Variabili aleatorie assolutamente continue

Punto 3 del programma ("funzione di distribuzione per v.a. generiche e caso assolutamente continuo: densità di probabilità e sue proprietà; valore medio di v.a. assolutamente continue e di loro funzioni"). Prerequisiti: Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di BorelNegli spazi non discreti la probabilità non si ricava più dai singoli esiti: si usa la σ-algebra di Borel (generata dagli intervalli), la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi e la definizione generale di v.a. come funzione X con {X ≤ x} evento per ogni x.Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel →, Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →, Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →. Casi notevoli: Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →, Distribuzione gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma →, Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →.

L'idea: dalla somma all'integrale

Per una v.a. discreta la probabilità è concentrata in punti isolati, con masse $p_X(x)$, e $P(X \in A) = \sum_{x \in A} p_X(x)$. Per un tempo di attesa, una tensione, la posizione di un punto scelto a caso, ogni singolo valore ha probabilità zero (vedi Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di BorelNegli spazi non discreti la probabilità non si ricava più dai singoli esiti: si usa la σ-algebra di Borel (generata dagli intervalli), la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi e la definizione generale di v.a. come funzione X con {X ≤ x} evento per ogni x.Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel →): la probabilità è "spalmata" lungo la retta, come una massa distribuita lungo un filo con una certa densità.

La densità $f_X(x)$ dice quanta probabilità c'è per unità di lunghezza vicino a $x$, e la probabilità di un intervallo è l'area sotto il grafico di $f_X$ sopra quell'intervallo. La somma diventa un integrale.

Definizione

Definizione (variabile aleatoria assolutamente continua e densità). Una v.a. $X$ si dice assolutamente continua (a.c.) se esiste una funzione $f_X : \mathbb R \to [0, +\infty)$ integrabile tale che $$F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt \qquad \text{per ogni } x \in \mathbb R.$$ La funzione $f_X$ si chiama densità (di probabilità) di $X$.

Esempio. $f_X(x) = 2x$ su $[0,1]$ (e $0$ altrove) è una densità, perché $\int_0^1 2x\,dx = \big[x^2\big]_0^1 = 1 - 0 = 1$ (una primitiva di $2x$ è $x^2$, e l'integrale si calcola con il teorema fondamentaleSe G è una primitiva di g, l'integrale di g da a a b vale G(b) − G(a).Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →). La FdD si ottiene integrando fino a $x$: per $x < 0$ la densità è nulla e $F_X(x) = 0$; per $x \in [0,1]$, $F_X(x) = \int_{-\infty}^0 0\,dt + \int_0^x 2t\,dt = x^2$; per $x > 1$ si è già raccolta tutta l'area e $F_X(x) = 1$.

Proprietà della densità

Proprietà (della densità). (D1) $f_X(x) \ge 0$ per ogni $x$.

(D2) $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \, dx = 1$.

Esempio. $f(x) = 3x^2$ su $[0,1]$ ha $f \ge 0$ e $\int_0^1 3x^2\,dx = \big[x^3\big]_0^1 = 1$: è una densità.

Perché (D1). Se $f_X$ fosse negativa su un intervallo $(a, b)$, l'integrale da $a$ a $b$ sarebbe negativo, e quindi $F_X(b) - F_X(a) = P(a < X \le b) < 0$: impossibile. (A rigore $f_X$ potrebbe essere negativa in punti isolati, che non cambiano gli integrali; si sceglie sempre la versione $\ge 0$.)

Perché (D2). L'integrale su tutta la retta è un integrale improprioL'integrale su un intervallo illimitato si definisce come limite degli integrali sugli intervalli limitati.Integrali impropri →: $\int_{-\infty}^{+\infty} f_X = \lim_{x \to +\infty} \int_{-\infty}^{x} f_X = \lim_{x \to +\infty} F_X(x)$, che vale $1$ per la proprietà (F2) della Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →.

Viceversa: ogni funzione con (D1) e (D2) è la densità di qualche v.a. a.c. Per questo, negli esercizi "trovare la costante $c$ che rende $f$ una densità" significa imporre (D1) (segno) e (D2) (normalizzazione).

Conseguenze

1. Le probabilità sono aree. Per $a < b$:

$$P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_{-\infty}^b f_X - \int_{-\infty}^a f_X = \int_a^b f_X(t) \, dt.$$

Il primo passaggio è la proprietà della FdD: $\{X \le b\}$ è l'unione disgiunta di $\{X \le a\}$ e $\{a < X \le b\}$, quindi $F_X(b) = F_X(a) + P(a < X \le b)$. L'ultimo è l'additività rispetto all'intervalloL'integrale da c a b è l'integrale da c ad a più quello da a a b.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →: $\int_{-\infty}^b = \int_{-\infty}^a + \int_a^b$, e sottraendo resta solo il pezzo tra $a$ e $b$.

