Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte

Prerequisiti: Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →.

Funzioni vettoriali e differenziabilità

Sia $F: \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ una funzione a valori vettoriali, definibile come $F(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_m(x))$, dove ogni $f_i: \Omega \to \mathbb{R}$ è una funzione scalare.

Definizione. La funzione $F$ è differenziabile in $x_0 \in \Omega$ se ogni sua componente $f_i$ è differenziabile in $x_0$. In tal caso, il differenziale di $F$ in $x_0$ è l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice jacobiana $J_F(x_0)$.

Esempio. $F(x,y) = (x^2 y,\ x + y)$ ha $J_F = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$; in $(1,2)$ vale $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente → fornisce la base concettuale per la differenziabilità delle funzioni scalari, che qui viene estesa vettorialmente.

Matrice Jacobiana

La matrice jacobiana è la matrice $m \times n$ che contiene tutte le derivate parziali del primo ordine di $F$:

$$J_F(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

Ogni riga $i$ della matrice jacobiana corrisponde al gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente → della componente $f_i$. Righe = componenti di $F$ (quante sono le uscite, $m$), colonne = variabili (quanti sono gli ingressi, $n$).

Come nel caso scalare, la differenziabilità significa $F(x) = F(x_0) + J_F(x_0)\,(x - x_0) + o(\|x - x_0\|)$, con $x - x_0$ scritto come vettore colonna: la jacobiana è la "derivata" di $F$.

Esempio. $F(x, y) = (xy,\ x + y^2,\ e^{x})$, da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^3$: $$J_F(x, y) = \begin{pmatrix} y & x \\ 1 & 2y \\ e^x & 0 \end{pmatrix}$$ una matrice $3 \times 2$. Per $m = 1$ la jacobiana è il gradiente scritto come riga; per $n = 1$ (una curva $\gamma(t)$) è la colonna delle derivate $\gamma'(t)$.

Regola della catena (Chain Rule)

Siano $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ e $f: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^m$ funzioni differenziabili. La funzione composta $H = f \circ g$ (definita come $H(x) = f(g(x))$) ha matrice jacobiana data dal prodotto delle matrici jacobiane delle singole funzioni:

$$J_H(x) = J_f(g(x)) \cdot J_g(x)$$

Il prodotto $m \times k$ per $k \times n$ restituisce una matrice $m \times n$, come deve essere per una funzione da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$. È la generalizzazione di $(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\, g'(x)$: la jacobiana di $f$ va calcolata nel punto $g(x)$, non in $x$.

Casi particolari

1. Derivata lungo una curva: Se $g(t) = \gamma(t)$ è una curva in $\mathbb{R}^n$ e $f$ è scalare ($m=1$), la regola diventa: $$\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) = \nabla f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)$$ Questo è il prodotto scalare tra il gradiente di $f$ e il vettore velocità della curva.

   Esempio. $f(x, y) = x^2y$ lungo la circonferenza $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$. $\nabla f = (2xy, x^2)$, $\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t)$: $$\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) = 2\cos t \sin t\,(-\sin t) + \cos^2 t \cos t = \cos^3 t - 2\cos t\sin^2 t$$ Verifica diretta: $f(\gamma(t)) = \cos^2 t \sin t$, la cui derivata è $-2\cos t\sin t \cdot \sin t + \cos^2 t\cos t$, lo stesso risultato.

2. Funzioni in due variabili: Se $f = f(u, v)$ con $u = u(x, y)$ e $v = v(x, y)$, la matrice $J_f$ è $1 \times 2$ e $J_g$ è $2 \times 2$. La derivata rispetto a $x$ sarà: $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$ (e lo stesso con $y$ al posto di $x$): si somma su tutte le "strade" attraverso cui $x$ influenza $f$.

