Funzioni limitate; sup, inf, massimo e minimo di una funzione

Prerequisiti: Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) → (sup e inf di un insieme) e Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico → (immagine). Lezione 8.

L'idea: tutto passa per l'immagine

Per una funzione $f : X \to \mathbb{R}$ ($X \ne \emptyset$ qualsiasi) l'immagine $f(X) = \{f(x) : x \in X\}$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$. Tutte le definizioni di questa nota sono le definizioni già viste per gli insiemi, applicate all'insieme $f(X)$. Non c'è niente di nuovo da imparare, solo da tradurre.

Funzioni limitate e illimitate

Sul grafico (per $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$):

• $f(x) \ge \ell$ per ogni $x$ significa che il grafico sta tutto sopra la retta orizzontale $y = \ell$: $f$ è inferiormente limitata se esiste una retta orizzontale sotto tutto il grafico.
• $f$ è superiormente limitata se esiste una retta orizzontale sopra tutto il grafico.
• $f$ è limitata se il grafico è "chiuso" in una striscia orizzontale tra due rette $y = \ell$ e $y = L$.
• $\sup f = +\infty$ se il grafico supera qualunque retta orizzontale, per quanto alta (per esempio una parabola rivolta verso l'alto).

Sup, inf, max, min di una funzione

Definizione (estremi di una funzione). $$\inf_X f = \inf f(X) \qquad \sup_X f = \sup f(X) \qquad \min_X f = \min f(X) \qquad \max_X f = \max f(X)$$

Esempio. $f(x) = x^2$ su $\mathbb{R}$: $f(X) = [0, +\infty)$, quindi $\inf f = \min f = 0$ e $\sup f = +\infty$ (nessun massimo).

(il pedice $X$ si omette quando è chiaro). Le caratterizzazioni diventano:

Teorema (caratterizzazione di inf e sup di una funzione). $$i = \inf_X f \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} 1.\ \ i \le f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in X : f(x) < i + \varepsilon \end{cases} \qquad s = \sup_X f \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} 1.\ \ s \ge f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in X : f(x) > s - \varepsilon \end{cases}$$

Esempio. $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ ha $0 < f(x) \le 1$ e $\inf f = 0$: per ogni $\varepsilon > 0$ vale $f(x) < \varepsilon$ non appena $x^2 > \frac{1}{\varepsilon} - 1$.

$$\inf_X f = -\infty \iff \forall \ell \in \mathbb{R}\ (\ell < 0)\ \exists x \in X : f(x) < \ell \qquad \sup_X f = +\infty \iff \forall L \in \mathbb{R}\ (L > 0)\ \exists x \in X : f(x) > L$$

(come per gli insiemi, basta considerare $\ell$ "piccoli a piacere" e $L$ "grandi a piacere").

Definizione (minimo e massimo di una funzione). $$m = \min_X f \iff \begin{cases} 1.\ \ m \le f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \exists\, x_0 \in X : f(x_0) = m \end{cases} \qquad M = \max_X f \iff \begin{cases} 1.\ \ M \ge f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \exists\, x_1 \in X : f(x_1) = M \end{cases}$$

Esempio. $f(x) = \sin x$: $\max f = f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ e $\min f = f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

La condizione 2 del minimo dice "$m \in f(X)$": il valore $m$ è effettivamente assunto da $f$ in qualche punto.

Valori di massimo/minimo e punti di massimo/minimo

Bisogna distinguere due cose:

• il valore minimo $m = \min f$ (un numero sull'asse $y$): se esiste è unico (come il minimo di un insieme);
• i punti di minimo: gli $x_0 \in X$ in cui $f(x_0) = m$ (numeri sull'asse $x$). Possono essere più di uno, anche infiniti.

Lo stesso per il massimo (valore massimo $M$, punti di massimo $x_1$ con $f(x_1) = M$).

Esempio: $f(x) = \sin x$ su $\mathbb{R}$. (La funzione seno sarà studiata più avanti; qui basta conoscerne il grafico, un'onda che oscilla tra $-1$ e $1$.)

• $f$ è limitata e $f(\mathbb{R}) = [-1, 1]$.
• $\max f = 1$ e $\min f = -1$: i valori sono unici.
• I punti di massimo sono $x_k = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ (dove l'onda tocca la cima): infiniti.
• I punti di minimo sono $\bar{x}_k = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$: anch'essi infiniti.

Leggere inf e sup sul grafico

Per $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ l'immagine $f(X)$ è la proiezione del grafico sull'asse $y$: inf, sup, min e max si leggono lì.

Esempio della prof. Una funzione il cui grafico, andando verso sinistra, si avvicina sempre di più alla retta $y = -1$ senza mai toccarla, e verso destra sale senza limite. Proiettando sull'asse $y$: $f(X) = (-1, +\infty)$. Quindi $\inf f = -1$, ma $\min f$ non esiste ($-1$ non è assunto), e $\sup f = +\infty$.

Un esempio concreto di questo tipo è $f(x) = e^x - 1$ (vedi Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →):

Errori comuni

• Confondere il valore minimo con il punto di minimo: per $\sin x$, il minimo è $-1$, i punti di minimo sono $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
• Dire "il massimo non è unico" perché è assunto in più punti: il valore è unico, sono i punti a poter essere tanti.
• Dire $\min f = -1$ quando $-1$ non è mai assunto: in quel caso $-1$ è solo l'inf.