Più in generale $P(X \in B) = \int_B f_X(t) \, dt$ per ogni boreliano $B$.

2. I singoli punti hanno probabilità zero. Per ogni $x$ e ogni $\varepsilon > 0$, $\{X = x\} \subseteq \{x - \varepsilon < X \le x\}$, quindi

$$P(X = x) \le \int_{x - \varepsilon}^x f_X(t) \, dt \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0 \implies P(X = x) = 0.$$

Perché l'integrale tende a 0. Se $f_X$ è limitata vicino a $x$, diciamo $f_X \le M$, l'integrale su un intervallo lungo $\varepsilon$ è al più $M \varepsilon$ (si maggiora l'integranda con la costante $M$), che va a $0$. In generale vale lo stesso perché la funzione integrale $x \mapsto \int_{-\infty}^x f_X$ è continua, e l'integrale è la differenza dei suoi valori in $x$ e in $x - \varepsilon$. Poi $P(X = x)$ è un numero fisso $\ge 0$ che sta sotto quantità piccole a piacere, quindi vale $0$.

Di conseguenza gli estremi non contano:

$$P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) = P(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(t) \, dt.$$

Con le v.a. discrete invece bisognava stare molto attenti a $<$ e $\le$.

3. $F_X$ è continua (non ha salti, perché un salto in $x$ vorrebbe dire $P(X = x) > 0$: l'ampiezza del salto di una FdD in $x$ è proprio $F_X(x) - F_X(x^-) = P(X = x)$, vedi Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →).

4. La densità è la derivata della FdD. Per il teorema fondamentale del calcolo integraleSe f è continua in x, la funzione integrale x ↦ ∫ da −∞ a x di f è derivabile in x con derivata f(x).Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →, nei punti in cui $f_X$ è continua

$$f_X(x) = F_X'(x).$$

Questa è la strada pratica per trovare la densità: si calcola $F_X$ (spesso più facile da ragionare, perché è una probabilità) e la si deriva. Nei punti, in numero finito, in cui $F_X$ non è derivabile, il valore di $f_X$ si può scegliere a piacere: cambiare una densità in un numero finito di punti non cambia nessun integrale, quindi nessuna probabilità.

Criterio pratico: se $F_X$ è continua ovunque e derivabile tranne al più in un numero finito di punti (con derivata continua altrove), allora $X$ è a.c. con densità $F_X'$.

Attenzione: la densità non è una probabilità

$f_X(x)$ non è $P(X = x)$ (che è $0$) e può essere maggiore di 1. Esempio: la densità uniforme su $[0, \frac12]$ vale $2$ su quell'intervallo (l'area deve essere $1$ e la base è $\frac12$). Il significato corretto è approssimato:

$$P(x < X \le x + h) = \int_x^{x + h} f_X \approx f_X(x) \cdot h \qquad \text{per } h \text{ piccolo}.$$

L'approssimazione viene dal teorema della media integraleSe f è continua tra x e x + h, il suo integrale su quel tratto vale f(ξ) h per qualche ξ nel tratto.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →: l'integrale vale $f_X(\xi)\, h$ per un $\xi \in [x, x + h]$, e se $f_X$ è continua in $x$, per $h$ piccolo $f_X(\xi)$ è vicino a $f_X(x)$. Dividendo per $h$: $\frac{P(x < X \le x + h)}{h} \to f_X(x)$, che è di nuovo il rapporto incrementale di $F_X$ (Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →).

Cioè $f_X(x)$ è probabilità per unità di lunghezza. Un valore grande di $f_X(x)$ dice che $X$ cade spesso vicino a $x$.

Esempio d'esame: trovare la costante e la FdD

(I parziale 17.11.2025, esercizio 4; svolto per intero in Esercizio 13 · densità proporzionale a t² su un intervallo che dipende da a.) $f_X(t) = a t^2 \, \mathbb 1_{(-a, 2a)}(t)$.