   Esempio (derivate in coordinate polari). Se $g(\rho, \theta) = f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$, con $x = \rho\cos\theta$ e $y = \rho\sin\theta$: $$\frac{\partial g}{\partial \rho} = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta, \qquad \frac{\partial g}{\partial \theta} = -f_x\,\rho\sin\theta + f_y\,\rho\cos\theta$$ con $f_x, f_y$ calcolate in $(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$. Per $f = x^2 + y^2$: $g_\rho = 2x\cos\theta + 2y\sin\theta = 2\rho$ e $g_\theta = 0$, coerente con $g = \rho^2$.

Trasformazioni di coordinate e invertibilità

Una trasformazione di coordinate $F: \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ è regolarefunzione di classe C^1 tale che il determinante dello Jacobiano sia non nullo (eccetto al più su un insieme di misura nulla).

Teorema di invertibilità locale. Sia $F$ una trasformazione regolare. Se $\det(J_F(x_0)) \neq 0$, allora esiste localmente una funzione inversa $F^{-1}$ tale che la sua matrice jacobiana è: $$J_{F^{-1}}(y) = [J_F(x)]^{-1} \quad \text{con } y = F(x)$$

Esempio. $F(x,y) = (x + y,\ x - y)$ ha $\det J_F = -2 \ne 0$ e $J_{F^{-1}} = J_F^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.

Esempio: Coordinate polari in $\mathbb{R}^2$

Dato $x = \rho \cos\theta$ e $y = \rho \sin\theta$, lo Jacobiano è: $$J_F(\rho, \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\rho \sin\theta \\ \sin\theta & \rho \cos\theta \end{pmatrix}$$ Il determinante è $\det(J_F) = \rho \cos^2\theta + \rho \sin^2\theta = \rho$. È diverso da $0$ dove $\rho \neq 0$: lì la trasformazione è localmente invertibile; tutti i punti con $\rho = 0$ vanno nell'origine.

Coordinate cilindriche e sferiche in $\mathbb{R}^3$

• Cilindriche: $x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$, $z = z$. La jacobiana ha il blocco polare e un $1$ in basso a destra, quindi $\det J = \rho$; singolare sull'asse $z$.
• Sferiche: $x = \rho\sin\varphi\cos\theta$, $y = \rho\sin\varphi\sin\theta$, $z = \rho\cos\varphi$, con $\rho \geq 0$, $\varphi \in [0, \pi]$ (angolo dall'asse $z$), $\theta \in [0, 2\pi]$. Con le variabili nell'ordine $(\rho, \varphi, \theta)$ il determinante vale $\rho^2\sin\varphi$ (scambiando l'ordine di due variabili cambia solo il segno); in valore assoluto, quello che serve negli integrali, è $|\det J| = \rho^2 \sin\varphi$. Singolare per $\rho = 0$ e per $\sin\varphi = 0$, cioè sull'asse $z$.

Locale non vuol dire globale

$F(x, y) = (e^x\cos y,\ e^x\sin y)$ ha $$J_F = \begin{pmatrix} e^x\cos y & -e^x\sin y \\ e^x\sin y & e^x\cos y \end{pmatrix}, \qquad \det J_F = e^{2x}(\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x} > 0$$ in ogni punto, quindi è localmente invertibile ovunque. Ma non è iniettiva: $F(x, y) = F(x, y + 2\pi)$. Il teorema garantisce un'inversa solo in un intorno di ciascun punto.

Errori comuni

• Ordine del prodotto: Ricordare che la matrice jacobiana della composta segue l'ordine $J_f \cdot J_g$ (fuori-dentro). Invertire l'ordine porta a dimensioni incompatibili o risultati errati.
• Confusione tra punti singolari e globalità: $\det(J_F) \neq 0$ garantisce solo l'invertibilità locale. Ad esempio, in coordinate polari, l'origine ($\rho=0$) non è invertibile e la mappa non è iniettiva globalmente (per via della periodicità di $\theta$).
• Dimensione delle matrici: Sbagliare il numero di righe e colonne. Se $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, la matrice deve essere sempre $m \times n$.