Limiti e continuità in più variabili

Lezione 2 di analisi, Unità 2. Prerequisiti: Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livelloUna funzione di più variabili è f : D ⊆ Rⁿ → R. Il grafico è {(x, f(x))} ⊂ Rⁿ⁺¹ (per n = 2 una superficie). Per visualizzarla: metodo delle sezioni (si fissa una variabile e si disegna la funzione dell'altra) e insiemi di livello Z_c = {f = c} (le curve di livello delle carte topografiche). Le funzioni radiali f(x) = h(|x|) dipendono solo dalla distanza dall'origine: hanno grafico di rotazione e livelli che sono cerchi.Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livello →, Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in RnUn intorno di p è un insieme che contiene una palla centrata in p. p è interno a D se una palla B(p,δ[ sta tutta in D; D è aperto se ogni suo punto è interno, chiuso se il complementare è aperto. La frontiera ∂D è fatta dai punti i cui intorni toccano sia D sia il complementare; la chiusura è D ∪ ∂D, il più piccolo chiuso che contiene D. Unioni qualsiasi e intersezioni finite di aperti sono aperte.Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn →, Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione → (in una variabile).

Perché è più difficile che in una variabile

In una variabile ci si avvicina a un punto solo da destra o da sinistra. Nel piano ci si può avvicinare a $p$ da infinite direzioni e lungo infiniti percorsi (rette, parabole, spirali…). Il limite esiste solo se $f(x)$ si avvicina allo stesso valore qualunque sia il modo di avvicinarsi.

La motivazione del prof. In un microcanale a T, l'indice di direzionalità del flusso vicino alla giunzione $(0, 0)$ è $$f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, \qquad (x, y) \ne (0, 0)$$ Ha senso assegnargli un valore nella giunzione? Lungo l'asse $x$ ($y = 0$) vale $\frac{x^2}{x^2} = 1$; lungo l'asse $y$ vale $\frac{-y^2}{y^2} = -1$; lungo la retta $y = x$ vale $0$. Il valore dipende dalla direzione da cui si arriva: il limite non esiste, e fisicamente nella giunzione il flusso non ha una direzione privilegiata ben definita. Il metodo per dimostrarlo (le restrizioni) è in Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polariPer dimostrare che un limite NON esiste: si trovano due restrizioni (rette y = mx, parabole y = kx², …) con limiti diversi. Per dimostrare che ESISTE: stima uniforme |f(x) − ℓ| ≤ h(x) con h → 0 (utile |xy| ≤ (x² + y²)/2), oppure coordinate polari con una stima |f(p + ρ(cos t, sin t)) − ℓ| ≤ h(ρ) indipendente da t, oppure incollamento di limiti uguali su pezzi che ricoprono il dominio. Il limite uguale su tutte le rette NON basta.Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari →.

Punti di accumulazione

Definizione (punto di accumulazione e punto isolato). $p \in \mathbb{R}^n$ è di accumulazione per $D$ se ogni intorno di $p$ contiene punti di $D$ diversi da $p$: $$\forall U_p \text{ intorno di } p, \quad U_p \cap D \setminus \{p\} \ne \emptyset$$ Un punto di $D$ che non è di accumulazione per $D$ si dice isolato in $D$.

Esempio. In $D = \{(0,0)\} \cup [1,2] \times [0,1]$ il punto $(0,0)$ è isolato, mentre ogni punto del rettangolo è di accumulazione.

Il limite si studia solo nei punti di accumulazione: servono punti del dominio vicini quanto si vuole a $p$. Il punto $p$ può non appartenere a $D$ (tipicamente: $f$ non è definita in $p$ e si vuole sapere a cosa tende). Esempio: $(0, 0)$ è di accumulazione per $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$; il punto $(2, 0)$ è isolato nell'insieme "disco unitario più il punto $(2, 0)$".

Definizione di limite

Sia $f : D \to \mathbb{R}$ e $p$ di accumulazione per $D$.