• Segno: $t^2 \ge 0$, quindi serve $a \ge 0$; con $a = 0$ la funzione sarebbe nulla e avrebbe integrale $0$, quindi $a > 0$.
• Normalizzazione: $\int_{-a}^{2a} a t^2 \, dt = a \cdot \frac{(2a)^3 - (-a)^3}{3} = a \cdot \frac{9a^3}{3} = 3a^4 = 1$, quindi $a = 3^{-1/4}$. Passaggi: $a$ è una costante e va fuori dall'integrale; una primitiva di $t^2$ è $\frac{t^3}{3}$; $(2a)^3 = 8a^3$ e $(-a)^3 = -a^3$ (cubo di un negativo), quindi la differenza è $8a^3 + a^3 = 9a^3$. Da $3a^4 = 1$ viene $a^4 = \frac13$, che ha due soluzioni reali $\pm 3^{-1/4}$; si tiene quella positiva, $a = 3^{-1/4} \approx 0{,}760$.
• FdD: per $-a \le x < 2a$, $F_X(x) = \int_{-a}^x a t^2 \, dt = a \cdot \frac{x^3 - (-a)^3}{3} = \frac a3 (x^3 + a^3)$; vale $0$ prima di $-a$ (lì la densità è nulla e non si è accumulata probabilità) e $1$ dopo $2a$. Controllo: in $x = 2a$ viene $\frac a3 \cdot 9a^3 = 3a^4 = 1$ ✓, quindi la FdD è continua anche in $2a$.

Il simbolo $\mathbb 1_A(t)$ è la funzione indicatriceVale 1 se t appartiene ad A e 0 altrimenti; serve a scrivere in una sola formula una densità definita a tratti. di $A$: è il modo compatto di dire "la densità vale $a t^2$ dentro $(-a, 2a)$ e $0$ fuori".

Valore atteso

Definizione (valore atteso di una variabile aleatoria assolutamente continua). Se $\int_{\mathbb R} |x| f_X(x) \, dx < +\infty$, il valore atteso di $X$ è $$E[X] := \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f_X(x) \, dx.$$

È la stessa definizione del caso discreto (Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →) con l'integrale al posto della somma e $f_X(x)\,dx$ al posto di $p_X(x)$: si sommano i valori $x$ pesati con la probabilità "infinitesima" $f_X(x)\,dx$ di cadere vicino a $x$. La condizione di convergenza assoluta ha lo stesso scopo: garantire che il risultato sia un numero ben definito.

Esempio senza media. La densità di Cauchyf(x) = 1 / (π(1 + x²)): ha una forma a campana, ma code così pesanti che l'integrale del modulo di x per f(x) diverge. $f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}$ ha $\int |x| f(x) \, dx = +\infty$. Per simmetria basta guardare $x \ge 0$: con la sostituzione $s = 1 + x^2$, $ds = 2x\,dx$ (Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →), $$\int_0^M \frac{x}{\pi(1 + x^2)}\,dx = \frac{1}{2\pi} \int_1^{1 + M^2} \frac{ds}{s} = \frac{\ln(1 + M^2)}{2\pi} \xrightarrow[M \to +\infty]{} +\infty .$$ È lo stesso verdetto del confronto asintoticoSe due integrande positive sono asintotiche all'infinito, i due integrali impropri convergono o divergono insieme.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →: l'integranda si comporta come $\frac1{\pi x}$ all'infinito, e $\int^{+\infty} \frac{dx}{x}$ diverge. Quindi $E[X]$ non esiste, anche se la densità è simmetrica rispetto a $0$.

Teorema fondamentale del valor medio (caso continuo)

Teorema (fondamentale del valor medio, caso continuo). Se $g : \mathbb R \to \mathbb R$ è una funzione (continua a tratti) e $\int |g(x)| f_X(x) \, dx < +\infty$, allora $$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \, f_X(x) \, dx.$$

Esempio. $X \sim U(0,1)$, con densità $1$ su $[0, 1]$: con $g(x) = x^2$, $E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 1\,dx = \big[\frac{x^3}{3}\big]_0^1 = \frac{1}{3}$. Si noti che $E[X]^2 = \left(\frac12\right)^2 = \frac14 \ne \frac13$.

Come nel caso discreto, non serve trovare la legge di $g(X)$: si integra $g$ contro la densità di $X$. Si usa per i momenti $E[X^k] = \int x^k f_X$, per la varianza, per le funzioni caratteristiche $E[e^{i\theta X}] = \int e^{i\theta x} f_X(x) \, dx$.

Linearità: $E[aX + b] = aE[X] + b$. Infatti, con $g(x) = ax + b$, $$E[aX + b] = \int (ax + b) f_X(x)\,dx = a \int x f_X(x)\,dx + b \int f_X(x)\,dx = a E[X] + b \cdot 1,$$ per la linearità dell'integrale (Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →) e la (D2), e più in generale $E[ag(X) + bh(X)] = aE[g(X)] + bE[h(X)]$.

