Vettori gaussiani

Ultimo argomento del punto 4 del programma ("la distribuzione Gaussiana n-dimensionale: proprietà e caratterizzazioni equivalenti"). Prerequisiti: Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →, Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →. Strumento per le dimostrazioni: Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →. In ogni appello del 2025-26 c'è un esercizio su questo argomento.

Perché servono

Il rumore che disturba due antenne vicine, le coordinate dell'errore di posizione di un GPS, i campioni successivi di un segnale rumoroso: sono v.a. gaussiane correlate tra loro. Serve un modello per più gaussiane insieme che tenga conto delle covarianze. Il vettore gaussiano è quel modello, ed è l'unico caso in cui tutto si calcola con media e matrice di covarianza.

Definizione

Definizione (vettore gaussiano). Un vettore aleatorio $X = (X_1, \dots, X_n)$ è gaussiano se ogni combinazione lineare delle sue componenti $$a_1 X_1 + \dots + a_n X_n, \qquad a_1, \dots, a_n \in \mathbb R,$$ è una v.a. gaussiana (le costanti contano come gaussiane degeneri, con varianza $0$).

Se $m = E[X]$ è il vettore delle medie e $\Sigma$ la matrice di covarianzaLa matrice n × n con le varianze sulla diagonale e Cov(X_i, X_j) fuori diagonale: simmetrica e semidefinita positiva.Covarianza e coefficiente di correlazione →, si scrive $X \sim N(m, \Sigma)$.

Esempio. $(Z_1, Z_2)$ con $Z_i \sim N(0,1)$ indipendenti è gaussiano: $aZ_1 + bZ_2 \sim N(0, a^2 + b^2)$. Infatti $aZ_1 \sim N(0, a^2)$ e $bZ_2 \sim N(0, b^2)$ (moltiplicare una gaussiana per una costante dà una gaussiana, con varianza moltiplicata per il quadrato della costante), sono indipendenti perché funzioni di v.a. indipendenti, e la somma di gaussiane indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti → è gaussiana con media e varianza sommate.

Perché media e covarianza bastano: la combinazione $U = a^T X$ è gaussiana con $E[U] = a^T m$ (linearità della media) e $\text{Var}(U) = a^T \Sigma a$ (bilinearità della covarianza, vedi la matrice di covarianza in Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →), quindi la legge di ogni combinazione lineare dipende solo da $m$ e $\Sigma$; e la legge di tutte le combinazioni lineari determina la legge del vettore (tramite la funzione caratteristica).

Caratterizzazioni equivalenti

Teorema (caratterizzazioni equivalenti dei vettori gaussiani). Per un vettore $X$ con media $m$ e covarianza $\Sigma$ sono equivalenti:

1. ogni combinazione lineare $a^T X$ è gaussiana;
2. $X = m + AZ$, dove $Z = (Z_1, \dots, Z_k)$ ha componenti $N(0, 1)$ indipendenti e $A$ è una matrice $n \times k$ con $AA^T = \Sigma$;
3. la funzione caratteristica è $\varphi_X(\theta) = E[e^{i\theta^T X}] = \exp\left(i\theta^T m - \frac12 \theta^T \Sigma \theta\right)$ per ogni $\theta \in \mathbb R^n$;
4. (se $\det \Sigma > 0$) $X$ ha densità $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det\Sigma}} \exp\left(-\frac12 (x - m)^T \Sigma^{-1} (x - m)\right), \qquad x \in \mathbb R^n.$$

Esempio. $X = m + AZ$ con $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $Z$ standard: $\Sigma = AA^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Il prodotto riga per colonna (Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →) con $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dà gli elementi $1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$, $1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$, $1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$, $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$. Lo stesso risultato si legge sulle componenti: $X_1 = m_1 + Z_1$ e $X_2 = m_2 + Z_1 + Z_2$, quindi $\text{Var}(X_1) = 1$, $\text{Var}(X_2) = 1 + 1 = 2$ e $\text{Cov}(X_1, X_2) = \text{Cov}(Z_1, Z_1 + Z_2) = \text{Var}(Z_1) + \text{Cov}(Z_1, Z_2) = 1 + 0 = 1$.