Definizione (limite finito). Limite finito. $\displaystyle\lim_{\substack{x \to p \\ x \in D}} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ se $$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \quad x \in D,\ 0 < |x - p| \le \delta \implies |f(x) - \ell| \le \varepsilon$$

Esempio. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} (x + y) = 0$: dato $\varepsilon > 0$ basta $|(x,y)| \le \frac{\varepsilon}{2}$, perché $|x + y| \le |x| + |y| \le 2|(x,y)|$.

Definizione (limite infinito). Limite infinito. $\displaystyle\lim_{x \to p} f(x) = +\infty$ se $\forall M > 0$ esiste un intorno $U_p$ di $p$ tale che $f(x) \ge M$ per ogni $x \in U_p \cap D \setminus \{p\}$ (analogamente per $-\infty$).

Rispetto a una variabile cambia solo il significato di "$x$ vicino a $p$": ora è $|x - p| \le \delta$, cioè $x$ in una palla centrata in $p$ (in un disco, per $n = 2$), e non più in un intervallo.

Esempio del prof (con la definizione). Provare che $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac{1}{x^2 + y^2} = +\infty$.

Fissato $M > 0$, bisogna trovare un raggio $\delta$ tale che nel disco bucato $0 < |(x, y)| \le \delta$ si abbia $\frac{1}{x^2 + y^2} \ge M$. Ma $$\frac{1}{x^2 + y^2} \ge M \iff x^2 + y^2 \le \frac1M \iff |(x, y)| \le \frac{1}{\sqrt M}$$ (si può invertire perché tutto è positivo). Quindi basta $\delta = \frac{1}{\sqrt M}$ ∎. Per esempio con $M = 100$: nel disco di raggio $0.1$ (bucato) la funzione supera $100$.

Proprietà dei limiti

Valgono, con le stesse dimostrazioni di una variabile:

Proprietà (dei limiti).

• Unicità del limite.
• Permanenza del segno: se $\lim_{x \to p}f(x) > 0$, allora esiste un intorno $U_p$ con $f(x) > 0$ per ogni $x \in U_p \cap D \setminus \{p\}$.
• Algebra dei limiti: se $f \to \ell_1$ e $g \to \ell_2$ (finiti), allora $f + g \to \ell_1 + \ell_2$, $fg \to \ell_1\ell_2$, e $\frac fg \to \frac{\ell_1}{\ell_2}$ se $\ell_2 \ne 0$. Con limiti infiniti: $c + \infty = +\infty$, $c\cdot(+\infty) = +\infty$ per $c > 0$, $\frac{c}{0^+} = +\infty$ per $c > 0$. Le forme indeterminate restano indeterminate.
• Teorema dei carabinieri: se $f(x) \le g(x) \le h(x)$ vicino a $p$ ($p$ escluso) e $f, h \to \ell$, allora $g \to \ell$.

Esempio. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} x^2 y = 0$ per il teorema dei carabinieri: $|x^2 y| \le |(x,y)|^3 \to 0$.

Dimostrazione della permanenza del segno. Sia $\ell > 0$ il limite. Si sceglie $\varepsilon = \frac\ell2$: esiste un intorno $U_p$ in cui $|f(x) - \ell| \le \frac\ell2$, quindi $f(x) \ge \ell - \frac\ell2 = \frac\ell2 > 0$ ∎.

Continuità

Definizione (continuità). $f : D \to \mathbb{R}$ è continua in $p \in D$ se $$\forall \varepsilon > 0\ \exists U_p : \quad x \in U_p \cap D \implies |f(x) - f(p)| \le \varepsilon$$ $f$ è continua su $D$ se lo è in ogni punto di $D$.

Esempio. $f(x,y) = xy$ è continua in ogni punto di $\mathbb{R}^2$; $f(x,y) = \frac{x}{y}$ è continua solo dove $y \ne 0$.

• In un punto isolato ogni funzione è continua (vicino a $p$ c'è solo $p$).
• Se $p$ è di accumulazione: $f$ continua in $p \iff \lim_{x \to p}f(x) = f(p)$.

Le proiezioni sono continue. $\pi_k(x_1, \dots, x_n) = x_k$ è continua su $\mathbb{R}^n$: per $\pi_1$ nel piano, $|\pi_1(x, y) - \pi_1(x_0, y_0)| = |x - x_0| \le |(x, y) - (x_0, y_0)|$ (una componente non supera la norma), quindi basta prendere $\delta = \varepsilon$.