Varianza, momenti, disuguaglianze

Tutto ciò che in Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti → e Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen → si dimostrava usando solo le proprietà del valore atteso vale identico:

Esempio completo: densità lineare su $[0, 1]$

(III appello 24.06.2026, esercizio 4; svolto per intero in Esercizio 15 · densità c(1+x) e radice quadrata.) $f_X(x) = c(1 + x) \mathbb 1_{[0, 1]}(x)$.

Costante. $c > 0$ per il segno ($1 + x > 0$ su $[0, 1]$, quindi il segno di $f$ è quello di $c$); $\int_0^1 (1 + x) \, dx = \big[x + \frac{x^2}{2}\big]_0^1 = 1 + \frac12 = \frac32$, quindi $c \cdot \frac32 = 1$ e $c = \frac23$. Lo si vede anche geometricamente: sotto $1 + x$ tra $0$ e $1$ c'è un trapezio di basi $1$ e $2$ e altezza $1$, con area $\frac{(1 + 2) \cdot 1}{2} = \frac32$.

FdD. Per $0 \le x < 1$: $F_X(x) = \frac23 \int_0^x (1 + t) \, dt = \frac23\left[t + \frac{t^2}{2}\right]_0^x = \frac23\left(x + \frac{x^2}{2}\right)$. Per $x < 0$ vale $0$ e per $x \ge 1$ vale $1$. Controllo: $F_X(1) = \frac23 \cdot \frac32 = 1$ ✓, e la FdD è continua in $0$ e in $1$, come deve essere per una v.a. a.c.

Media e momento secondo. Si usa il teorema del valor medio con $g(x) = x$ e $g(x) = x^2$, si moltiplicano i polinomi e si integra termine a termine:

$$E[X] = \frac23 \int_0^1 x(1 + x) \, dx = \frac23 \int_0^1 (x + x^2)\,dx = \frac23\left(\frac12 + \frac13\right) = \frac23 \cdot \frac56 = \frac59,$$

$$E[X^2] = \frac23 \int_0^1 x^2 (1 + x) \, dx = \frac23 \int_0^1 (x^2 + x^3)\,dx = \frac23\left(\frac13 + \frac14\right) = \frac23 \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{18},$$

dove $\int_0^1 x^k\,dx = \frac{1}{k+1}$. Per la varianza si usa $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$, con $E[X]^2 = \frac{25}{81}$, e si porta tutto al denominatore comune $162 = 2 \cdot 81$ ($\frac{7}{18} = \frac{63}{162}$, $\frac{25}{81} = \frac{50}{162}$):

$$\text{Var}(X) = \frac{7}{18} - \frac{25}{81} = \frac{63 - 50}{162} = \frac{13}{162} \approx 0{,}080.$$

La media $\frac59 > \frac12$: la densità cresce, quindi pesa di più la metà destra dell'intervallo ✓.

Confronto discreto / continuo

Esistono anche v.a. né discrete né a.c.: Variabili aleatorie misteUna v.a. mista ha una FdD con salti (parte discreta, masse p_i nei punti x_i) e tratti crescenti continui (parte con densità f): E[g(X)] = Σ g(x_i) p_i + ∫ g(x) f(x) dx, con Σ p_i + ∫ f = 1; varianza come sempre E[X²] − E[X]².Variabili aleatorie miste →.

Errori comuni

• Leggere $f_X(x)$ come $P(X = x)$ o stupirsi che sia maggiore di $1$.
• Dimenticare l'indicatrice: la densità $c(1 + x)$ vale solo su $[0, 1]$; integrare su tutto $\mathbb R$ darebbe $+\infty$.
• Scrivere la FdD solo nel tratto centrale: va data su tutta la retta ($0$ prima del supporto, $1$ dopo).
• Derivare la FdD e dimenticare di controllare che sia continua: se $F_X$ ha un salto, $X$ non è a.c. (vedi Variabili aleatorie misteUna v.a. mista ha una FdD con salti (parte discreta, masse p_i nei punti x_i) e tratti crescenti continui (parte con densità f): E[g(X)] = Σ g(x_i) p_i + ∫ g(x) f(x) dx, con Σ p_i + ∫ f = 1; varianza come sempre E[X²] − E[X]².Variabili aleatorie miste →).
• Calcolare $E[g(X)]$ come $g(E[X])$: in generale sono diversi (ad esempio $E[X^2] \ne E[X]^2$, e la differenza è la varianza).