Perché $AA^T = \Sigma$ in generale: $X - m = AZ$, e $\Sigma = E[(X - m)(X - m)^T] = E[A Z Z^T A^T] = A\, E[ZZ^T]\, A^T = A I A^T = AA^T$, perché $E[ZZ^T]$ ha elementi $E[Z_i Z_j]$, che valgono $1$ per $i = j$ e $0$ per $i \ne j$ (componenti indipendenti a media nulla): è la matrice identità.

Idee delle dimostrazioni.

• 2 ⇒ 1: $a^T X = a^T m + (a^T A) Z$ è una costante più una combinazione lineare di gaussiane indipendenti, quindi gaussiana (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →).
• 1 ⇒ 3: $\theta^T X$ è gaussiana con media $\theta^T m$ e varianza $\theta^T\Sigma\theta$, e la funzione caratteristica di $N(\mu, \sigma^2)$ in $1$ è $e^{i\mu - \sigma^2/2}$ (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →).
• 3 ⇒ 1: $E[e^{it(a^T X)}] = \varphi_X(ta)$, che è la funzione caratteristica di $N(a^T m, a^T\Sigma a)$; la funzione caratteristica determina la legge.
• 2 ⇒ 4 (con $A$ quadrata invertibile): densità di $Z$ = prodotto di $n$ densità standard, poi cambio di variabile $x = m + Az$ (lo jacobiano dà $\frac{1}{|\det A|} = \frac{1}{\sqrt{\det\Sigma}}$). Più in dettaglio:
  • per l'indipendenza $f_Z(z) = \prod_i \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z_i^2/2} = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} e^{-\frac12 z^T z}$, perché $\sum_i z_i^2 = z^T z$;
  • la trasformazione inversa è $z = A^{-1}(x - m)$ (Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →), e la sua matrice jacobianaPer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte → è la matrice costante $A^{-1}$; la formula del cambio di variabili (la stessa degli integrali multipli, Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →) dà $f_X(x) = f_Z(A^{-1}(x - m)) \cdot |\det A^{-1}| = f_Z(A^{-1}(x - m)) \cdot \frac{1}{|\det A|}$;
  • all'esponente $z^T z = (x - m)^T (A^{-1})^T A^{-1} (x - m) = (x - m)^T (AA^T)^{-1} (x - m) = (x - m)^T \Sigma^{-1} (x - m)$, usando $(A^{-1})^T A^{-1} = (A^T)^{-1}A^{-1} = (AA^T)^{-1}$ (l'inversa di un prodotto è il prodotto delle inverse in ordine scambiato);
  • per il teorema di Binet (Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →) $\det\Sigma = \det A \cdot \det A^T = (\det A)^2$, quindi $|\det A| = \sqrt{\det\Sigma}$.

La 2 dice come si costruisce (e si simula al computer) un vettore gaussiano: si prendono gaussiane standard indipendenti e le si mescola linearmente.

Il caso $n = 2$

Con $\text{Var}(X) = \sigma_1^2$, $\text{Var}(Y) = \sigma_2^2$, $\text{Cov}(X, Y) = \rho\sigma_1\sigma_2$ e $|\rho| < 1$:

$$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix}, \qquad \det\Sigma = \sigma_1^2\sigma_2^2(1 - \rho^2), \qquad \Sigma^{-1} = \frac{1}{\det\Sigma}\begin{pmatrix} \sigma_2^2 & -\rho\sigma_1\sigma_2 \\ -\rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_1^2 \end{pmatrix}.$$

Il determinante è $\sigma_1^2 \sigma_2^2 - (\rho\sigma_1\sigma_2)^2 = \sigma_1^2\sigma_2^2(1 - \rho^2)$, positivo proprio quando $|\rho| < 1$. L'inversa di una matrice $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ si ottiene scambiando gli elementi diagonali, cambiando segno a quelli fuori diagonale e dividendo per il determinante $ad - b^2$ (è la formula con la matrice aggiuntaLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →; si verifica moltiplicando: $\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -b & a \end{pmatrix} = (ad - b^2) I$).

