Integrazione per sostituzione

Lezione 38 (capitolo 6, paragrafo 5). Prerequisiti: Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati →, Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →, Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → (regola della catena). Esercizi: Esercizio 130 · integrali per sostituzione con logaritmo, arcotangente e seno, Esercizio 131 · tangente e altri integrali del tipo f' su f, Esercizio 132 · x³ su 1 + x⁸ e integrale definito di x e^x2.

L'idea

È la regola della catena letta al contrario. La derivata di una funzione composta è $$D\big[G(f(x))\big] = G'(f(x)) \cdot f'(x)$$ Quindi se l'integranda ha la forma "una funzione di $f(x)$, per $f'(x)$", cioè $g(f(x)) \cdot f'(x)$, e $G$ è una primitiva di $g$, allora una primitiva è $G(f(x))$.

La formula

Teorema (integrazione per sostituzione). Siano $g : [a, b] \to \mathbb{R}$ continua e $f : [c, d] \to [a, b]$ di classe $C^1$. Allora:

(1) $$\int g(f(x))\,f'(x)\,dx = \int g(y)\,dy = G(y) + k = G(f(x)) + k, \quad k \in \mathbb{R}$$ dove si è posto $y = f(x)$, $dy = f'(x)\,dx$, e $G$ è una primitiva di $g$.

(1') Per l'integrale definito: $$\int_c^d g(f(x))\,f'(x)\,dx = \int_{f(c)}^{f(d)} g(y)\,dy = \Big[G(y)\Big]_{y = f(c)}^{y = f(d)} = G(f(d)) - G(f(c))$$

Esempio. $\int 2x\cos(x^2)\,dx$: con $y = x^2$, $dy = 2x\,dx$ si ha $\int \cos y\,dy = \sin y + k = \sin(x^2) + k$.

Il simbolo $dy = f'(x)\,dx$: formalmente viene da $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ "moltiplicato per $dx$". Non è una vera moltiplicazione, ma è un promemoria che funziona: dice che cosa sostituire al posto di $f'(x)\,dx$.

Gli estremi in (1'): quando $x$ va da $c$ a $d$, la nuova variabile $y = f(x)$ va da $f(c)$ a $f(d)$. Cambiando variabile si cambiano anche gli estremi, e alla fine non si torna a $x$.

Dimostrazione di (1). $G$ è una primitiva di $g$, quindi $G' = g$. Per la regola della catena $$D\big[(G \circ f)(x)\big] = G'(f(x))\,f'(x) = g(f(x))\,f'(x)$$ cioè $G(f(x))$ è una primitiva di $g(f(x))\,f'(x)$, e per la definizione di integrale indefinito $\int g(f(x))\,f'(x)\,dx = G(f(x)) + k$ ∎. La (1') segue dalla (1) e dal TFCI 1.

La sostituzione al contrario

Quando $f$ è invertibile, la stessa formula si legge da destra a sinistra: per calcolare $\int g(y)\,dy$ si pone $y = f(x)$, cioè $x = f^{-1}(y)$, e $dy = f'(x)\,dx$:

Teorema (sostituzione al contrario). (2) $$\int g(y)\,dy = \int g(f(x))\,f'(x)\,dx = F(x) + k = F\big(f^{-1}(y)\big) + k$$ dove $F$ è una primitiva di $g(f(x))\,f'(x)$.

(2') $$\int_a^b g(y)\,dy = \Big[F(x)\Big]_{x = f^{-1}(a)}^{x = f^{-1}(b)}$$

Esempio. $\int \frac{dy}{\sqrt{y}\,(1 + y)}$ con $y = x^2$ ($x > 0$), $dy = 2x\,dx$: $\int \frac{2x}{x(1 + x^2)}\,dx = 2\arctan x + k = 2\arctan\sqrt{y} + k$.

Serve quando l'integrale in $x$ è più facile di quello in $y$ (lo si vedrà con le sostituzioni per le radici, nelle lezioni successive).

Come si riconosce

Si cerca nell'integranda una funzione "interna" $f(x)$ la cui derivata compare (a meno di una costante moltiplicativa) come fattore.

