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Note per Studenti Esercizio 27 · campi irrotazionali sul piano bucato

Esercizio 27campi irrotazionali sul piano bucato

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Testo.

  1. Si consideri il campo vettoriale F(x,y)=(y2−x2(x2+y2)2, −2xy(x2+y2)2)F(x, y) = \left(\dfrac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \dfrac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right). (i) Calcolare ∫γF⋅dγ\int_\gamma F\cdot d\gamma, dove γ\gamma è il circolo positivamente orientato di centro l'origine e raggio 11; (ii) dire se FF è irrotazionale; (iii) dire se FF è conservativo sul semipiano y>0y > 0, determinarne una primitiva in caso affermativo; (iv) il campo FF è conservativo?
  2. Si consideri il campo definito su R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} da F⃗(x,y)=(x2−y2(x2+y2)2, 2xy(x2+y2)2)\vec F(x, y) = \left(\dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right). (a) Provare che F⃗\vec F è irrotazionale; (b) senza provare a calcolarlo, dire se esiste una primitiva UU di F⃗\vec F sul semipiano y>0y > 0; (c) senza provare a calcolarlo, dire se esiste una primitiva UU di F⃗\vec F su R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}: perché? (d) Calcolare una primitiva di F⃗\vec F sul più grande dei due domini precedenti sul quale esso esiste. (e) Sia α\alpha il cammino α(t)=(sin⁡t+2,cos⁡2t)\alpha(t) = (\sin t + 2, \cos^2 t), t∈[0,π/2]t \in [0, \pi/2]. Calcolare ∫αF⃗⋅dα\int_\alpha\vec F\cdot d\alpha.
  3. Si consideri il campo vettoriale F(x,y)=(Ax+Byx2+y2, Cx+Dyx2+y2)F(x, y) = \left(\dfrac{Ax + By}{x^2 + y^2},\ \dfrac{Cx + Dy}{x^2 + y^2}\right) con A,B,C,D∈RA, B, C, D \in \mathbb{R}, definito su R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}. (i) Dire sotto quali condizioni su A,B,C,DA, B, C, D il campo FF è irrotazionale. (ii) Sia γ\gamma il circolo unitario orientato positivamente (in senso antiorario). Dire sotto quali condizioni su A,B,C,DA, B, C, D l'integrale ∫γF⋅dγ=0\int_\gamma F\cdot d\gamma = 0. (iii) Nelle condizioni trovate in (i) e (ii), mostrare che in realtà il campo è conservativo esibendone una primitiva.

Teoria: Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali → (paragrafo "Il piano bucato").

Il criterio per il piano bucato: un campo C1C^1 irrotazionale su R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} è conservativo se e solo se la circuitazione su un cerchio attorno all'origine è nulla. Sui domini semplicemente connessi (come un semipiano che non contiene l'origine) irrotazionale basta.

1. (y2−x2(x2+y2)2, −2xy(x2+y2)2)\left(\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right)

(i) Circuitazione. Sul cerchio (cos⁡t,sin⁡t)(\cos t, \sin t) si ha x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, quindi F=(sin⁡2t−cos⁡2t, −2sin⁡tcos⁡t)=(−cos⁡2t, −sin⁡2t)F = (\sin^2 t - \cos^2 t,\ -2\sin t\cos t) = (-\cos 2t,\ -\sin 2t), e con γ′=(−sin⁡t,cos⁡t)\gamma' = (-\sin t, \cos t): F⋅γ′=cos⁡2tsin⁡t−sin⁡2tcos⁡t=−sin⁡(2t−t)=−sin⁡tF\cdot\gamma' = \cos 2t\sin t - \sin 2t\cos t = -\sin(2t - t) = -\sin t (formula di sottrazione sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b). Quindi ∮γF⋅dγ=∫02π−sin⁡t dt=0\oint_\gamma F\cdot d\gamma = \int_0^{2\pi}-\sin t\,dt = 0.

(ii) Irrotazionale. Con s=x2+y2s = x^2 + y^2: ∂yF1=2y s2−(y2−x2)⋅2s⋅2ys4=2y s−4y(y2−x2)s3=2y(3x2−y2)s3\partial_y F_1 = \frac{2y\,s^2 - (y^2 - x^2)\cdot 2s\cdot 2y}{s^4} = \frac{2y\,s - 4y(y^2 - x^2)}{s^3} = \frac{2y(3x^2 - y^2)}{s^3} ∂xF2=−2y s2+2xy⋅2s⋅2xs4=−2y s+8x2ys3=2y(3x2−y2)s3\partial_x F_2 = \frac{-2y\,s^2 + 2xy\cdot 2s\cdot 2x}{s^4} = \frac{-2y\,s + 8x^2y}{s^3} = \frac{2y(3x^2 - y^2)}{s^3} Uguali: irrotazionale.