Esempio (III appello 24.06.2026, Esercizio 20 · vettore gaussiano, combinazione lineare e correlazione): $m = (1, -1)$, $\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

• $\det\Sigma = 4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4 > 0$, quindi esiste la densità.
• $\Sigma^{-1} = \frac14 \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix}$ (scambiati $4$ e $2$ sulla diagonale, cambiato segno ai $2$ fuori diagonale, diviso per $4$). Verifica: $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 1 & -2 + 2 \\ 1 - 1 & -1 + 2 \end{pmatrix} = I$ ✓.
• Con $u = x - 1$, $v = y + 1$ (le componenti di $x - m$): $(u, v)\Sigma^{-1}(u, v)^T = \frac12 u^2 - uv + v^2$. In generale $(u, v)\begin{pmatrix} p & q \\ q & r \end{pmatrix}(u, v)^T = p u^2 + 2q uv + r v^2$; qui $p = \frac12$, $q = -\frac12$ (che dà $2q = -1$) e $r = 1$.
• $$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt 4} \exp\left(-\frac12\left(\frac12 u^2 - uv + v^2\right)\right) = \frac{1}{4\pi} \exp\left(-\frac14 u^2 + \frac12 uv - \frac12 v^2\right).$$ La costante è $\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 \cdot 4}} = \frac{1}{2\pi \cdot 2} = \frac{1}{4\pi}$; all'esponente il $-\frac12$ si distribuisce sui tre termini.

Le curve di livello della densità sono gli insiemi dove la forma quadratica $(x - m)^T\Sigma^{-1}(x - m)$ è costante: sono ellissi centrate in $m$ (Coniche e quadricheUna conica è l'insieme dei punti del piano che annullano un polinomio di grado 2 in x, y. Con una traslazione (che elimina i termini di primo grado) e una rotazione data dal teorema spettrale (che elimina il termine xy) diventa una forma canonica: ellisse, iperbole o parabola, oppure un caso degenere. Il tipo si legge dai determinanti della matrice 3×3 completa e della parte quadratica 2×2. Circonferenze e sfere; cenni alle quadriche.Coniche e quadriche →), con gli assi lungo gli autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori → di $\Sigma$ e semiassi proporzionali alle radici dei suoi autovalori (per il teorema spettraleUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →, in quella base la forma quadratica non ha termini misti). Se $\rho = 0$ e $\sigma_1 = \sigma_2$ sono circonferenze.

Proprietà fondamentali

1. Trasformazioni affini

Teorema (trasformazioni affini di un vettore gaussiano). Se $X \sim N(m, \Sigma)$ in $\mathbb R^n$, $B$ è una matrice $k \times n$ e $b \in \mathbb R^k$, allora $$Y = BX + b \sim N(Bm + b, \ B\Sigma B^T).$$

Esempio. $(X, Y)$ standard indipendenti e $B = (1 \ \ 1)$: $X + Y = B\,(X,Y)^T \sim N(0, BB^T) = N(0, 2)$.

Perché: ogni combinazione lineare di $Y$ è una combinazione lineare di $X$ più una costante, quindi gaussiana: $c^T Y = (c^T B) X + c^T b$, dove $c^T B$ è un vettore riga di numeri. La media è $E[BX + b] = B\,E[X] + b = Bm + b$ per linearità. Per la covarianza, $Y - E[Y] = B(X - m)$ e $$E\big[(Y - E[Y])(Y - E[Y])^T\big] = E\big[B(X - m)(X - m)^T B^T\big] = B\,E\big[(X - m)(X - m)^T\big] B^T = B \Sigma B^T,$$ usando $(BV)^T = V^T B^T$ e il fatto che le matrici costanti escono dalla media (Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →).