Esempio 1. $\int \frac{\sin(\log x)}{x}\,dx = \int \sin(\log x) \cdot \frac1x\,dx$. La funzione interna è $\log x$, e la sua derivata $\frac1x$ c'è. Con $y = \log x$, $dy = \frac1x\,dx$: $$\int \sin y\,dy = -\cos y + k = -\cos(\log x) + k$$

Se la derivata c'è solo a meno di una costante, si moltiplica e divide per quella costante (linearità). Esempio: $\int x\,e^{x^2}\,dx$: la funzione interna è $x^2$, con derivata $2x$; c'è solo $x$, quindi $$\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int e^y\,dy = \frac12 e^{x^2} + k \qquad (y = x^2,\ dy = 2x\,dx)$$

Attenzione: si può aggiustare solo una costante, mai una funzione di $x$. Per esempio $\int e^{x^2}\,dx$ non si fa così: la derivata $2x$ manca, e non si può "moltiplicare e dividere per $2x$" (la $x$ non esce dall'integrale).

Tabella 2: integrali immediati per sostituzione

Formula (integrali immediati per sostituzione). Applicando la (1) a ogni riga degli Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati → (con $f \in C^1$ a valori nel dominio delle funzioni considerate):

Integrale	Risultato
$\int f(x)^\alpha\, f'(x)\,dx$, $\alpha \ne -1$	$\frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + k$
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$	$\log\lvert f(x)\rvert + k$
$\int e^{\alpha f(x)}\,f'(x)\,dx$, $\alpha \ne 0$	$\frac1\alpha e^{\alpha f(x)} + k$
$\int \sin(f(x))\,f'(x)\,dx$	$-\cos(f(x)) + k$
$\int \cos(f(x))\,f'(x)\,dx$	$\sin(f(x)) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}\,dx$	$\arcsin(f(x)) + k$
$\int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}\,dx$	$\arctan(f(x)) + k$
$\int \sinh(f(x))\,f'(x)\,dx$	$\cosh(f(x)) + k$
$\int \cosh(f(x))\,f'(x)\,dx$	$\sinh(f(x)) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)^2 + 1}}\,dx$	$\text{settsinh}(f(x)) + k = \log\left(f(x) + \sqrt{f(x)^2 + 1}\right) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)^2 - 1}}\,dx$	$\text{settcosh}(f(x)) + k = \log\left(f(x) + \sqrt{f(x)^2 - 1}\right) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\cosh^2(f(x))}\,dx$	$\tanh(f(x)) + k$

Esempio. $\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \log(x^2 + 1) + k$ (caso $\frac{f'}{f}$ con $f = x^2 + 1$).

La seconda riga è la più usata: numeratore = derivata del denominatore dà il logaritmo del denominatore. Esempio: $\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\log|\cos x| + k$.

Non sempre è immediato riconoscere $f(x)$ e $f'(x)$: serve esercizio. In ogni caso, la sostituzione è il primo metodo a cui pensare.

Integrali definiti: due modi equivalenti

Per $\int_1^3 x\,e^{x^2}\,dx$:

• Modo A (primitiva, poi TFCI 1). Dall'esempio sopra una primitiva è $G(x) = \frac12 e^{x^2}$, quindi $\int_1^3 x\,e^{x^2}\,dx = \left[\frac12 e^{x^2}\right]_{x=1}^{x=3} = \frac12(e^9 - e)$.
• Modo B (cambio degli estremi, formula (1')). Con $y = x^2$: per $x = 1$, $y = 1$; per $x = 3$, $y = 9$. Quindi $\frac12\int_1^9 e^y\,dy = \frac12\left[e^y\right]_1^9 = \frac12(e^9 - e)$.

Stesso risultato. L'errore da evitare è mescolare i due modi: cambiare variabile e tenere gli estremi vecchi (o tornare a $x$ dopo aver cambiato gli estremi).

Errori comuni

• Dimenticare di sostituire $dx$: va sostituito tutto $f'(x)\,dx$ con $dy$; nell'integrale in $y$ non deve restare nessuna $x$.
• Negli integrali definiti, non cambiare gli estremi dopo la sostituzione.
• "Aggiustare" un fattore che non è costante moltiplicando e dividendo per una funzione di $x$.