(iii) Semipiano y>0y > 0: è convesso, quindi semplicemente connesso, e FF è irrotazionale: conservativo. Primitiva: si nota che ∂xxx2+y2=(x2+y2)−2x2(x2+y2)2=y2−x2(x2+y2)2=F1,∂yxx2+y2=−2xy(x2+y2)2=F2\partial_x\frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2) - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = F_1, \qquad \partial_y\frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} = F_2 quindi U(x,y)=xx2+y2U(x, y) = \dfrac{x}{x^2 + y^2} (a meno di costanti). Con le integrazioni parziali: ∫F2 dy=∫−2xy(x2+y2)2dy=xx2+y2+φ(x)\int F_2\,dy = \int\frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}dy = \frac{x}{x^2 + y^2} + \varphi(x), e imponendo ∂xU=F1\partial_x U = F_1 si trova φ′=0\varphi' = 0.

(iv) La primitiva U=xx2+y2U = \frac{x}{x^2 + y^2} è definita e C1C^1 su tutto R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}, non solo sul semipiano: FF è conservativo sul suo intero dominio. Coerente con (i): circuitazione nulla.

2. (x2−y2(x2+y2)2, 2xy(x2+y2)2)\left(\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right)

È l'opposto del campo dell'esercizio 1.

(a) Irrotazionale, perché lo è il campo dell'esercizio 1 (le derivate cambiano tutte di segno).

(b) Sì: il semipiano y>0y > 0 è semplicemente connesso e il campo è C1C^1 e irrotazionale.

(c) Il dominio R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} ha un buco, quindi l'irrotazionalità non basta; per il criterio del piano bucato bisogna controllare la circuitazione su un cerchio attorno all'origine. Sul cerchio unitario F⃗=(cos⁡2t,sin⁡2t)\vec F = (\cos 2t, \sin 2t) e F⃗⋅γ′=−cos⁡2tsin⁡t+sin⁡2tcos⁡t=sin⁡t\vec F\cdot\gamma' = -\cos 2t\sin t + \sin 2t\cos t = \sin t, con integrale nullo su [0,2π][0, 2\pi]. Quindi sì, esiste una primitiva su tutto R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}.

(d) Dall'esercizio 1, U(x,y)=−xx2+y2U(x, y) = -\dfrac{x}{x^2 + y^2} su R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}.

(e) α(0)=(sin⁡0+2, cos⁡20)=(2,1)\alpha(0) = (\sin 0 + 2,\ \cos^2 0) = (2, 1) e α(π2)=(3,0)\alpha\left(\frac\pi2\right) = (3, 0); il cammino non passa per l'origine. Quindi ∫αF⃗⋅dα=U(3,0)−U(2,1)=−39+25=−13+25=115\int_\alpha\vec F\cdot d\alpha = U(3, 0) - U(2, 1) = -\frac39 + \frac25 = -\frac13 + \frac25 = \frac{1}{15}

3. (Ax+Byx2+y2, Cx+Dyx2+y2)\left(\frac{Ax + By}{x^2 + y^2},\ \frac{Cx + Dy}{x^2 + y^2}\right)

(i) Irrotazionalità. Con s=x2+y2s = x^2 + y^2: ∂yF1=B s−2y(Ax+By)s2=Bx2−By2−2Axys2,∂xF2=C s−2x(Cx+Dy)s2=−Cx2+Cy2−2Dxys2\partial_y F_1 = \frac{B\,s - 2y(Ax + By)}{s^2} = \frac{Bx^2 - By^2 - 2Axy}{s^2}, \qquad \partial_x F_2 = \frac{C\,s - 2x(Cx + Dy)}{s^2} = \frac{-Cx^2 + Cy^2 - 2Dxy}{s^2} Uguaglianza per ogni (x,y)(x, y): confrontando i coefficienti di x2x^2, y2y^2, xyxy si ottiene B=−CB = -C (da x2x^2 e da y2y^2) e A=DA = D (da xyxy). Irrotazionale   ⟺  A=D\iff A = D e B=−CB = -C.