Caso $k = 1$: ogni combinazione lineare $U = a^T X$ è $N(a^T m, a^T\Sigma a)$. È il conto che si fa in quasi ogni esercizio.

Esempio (stesso appello): $U = X - 2Y$, cioè $a = (1, -2)$. $$E[U] = 1 - 2(-1) = 3, \qquad \text{Var}(U) = 4 + 4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 4,$$ quindi $U \sim N(3, 4)$ e $P(U > 5) = P\left(Z > \frac{5 - 3}{2}\right) = 1 - \Phi(1)$.

La varianza è $a^T\Sigma a = a_1^2 \Sigma_{11} + a_2^2 \Sigma_{22} + 2 a_1 a_2 \Sigma_{12} = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot 2$, cioè i tre termini scritti sopra. Per la probabilità si standardizza (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →): $Z = \frac{U - 3}{\sqrt 4} \sim N(0, 1)$, e $U > 5$ equivale a $Z > \frac{5 - 3}{2} = 1$ (si sottrae la media e si divide per la deviazione standard $2$, positiva, quindi il verso della disuguaglianza non cambia). Dalle tavole $\Phi(1) \approx 0{,}8413$, quindi $P(U > 5) \approx 0{,}1587$.

2. Marginali gaussiane

Ogni componente $X_i$ (combinazione lineare con un solo coefficiente $1$) è $N(m_i, \Sigma_{ii})$; ogni sotto-vettore è gaussiano, con le medie e le covarianze corrispondenti.

Attenzione: il viceversa è falso. Due v.a. ciascuna gaussiana non formano necessariamente un vettore gaussiano. Controesempio: $X \sim N(0, 1)$, $S = \pm 1$ con probabilità $\frac12$ indipendente da $X$, $Y = SX$. Anche $Y \sim N(0, 1)$ (per simmetria), ma $X + Y$ vale $0$ con probabilità $\frac12$ (quando $S = -1$): non è gaussiana, quindi $(X, Y)$ non è un vettore gaussiano.

Perché $Y \sim N(0, 1)$. Con la formula delle probabilità totaliSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → sui due valori di $S$ e l'indipendenza di $S$ da $X$: $P(Y \le y) = \frac12 P(X \le y) + \frac12 P(-X \le y)$. Poiché la densità standard è pari, $-X$ ha la stessa legge di $X$, quindi entrambi i termini valgono $\Phi(y)$ e $P(Y \le y) = \Phi(y)$. Perché $X + Y$ non è gaussiana. Una gaussiana non degenere ha $P(X + Y = 0) = 0$, una degenere (costante) non ha probabilità $\frac12$ in un punto solo: qui $X + Y = (1 + S)X$ vale $0$ quando $S = -1$ e $2X$ quando $S = 1$.

3. Non correlazione ⇔ indipendenza

Teorema (non correlazione e indipendenza per vettori gaussiani). Se $(X, Y)$ è un vettore gaussiano, allora $X$ e $Y$ sono indipendenti se e solo se $\text{Cov}(X, Y) = 0$. Più in generale, le componenti di un vettore gaussiano sono indipendenti se e solo se $\Sigma$ è diagonale.

Esempio. Se $(X,Y)$ è gaussiano con $\text{Cov}(X,Y) = 0$, allora $X$ e $Y$ sono indipendenti; per v.a. non congiuntamente gaussiane questo può essere falso.

Perché. Se $\rho = 0$, la matrice è diagonale, $\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 \end{pmatrix}$, e $\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1/\sigma_1^2 & 0 \\ 0 & 1/\sigma_2^2 \end{pmatrix}$ (l'inversa di una diagonale si fa invertendo gli elementi). L'esponente della densità si spezza: $$-\frac12\left(\frac{(x - m_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(y - m_2)^2}{\sigma_2^2}\right),$$ e anche la costante si spezza, perché $\sqrt{(2\pi)^2 \sigma_1^2\sigma_2^2} = \sqrt{2\pi}\sigma_1 \cdot \sqrt{2\pi}\sigma_2$. Siccome $e^{a + b} = e^a e^b$, la densità è il prodotto di una densità $N(m_1, \sigma_1^2)$ in $x$ e di una $N(m_2, \sigma_2^2)$ in $y$: è la definizione di indipendenza. Il viceversa vale sempre (indipendenti ⇒ non correlate).

