqrt{r_1'^2 + r_2'^2} = r_1(t)\,|r'(t)|$$

Teorema (Pappo-Guldino). Se $r : [a, b] \to [0, +\infty[\times\mathbb{R}$ è $C^1$, l'area della superficie ottenuta ruotandola attorno all'asse $z$ è $$\operatorname{Area} = 2\pi\int_a^b r_1(t)\,|r'(t)|\,dt = 2\pi\int_r x\,ds = 2\pi\,\bar x_r\cdot\operatorname{Lunghezza}(r)$$ dove $\bar x_r = \frac{1}{L}\int_r x\,ds$ è la distanza del baricentro della curva dall'asse di rotazione.

Esempio. La semicirconferenza $r(t) = (R\sin t, R\cos t)$, $t \in [0, \pi]$, ruotata attorno a $z$: $\text{Area} = 2\pi\int_0^\pi R\sin t \cdot R\,dt = 4\pi R^2$, l'area della sfera.

Interpretazione: ogni pezzetto $ds$ di curva, a distanza $x$ dall'asse, descrive girando una striscia di lunghezza $2\pi x$ e larghezza $ds$. In totale: la lunghezza della curva per il cammino percorso dal suo baricentro.

Esempi del prof.

• Toro "cavo": si ruota il cerchio di centro $(R, 0)$ e raggio $a < R$. Baricentro a distanza $R$ dall'asse, lunghezza $2\pi a$: $$\operatorname{Area} = 2\pi R\cdot 2\pi a = 4\pi^2Ra$$
• Cono "cavo" (superficie laterale): si ruota il segmento dall'asse, in quota $h$, al punto $(r, 0)$; lunghezza $\ell = \sqrt{r^2 + h^2}$ (l'apotema), baricentro nel punto medio, a distanza $\frac r2$: $$\operatorname{Area} = 2\pi\cdot\frac r2\cdot\ell = \pi r\ell$$
• Sfera: ruotando la semicirconferenza di raggio $R$ (lunghezza $\pi R$, baricentro a distanza $\frac{2R}{\pi}$ dall'asse, vedi Integrale curvilineo di una funzioneL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione →): $2\pi\cdot\frac{2R}\pi\cdot\pi R = 4\pi R^2$ ✓.

Rotazione attorno all'asse $x$

Se si ruota il grafico $z = h(x) \ge 0$, $x \in [a, b]$, attorno all'asse $x$, ora la distanza dall'asse è $h(x)$, e $$\operatorname{Area} = 2\pi\int_a^b h(x)\sqrt{1 + h'(x)^2}\,dx$$

Confronto (domanda del prof). Si potrebbe pensare di "affettare" la superficie con piani paralleli a $yz$ e sommare le lunghezze delle sezioni, $\int_a^b 2\pi h(x)\,dx$. Questo non dà l'area, salvo quando $h' = 0$ (cilindro): manca il fattore $\sqrt{1 + h'^2}$, perché dove la curva è inclinata la striscia di superficie è più larga di $dx$. Lo stesso errore che si commetterebbe misurando la lunghezza di una curva con $\int dx$.

Esercizi: Esercizio 32 · aree di superfici parametriche (cicloide ruotata, cilindri tagliati).

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $|r'(t)|$ in Pappo-Guldino: l'area è $2\pi\int x\,ds$, non $2\pi\int x\,dt$.
• Usare la distanza sbagliata dall'asse: ruotando attorno a $z$ conta $x$, ruotando attorno a $x$ conta $z$.