(ii) Circuitazione sul cerchio unitario. Con (cos⁡t,sin⁡t)(\cos t, \sin t) e s=1s = 1: F⋅γ′=−(Acos⁡t+Bsin⁡t)sin⁡t+(Ccos⁡t+Dsin⁡t)cos⁡t=−Bsin⁡2t+Ccos⁡2t+(D−A)sin⁡tcos⁡tF\cdot\gamma' = -(A\cos t + B\sin t)\sin t + (C\cos t + D\sin t)\cos t = -B\sin^2 t + C\cos^2 t + (D - A)\sin t\cos t Integrando su [0,2π][0, 2\pi] (∫sin⁡2=∫cos⁡2=π\int\sin^2 = \int\cos^2 = \pi, ∫sin⁡tcos⁡t=0\int\sin t\cos t = 0): ∮γF⋅dγ=π (C−B)\oint_\gamma F\cdot d\gamma = \pi\,(C - B) Nulla   ⟺  C=B\iff C = B.

(iii) Con entrambe le condizioni: B=−CB = -C e C=BC = B danno B=C=0B = C = 0, e A=DA = D. Il campo è F(x,y)=A (x,y)x2+y2=A∣x∣ x∣x∣F(x, y) = A\,\frac{(x, y)}{x^2 + y^2} = \frac{A}{|x|}\,\frac{x}{|x|} radiale con g(r)=Arg(r) = \frac Ar, quindi una primitiva è G(∣x∣)=Alog⁡∣x∣G(|x|) = A\log|x|: U(x,y)=A2log⁡(x2+y2)U(x, y) = \frac A2\log(x^2 + y^2) definita su tutto R2∖{0}\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}: il campo è conservativo.

Il caso escluso. Con A=DA = D, B=−C≠0B = -C \ne 0 il campo è irrotazionale ma ha circuitazione 2πC≠02\pi C \ne 0: è (un multiplo del) vortice più un campo radiale. È esattamente la situazione in cui il criterio del piano bucato serve.

Errori comuni

  • Concludere dal dominio bucato che il campo non può essere conservativo: il buco impedisce di usare il teorema, non rende il campo non conservativo (esercizi 1 e 2).
  • Sbagliare la derivata del quoziente con il quadrato al denominatore: conviene raccogliere s=x2+y2s = x^2 + y^2.

Versione ripasso

Testo.

  1. Si consideri il campo vettoriale F(x,y)=(y2−x2(x2+y2)2, −2xy(x2+y2)2)F(x, y) = \left(\dfrac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \dfrac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right). (i) Calcolare ∫γF⋅dγ\int_\gamma F\cdot d\gamma, dove γ\gamma è il circolo positivamente orientato di centro l'origine e raggio 11; (ii) dire se FF è irrotazionale; (iii) dire se FF è conservativo sul semipiano y>0y > 0, determinarne una primitiva in caso affermativo; (iv) il campo FF è conservativo?
  2. Si consideri il campo definito su R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} da F⃗(x,y)=(x2−y2(x2+y2)2, 2xy(x2+y2)2)\vec F(x, y) = \left(\dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right). (a) Provare che F⃗\vec F è irrotazionale; (b) senza provare a calcolarlo, dire se esiste una primitiva UU di F⃗\vec F sul semipiano y>0y > 0; (c) senza provare a calcolarlo, dire se esiste una primitiva UU di F⃗\vec F su R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}: perché? (d) Calcolare una primitiva di F⃗\vec F sul più grande dei due domini precedenti sul quale esso esiste. (e) Sia α\alpha il cammino α(t)=(sin⁡t+2,cos⁡2t)\alpha(t) = (\sin t + 2, \cos^2 t), t∈[0,π/2]t \in [0, \pi/2]. Calcolare ∫αF⃗⋅dα\int_\alpha\vec F\cdot d\alpha.
  3. Si consideri il campo vettoriale F(x,y)=(Ax+Byx2+y2, Cx+Dyx2+y2)F(x, y) = \left(\dfrac{Ax + By}{x^2 + y^2},\ \dfrac{Cx + Dy}{x^2 + y^2}\right) con A,B,C,D∈RA, B, C, D \in \mathbb{R}, definito su R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}. (i) Dire sotto quali condizioni su A,B,C,DA, B, C, D il campo FF è irrotazionale. (ii) Sia γ\gamma il circolo unitario orientato positivamente (in senso antiorario). Dire sotto quali condizioni su A,B,C,DA, B, C, D l'integrale ∫γF⋅dγ=0\int_\gamma F\cdot d\gamma = 0. (iii) Nelle condizioni trovate in (i) e (ii), mostrare che in realtà il campo è conservativo esibendone una primitiva.