È l'unica situazione del corso in cui basta calcolare una covarianza per stabilire l'indipendenza. L'ipotesi "vettore gaussiano" è essenziale: nel controesempio sopra $\text{Cov}(X, SX) = E[SX^2] - E[X]E[SX] = E[S]E[X^2] - 0 = 0$ (si usa l'indipendenza di $S$ da $X$, per cui $E[SX^2] = E[S]E[X^2]$, e $E[S] = \frac12 - \frac12 = 0$, $E[X] = 0$) ma $X$ e $Y = SX$ non sono indipendenti ($|Y| = |X|$).

Esempio (I appello 15.01.2026, Esercizio 18 · vettore gaussiano con covarianza diagonale): $m = (0, 0)$, $\Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. $\Sigma$ è diagonale, quindi $X$ e $Y$ sono indipendenti $N(0, 2)$ e $$f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-y^2/4} = \frac{1}{4\pi} e^{-(x^2 + y^2)/4}.$$ Ogni fattore è la densità $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ con $\sigma^2 = 2$: $2\pi\sigma^2 = 4\pi$ e $2\sigma^2 = 4$; poi $\sqrt{4\pi} \cdot \sqrt{4\pi} = 4\pi$.

Esempio (II parziale 15.01.2026, Esercizio 19 · differenza e somma di gaussiane standard): $X, Y \sim N(0, 1)$ indipendenti, $Z = X - Y$, $V = X + Y$. $(Z, V)$ è un vettore gaussiano (trasformazione lineare di $(X, Y)$, che è gaussiano perché ha componenti gaussiane indipendenti) e $\text{Cov}(Z, V) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y) = 1 - 1 = 0$ (bilinearità: $\text{Cov}(X - Y, X + Y) = \text{Cov}(X, X) + \text{Cov}(X, Y) - \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, Y)$, e i due termini misti si cancellano): quindi $Z$ e $V$ sono indipendenti, anche se costruite con le stesse $X$ e $Y$.

4. Gaussiane indipendenti formano un vettore gaussiano

Se $X_1, \dots, X_n$ sono gaussiane indipendenti, $(X_1, \dots, X_n)$ è gaussiano con $\Sigma$ diagonale: ogni combinazione lineare è somma di gaussiane indipendenti. È il modo in cui di solito si ottiene un vettore gaussiano negli esercizi.

Metodo per gli esercizi

1. Riconoscere che il vettore è gaussiano (dato dal testo, oppure trasformazione lineare di gaussiane indipendenti).
2. Per una combinazione lineare $U = aX + bY + c$: è gaussiana, basta calcolare $E[U]$ e $\text{Var}(U) = a^2\text{Var}X + b^2\text{Var}Y + 2ab\,\text{Cov}(X, Y)$, poi standardizzare.
3. Per l'indipendenza di due combinazioni lineari: calcolare la covarianza con la bilinearità; se è zero, sono indipendenti.
4. Per la densità: $\det\Sigma$, $\Sigma^{-1}$, forma quadratica.

Errori comuni

• Usare "non correlate ⇒ indipendenti" senza aver verificato che il vettore sia gaussiano.
• Credere che marginali gaussiane bastino per avere un vettore gaussiano.
• Dimenticare il termine $2ab\,\text{Cov}$ nella varianza della combinazione lineare.
• Sbagliare l'inversa $2 \times 2$: scambiare la diagonale, cambiare segno fuori diagonale, dividere per il determinante.
• Mettere $\det\Sigma$ senza radice nella costante: è $\sqrt{(2\pi)^n \det\Sigma}$; per $n = 2$, $2\pi\sqrt{\det\Sigma}$.