Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat

Lezione 28. Prerequisiti: Funzioni limitate, sup, inf, max e minUna funzione è limitata, ha sup, inf, massimo o minimo quando li ha la sua immagine; valori e punti di massimo e minimo.Funzioni limitate, sup, inf, max e min →, Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →, Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → (teorema di Weierstrass), Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni → (permanenza del segno).

È la seconda applicazione del calcolo differenziale: usare la derivata per trovare dove una funzione cresce, dove decresce e dove ha massimi e minimi.

Massimi e minimi assoluti: che cosa si sa già

Data $f: X \to \mathbb{R}$ con $X \subseteq \mathbb{R}$ non vuoto:

• $\inf f$ e $\sup f$ esistono sempre e sono unici (eventualmente $-\infty$ e $+\infty$);
• $\min f$ e $\max f$, se esistono, sono unici, ma non sempre esistono (per esempio $\arctan x$ su $\mathbb{R}$ non ha né massimo né minimo);
• se $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ è continua su un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass $\min f$ e $\max f$ esistono sempre.

Da qui in poi questi si chiamano massimo e minimo assoluti, per distinguerli da quelli relativi.

Massimi e minimi relativi (o locali)

Definizione (minimo e massimo relativo). Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in X$.

1. $x_0$ è un punto di minimo relativo (o locale) se esiste $\delta > 0$ tale che $$f(x_0) \le f(x) \qquad \forall x \in X \cap \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$$ È un minimo relativo stretto se $f(x_0) < f(x)$ per ogni $x \ne x_0$ di quell'insieme.
2. $x_0$ è un punto di massimo relativo se esiste $\delta > 0$ tale che $f(x_0) \ge f(x)$ per ogni $x \in X \cap \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ (stretto se vale $>$ per $x \ne x_0$).

Esempio. $f(x) = x^3 - 3x$: $x_0 = -1$ è un massimo relativo ($f(-1) = 2$) e $x_0 = 1$ è un minimo relativo ($f(1) = -2$).

In parole: $x_0$ è di minimo relativo se, guardando solo vicino a $x_0$, nessun valore di $f$ è più basso di $f(x_0)$. Più lontano la funzione può scendere quanto vuole.

Rapporti con i massimi e minimi assoluti:

• un punto di minimo (massimo) assoluto è anche di minimo (massimo) relativo: se $f(x_0) \le f(x)$ per tutti gli $x$, a maggior ragione per quelli vicini;
• un minimo o massimo relativo può non essere né minimo né massimo assoluto (una "valle" che non è la più profonda);
• i minimi e massimi relativi non sono unici, in generale: $\sin x$ ha infiniti punti di massimo relativo ($\frac\pi2 + 2k\pi$).

L'ottimizzazione (trovare i punti di minimo e massimo, relativi o assoluti) è uno dei problemi fondamentali dell'analisi. L'obiettivo è trovare condizioni necessarie (che un punto di massimo o minimo deve per forza soddisfare: servono a restringere la ricerca) e condizioni sufficienti (che garantiscono che un punto è di massimo o minimo).

Dove cercarli

Per una funzione continua su $[a, b]$, guardando un grafico si vede che i minimi e massimi relativi possono stare in tre tipi di punti:

1. negli estremi $a$ e $b$ dell'intervallo;
2. in un punto interno dove $f$ non è derivabile (un punto angoloso, una cuspide): per esempio $|x|$ ha il minimo in $0$;
3. in un punto interno $x_0$ dove $f$ è derivabile. Qui ci si aspetta che la retta tangente in $(x_0, f(x_0))$ sia orizzontale, cioè $f'(x_0) = 0$: in cima a una collina liscia la tangente è piatta.

Il terzo punto è il teorema di Fermat.

Teorema di Fermat (condizione necessaria)

Teorema di Fermat. Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ un punto di minimo o di massimo relativo per $f$. Se $x_0$ è interno a $X$ e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $$f'(x_0) = 0$$

Esempio. $f(x) = x^2 - 4x$ ha il minimo in $x_0 = 2$ e infatti $f'(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0$.

