Asintoticità e o-piccolo per funzioni

Lezione 19. Prerequisiti: Asintoticità e o-piccoloa_n ~ b_n se il loro rapporto tende a 1, a_n = o(b_n) se tende a 0; nei prodotti e quozienti ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.Asintoticità e o-piccolo → (la stessa idea per le successioni), Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni →.

Le forme indeterminate delle funzioni si sciolgono con le stesse tecniche usate per le successioni. Qui si riscrivono le definizioni con $x \to x_0$ (dove $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ può essere un numero o $\pm\infty$) e si aggiungono alcune regole di calcolo con gli o-piccoli.

Le definizioni

Definizione (o-piccolo e asintotiche per funzioni). Siano $f, g$ definitivamente diverse da $0$ per $x \to x_0$ (così il rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ ha senso vicino a $x_0$). Si guarda il limite del rapporto.

1. Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$, si scrive $f(x) = o(g(x))$ per $x \to x_0$ ("$f$ è trascurabile rispetto a $g$ vicino a $x_0$").
   • Se $f, g \to \pm\infty$: $g$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $f$, per $x \to x_0$.
   • Se $f, g \to 0$: $g$ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $f$ (va a zero più lentamente), per $x \to x_0$.
   • Se invece il rapporto tende a $\pm\infty$, è $g(x) = o(f(x))$.
2. Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$, si scrive $f(x) \sim g(x)$ per $x \to x_0$ ($f$ e $g$ sono asintotiche). Se il limite è $\ell \ne 0$ reale, $f$ e $g$ hanno lo stesso ordine e $f(x) \sim \ell\,g(x)$.
3. Se il limite del rapporto non esiste, $f$ e $g$ sono non confrontabili per $x \to x_0$.

Esempio. Per $x \to 0$: $x^2 = o(x)$ e $\sin x \sim x$. Per $x \to +\infty$: $x = o(x^2)$ (il rapporto $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$).

Notazione compatta: si scrive anche $f \overset{x_0}{\sim} g$ e $f = o_{x_0}(g)$.

Attenzione: le relazioni dipendono da $x_0$

Esempio 1: $x^2$ e $x^4$.

• Per $x \to 0$: $\frac{x^4}{x^2} = x^2 \to 0$, quindi $x^4 = o(x^2)$. Vicino a $0$ la potenza più alta è più piccola (con $x = 0{,}1$: $x^2 = 0{,}01$, $x^4 = 0{,}0001$).
• Per $x \to +\infty$: $\frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2} \to 0$, quindi $x^2 = o(x^4)$. Lontano la potenza più alta è più grande.

In generale, con $0 < \alpha_1 < \alpha_2$:

$$x^{\alpha_1} = o(x^{\alpha_2}) \ \text{ per } x \to +\infty \qquad x^{\alpha_2} = o(x^{\alpha_1}) \ \text{ per } x \to 0^+$$

Quindi a $+\infty$ si raccoglie la potenza maggiore, in $0$ la potenza minore.

Esempio 2: $x$ e $\sin x$.

• Per $x \to 0$: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (limite notevole, si vedrà più avanti), quindi $\sin x \sim x$ per $x \to 0$.
• Per $x \to +\infty$: $\frac{\sin x}{x} = \frac1x \cdot \sin x \to 0$ (infinitesima per limitata), quindi $\sin x = o(x)$ per $x \to +\infty$.

Proprietà dell'asintoticità (per $x \to x_0$)

Proprietà (asintoticità di funzioni).

1. Simmetrica: $f \sim g \iff g \sim f$.
2. Se $f \sim g$, allora $f$ e $g$ hanno lo stesso limite in $x_0$ (oppure nessuna delle due ha limite).
3. Transitiva: $f \sim g$ e $g \sim h$ $\Rightarrow$ $f \sim h$.
4. Sostituzione nei prodotti e nei quozienti: se $f_1 \sim f$ e $g_1 \sim g$, allora $$\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \lim_{x \to x_0} f_1(x)g_1(x) \qquad \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f_1(x)}{g_1(x)}$$
5. Potenze: se $f \sim g$, allora $f^\alpha \sim g^\alpha$ per ogni $\alpha \ne 0$ (quando le potenze sono definite).
6. Logaritmo: se $f \sim g$ e $f, g \to +\infty$ oppure $\to 0^+$ per $x \to x_0$, allora $\log f \sim \log g$ (stessa dimostrazione delle successioni, in Asintoticità e o-piccoloa_n ~ b_n se il loro rapporto tende a 1, a_n = o(b_n) se tende a 0; nei prodotti e quozienti ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.Asintoticità e o-piccolo →). L'esponenziale invece non conserva l'asintoticità.