Teoria: Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali → (paragrafo "Il piano bucato").

Criterio: su R2∖{0}\mathbb{R}^2\setminus\{0\} un campo C1C^1 irrotazionale è conservativo se e solo se la circuitazione su un cerchio attorno all'origine è nulla; su domini semplicemente connessi (semipiano) basta l'irrotazionalità.

1.

  1. (i) Sul cerchio F=(−cos⁡2t,−sin⁡2t)F = (-\cos2t,-\sin2t), γ′=(−sin⁡t,cos⁡t)\gamma' = (-\sin t,\cos t): F⋅γ′=cos⁡2tsin⁡t−sin⁡2tcos⁡t=−sin⁡tF\cdot\gamma' = \cos2t\sin t - \sin2t\cos t = -\sin t, quindi ∮=0\oint = 0.
  2. (ii) Con s=x2+y2s = x^2+y^2: ∂yF1=2y(3x2−y2)s3=∂xF2\partial_yF_1 = \frac{2y(3x^2-y^2)}{s^3} = \partial_xF_2: irrotazionale.
  3. (iii) Il semipiano y>0y > 0 è convesso: conservativo. ∂xxx2+y2=F1\partial_x\frac{x}{x^2+y^2} = F_1, ∂yxx2+y2=F2\partial_y\frac{x}{x^2+y^2} = F_2: U=xx2+y2U = \frac{x}{x^2+y^2}.
  4. (iv) UU è C1C^1 su tutto R2∖{0}\mathbb{R}^2\setminus\{0\}: FF è conservativo (coerente con (i)).

2. F⃗=−F\vec F = -F (opposto dell'esercizio 1)

  1. (a) Irrotazionale perché lo è FF.
  2. (b) Sì: semipiano semplicemente connesso, C1C^1 e irrotazionale.
  3. (c) Il dominio è bucato, quindi serve la circuitazione sul cerchio unitario: F⃗⋅γ′=sin⁡t\vec F\cdot\gamma' = \sin t, integrale nullo. Sì, esiste.
  4. (d) U=−xx2+y2U = -\frac{x}{x^2+y^2} su R2∖{0}\mathbb{R}^2\setminus\{0\}.
  5. (e) α(0)=(2,1)\alpha(0) = (2,1), α(π2)=(3,0)\alpha(\frac\pi2) = (3,0) (non passa per l'origine): U(3,0)−U(2,1)=−13+25=115U(3,0) - U(2,1) = -\frac13 + \frac25 = \frac1{15}.

3. (Ax+Byx2+y2,Cx+Dyx2+y2)\left(\frac{Ax+By}{x^2+y^2},\frac{Cx+Dy}{x^2+y^2}\right)

  1. (i) ∂yF1=Bx2−By2−2Axys2\partial_yF_1 = \frac{Bx^2 - By^2 - 2Axy}{s^2}, ∂xF2=−Cx2+Cy2−2Dxys2\partial_xF_2 = \frac{-Cx^2 + Cy^2 - 2Dxy}{s^2}: irrotazionale   ⟺  A=D\iff A = D e B=−CB = -C.
  2. (ii) Sul cerchio F⋅γ′=−Bsin⁡2t+Ccos⁡2t+(D−A)sin⁡tcos⁡tF\cdot\gamma' = -B\sin^2t + C\cos^2t + (D-A)\sin t\cos t, quindi ∮=π(C−B)\oint = \pi(C-B): nulla   ⟺  C=B\iff C = B.
  3. (iii) Insieme: B=C=0B = C = 0, A=DA = D, F=A(x,y)x2+y2F = A\frac{(x,y)}{x^2+y^2} radiale con g=Arg = \frac Ar: U=A2log⁡(x2+y2)U = \frac A2\log(x^2+y^2), definita su R2∖{0}\mathbb{R}^2\setminus\{0\}.

Il caso escluso (A=DA = D, B=−C≠0B = -C\ne0) è irrotazionale con circuitazione 2πC≠02\pi C\ne0: vortice più campo radiale.

Errori tipici: pensare che il buco impedisca al campo di essere conservativo (impedisce solo di usare il teorema: esercizi 1 e 2); sbagliare la derivata del quoziente (conviene raccogliere s=x2+y2s = x^2+y^2).

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