Dimostrazione. Supponiamo che $x_0$ sia di minimo relativo (per il massimo è uguale con i segni scambiati). Per definizione, e perché $x_0$ è interno, esiste $\delta > 0$ tale che

1. $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \,\subseteq X$ ($x_0$ è interno);
2. $f(x_0) \le f(x)$ per ogni $x \in \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ ($x_0$ è di minimo relativo).

Si studia il segno del rapporto incrementale in quell'intorno. Per il punto 2 il numeratore $f(x) - f(x_0)$ è sempre $\ge 0$, quindi: $$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \;\begin{cases} \ge 0 & \text{se } x > x_0 \quad (\text{numeratore} \ge 0, \text{ denominatore} > 0) \\ \le 0 & \text{se } x < x_0 \quad (\text{numeratore} \ge 0, \text{ denominatore} < 0) \end{cases}$$ Passando al limite, per il teorema della permanenza del segno (seconda forma)Se g(x) ≥ 0 vicino al punto e g ha limite, allora il limite è ≥ 0. Le disuguaglianze larghe passano al limite.Teoremi sui limiti di funzioni →: $$f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0, \qquad f'(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0$$ Ma $f$ è derivabile in $x_0$, quindi derivata destra e sinistra coincidono con $f'(x_0)$: $$0 \le f'(x_0^+) = f'(x_0) = f'(x_0^-) \le 0 \quad\Longrightarrow\quad f'(x_0) = 0 \qquad \blacksquare$$

Perché servono le due ipotesi.

• $x_0$ interno: serve per avere punti sia a destra sia a sinistra. $f(x) = x$ su $[0, 1]$ ha il minimo in $0$, ma $f'(0^+) = 1 \ne 0$: in un estremo il teorema non vale.
• $f$ derivabile in $x_0$: $|x|$ ha il minimo in $0$, ma lì non è derivabile e $f'(0^\pm) = \pm 1$.

È solo una condizione necessaria

Il teorema dice: minimo/massimo interno + derivabile $\Rightarrow$ $f'(x_0) = 0$. Il viceversa è falso: ci sono punti con $f'(x_0) = 0$ che non sono né di minimo né di massimo.

Esempio: $f(x) = x^3$. $f'(x) = 3x^2$, quindi $f'(0) = 0$; ma $x^3 < 0$ per $x < 0$ e $x^3 > 0$ per $x > 0$, quindi in $0$ non c'è né minimo né massimo relativo. Il grafico attraversa la tangente orizzontale $y = 0$.

Punti critici (o stazionari)

Definizione (punto critico). Se $x_0$ è interno al dominio di $f$ ed esiste $f'(x_0) = 0$, si dice che $x_0$ è un punto critico (o stazionario) di $f$.

Esempio. $f(x) = x^3$ ha $f'(0) = 0$: $0$ è un punto critico, ma non è né un minimo né un massimo relativo.

Conseguenza pratica. Se $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ è derivabile in $]a, b[$, un punto interno può essere di minimo o massimo relativo solo se è un punto critico. Quindi la ricerca si restringe a:

• i punti critici (soluzioni di $f'(x) = 0$);
• i punti interni dove $f$ non è derivabile;
• gli estremi del dominio che vi appartengono.

Per decidere quali di questi candidati sono davvero di massimo o di minimo servono condizioni sufficienti: arrivano dai teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Teoremi di Rolle e di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange →) e dal Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →.

Errori comuni

• Pensare che $f'(x_0) = 0$ basti per un massimo o un minimo: $x^3$ in $0$.
• Cercare i massimi e minimi solo tra i punti critici: si perdono quelli negli estremi del dominio e nei punti di non derivabilità.
• Applicare Fermat in un estremo dell'intervallo: lì la derivata (unilaterale) può essere diversa da zero.