Proprietà. Se $f, g$ sono continue in $p$, lo sono $cf$, $f + g$, $fg$ e $f/g$ (se $g(p) \ne 0$). Se $h$ è una funzione di una variabile continua in $f(p)$, la composta $h \circ f$ è continua in $p$.

Conseguenza pratica: i polinomi (somme e prodotti di proiezioni e costanti) sono continui su $\mathbb{R}^n$, e così tutte le funzioni costruite componendo polinomi con funzioni elementari continue, come $\log(1 + x + x^2y + y^3)$ (dove l'argomento è positivo), $e^{xy}$, $\sin(x^2 - y)$. Nei punti in cui una funzione così costruita è definita, il limite si calcola sostituendo.

Esempio. $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (1/2,\,0)}\sqrt{1 - x^2 - y^2} = \sqrt{1 - \frac14 - 0} = \frac{\sqrt3}{2}$: la funzione è continua nel disco chiuso unitario e $(\frac12, 0)$ ci sta dentro.

Permanenza del segno per funzioni continue. Se $f$ è continua e $f(p) > 0$, esiste un intorno $U_p$ con $f > 0$ su $U_p \cap D$.

La "fabbrica" di aperti e chiusi

Proposizione (insiemi aperti e chiusi definiti da una funzione continua).

1. Se $A$ è aperto e $f : A \to \mathbb{R}$ è continua, $\{x \in A : f(x) < 0\}$ è aperto.
2. Se $C$ è chiuso e $f : C \to \mathbb{R}$ è continua, $\{x \in C : f(x) \le 0\}$ è chiuso.

Il punto 1 è la permanenza del segno: se $f(p) < 0$, $f$ resta negativa in tutta una pallina attorno a $p$, quindi $p$ è interno. Il punto 2 segue passando al complementare.

Esempio del prof. $\{(x, y) : x^5 + \log(1 + x^4y^8) + 50\cos(x + y) - e^x y < 0\}$ è aperto e lo stesso insieme con $\le 0$ è chiuso: la funzione è continua su tutto $\mathbb{R}^2$ (composizione di polinomi, logaritmo di un argomento $\ge 1$, coseno, esponenziale), e non serve sapere com'è fatto l'insieme.

Metodi asintotici

Gli strumenti di una variabile (limiti notevoliI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →, asintoticitàf ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →, sviluppi di Taylor) si usano quando l'argomento della funzione elementare tende a $0$: se $u(x, y) \to 0$ per $(x, y) \to p$, allora per esempio $\sin u(x, y) \sim u(x, y)$, $e^{u} - 1 \sim u$, $1 - \cos u \sim \frac{u^2}2$, $\log(1 + u) \sim u$.

Esempio del prof. $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (0,0)}\frac{\sin(x^3y)}{x^5y^3}$, sul dominio $\{xy \ne 0\}$. L'argomento $u = x^3y \to 0$, quindi $\sin(x^3y) \sim x^3y$ e $$\frac{\sin(x^3y)}{x^5y^3} = \frac{\sin(x^3y)}{x^3y}\cdot\frac{x^3y}{x^5y^3} = \underbrace{\frac{\sin(x^3y)}{x^3y}}_{\to 1}\cdot\frac{1}{x^2y^2} \to 1\cdot(+\infty) = +\infty$$ ($x^2y^2 > 0$ e tende a $0$, quindi il reciproco tende a $+\infty$).

Esempio (anno 2025/26). $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (0,0)}\frac{e^{x^2 + y^2} - 1}{x^2 + y^2} = 1$, perché con $u = x^2 + y^2 \to 0$ si ha $\frac{e^u - 1}{u} \to 1$.

Errori comuni

• Calcolare il limite solo lungo gli assi o lungo le rette e concludere che esiste: lungo le rette può venire sempre lo stesso valore e il limite non esistere (vedi la nota sulle restrizioni).
• Usare $\sin u \sim u$ quando $u$ non tende a $0$.
• Studiare il limite in un punto che non è di accumulazione per il dominio.