Esempio. Per $x \to 0$: $\lim \frac{\sin 2x}{\tan 3x} = \lim \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$, sostituendo ogni funzione con una asintotica.

Proprietà degli o-piccoli (per $x \to x_0$)

1. Transitiva: $f = o(g)$ e $g = o(h)$ $\Rightarrow$ $f = o(h)$.
2. Legame con l'asintoticità: $$f \sim g \iff f(x) = g(x) + o(g(x))$$
3. Si possono trascurare gli o-piccoli nei limiti di somme, prodotti e quozienti: $$\lim_{x \to x_0} \left(f + o(f)\right) = \lim_{x \to x_0} f, \qquad \lim_{x \to x_0} \left(f + o(f)\right)\left(g + o(g)\right) = \lim_{x \to x_0} fg, \qquad \lim_{x \to x_0} \frac{f + o(f)}{g + o(g)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f}{g}$$

Algebra degli o-piccoli

Con $f, g$ definitivamente $\ne 0$ per $x \to x_0$. Qui "$o(f)$" indica una qualunque funzione trascurabile rispetto a $f$: un'uguaglianza come $o(f) + o(f) = o(f)$ si legge "la somma di due funzioni trascurabili rispetto a $f$ è trascurabile rispetto a $f$" (va letta da sinistra a destra).

1. $o(f) \pm o(f) = o(f)$. Non è $0$: i due $o(f)$ sono in generale funzioni diverse.
2. $g \cdot o(f) = o(g \cdot f)$. Perché: $\frac{g \cdot o(f)}{g \cdot f} = \frac{o(f)}{f} \to 0$ per definizione di o-piccolo.
   • Casi particolari: $f \cdot o(f) = o(f^2)$; $\ \frac1g \cdot o(f) = o\left(\frac{f}{g}\right)$; $\ c \cdot o(f) = o(c f) = o(f)$ per ogni costante $c \ne 0$ (le costanti "spariscono" dentro l'o-piccolo).
   • Esempi: $x^2 \cdot o(x) = o(x^3)$ (per $x \to +\infty$, per $x \to 0$, per qualunque $x_0$); $\ \frac{1}{x^3} \cdot o(x^4) = o\left(\frac{x^4}{x^3}\right) = o(x)$.
3. $o(1)$: per esempio $\frac{1}{x^4} \cdot o(x^4) = o(1)$. Per definizione $h = o(1)$ significa $\frac{h(x)}{1} \to 0$: $o(1)$ è una funzione che tende a $0$.
4. Potenze: $[o(f)]^n = o(f^n)$ per $n \in \mathbb{N}^*$; $\ |o(f)|^\alpha = o(|f|^\alpha)$ per $\alpha > 0$.

Gerarchia delle funzioni infinite per $x \to +\infty$

Dalla gerarchia degli infiniti per le successioni (Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →) si ricava, con il teorema ponte, quella per le funzioni. In ordine di infinito crescente per $x \to +\infty$ (ognuna è $o$ della successiva):

Principio (gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞). $$\underbrace{f(x)}_{\text{limitata}} \ \ll\ \log^p x \ \ll\ x^{\alpha_1} \ \ll\ x^{\alpha_2} \ \ll\ a_1^x \ \ll\ a_2^x \ \ll\ x^x$$

Esempio. $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2^x} = 0$ e $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log^2 x}{\sqrt{x}} = 0$.

con $p > 0$, $0 < \alpha_1 < \alpha_2$, $1 < a_1 < a_2$. Per esempio "$a^x \ll x^x$" significa

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{x^x} = 0 \qquad (a > 1), \qquad \text{cioè } a^x = o(x^x) \text{ per } x \to +\infty$$

(Il fattoriale, che compariva nella gerarchia delle successioni, qui non c'è: $x!$ ha senso solo per $x$ naturale.)

Errori comuni

• Dimenticare "per $x \to x_0$": $x^4 = o(x^2)$ è vero per $x \to 0$ e falso per $x \to +\infty$.
• Raccogliere la potenza sbagliata: in $0$ si raccoglie quella con esponente minore.
• Semplificare $o(f) - o(f) = 0$.
• Sostituire con un asintotico dentro una somma: si fa solo nei prodotti e nei quozienti.

Esercizi: Esercizio 54 · limite con a^x+1) - 4^x-1) al variare di a, Esercizio 55 · (3+x)²/log x) e il logaritmo asintotico.