Superfici, flusso e teoremi della divergenza e di Stokes

Prerequisiti: Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →, Integrali tripli e coordinate cilindriche e sfericheL'integrale triplo ∭R f dV si calcola per fili (prima in z tra due superfici z = φ1(x, y) e z = φ2(x, y), poi un integrale doppio sull'ombra D del solido) o per strati (prima un integrale doppio sulla sezione Rz, poi in z). Volume = ∭R 1 dV. Coordinate cilindriche: dV = r dr dθ dz (simmetria attorno all'asse z); sferiche x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ (sfere, coni con vertice nell'origine).Integrali tripli e coordinate cilindriche e sferiche →, Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie →, Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →, Divergenza, rotore e flusso nel pianoPer un campo $\mathbf F=(M,N)$ la divergenza è $\operatorname{div}\mathbf F=M_x+N_y$ (quanto il campo "esce" da un punto) e il rotore scalare è $N_x-M_y$ (quanto "ruota"). Il flusso uscente da una curva chiusa è $\oint M,dy-N,dx$ e il teorema di Green ne dà la forma normale: $\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F,dx,dy$. Insieme alla forma tangenziale $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(N_x-M_y)$ danno le due versioni del teorema nel piano.Divergenza, rotore e flusso nel piano →.

Questo argomento non è nel programma 2026-27 di Analisi 2 per Telecomunicazioni (l'elenco ufficiale arriva fino al teorema di Gauss-Green nel piano), ma compare nei temi d'esame di altri corsi di Analisi 2 di UniPD: area e integrale su una superficie, flusso, teorema della divergenza, teorema di Stokes. Serve per fare gli esercizi dei temi vecchi, ed è il passaggio dal piano allo spazio di Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano → e Divergenza, rotore e flusso nel pianoPer un campo $\mathbf F=(M,N)$ la divergenza è $\operatorname{div}\mathbf F=M_x+N_y$ (quanto il campo "esce" da un punto) e il rotore scalare è $N_x-M_y$ (quanto "ruota"). Il flusso uscente da una curva chiusa è $\oint M,dy-N,dx$ e il teorema di Green ne dà la forma normale: $\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F,dx,dy$. Insieme alla forma tangenziale $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(N_x-M_y)$ danno le due versioni del teorema nel piano.Divergenza, rotore e flusso nel piano →.

Superfici parametriche

Una superficie parametrica è una funzione $\mathbf r:D\to\mathbb R^3$, $\mathbf r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, definita su un dominio $D\subseteq\mathbb R^2$ (come una curva ha un solo parametro, una superficie ne ha due). Fissando $v$ e variando $u$ si ottiene una curva sulla superficie, con vettore tangente $\mathbf r_u=\partial\mathbf r/\partial u$; lo stesso per $\mathbf r_v$. Se i due vettori non sono paralleli, individuano il piano tangente, e il loro prodotto vettoriale

Formula (vettore normale a una superficie parametrica). $$\mathbf N=\mathbf r_u\times\mathbf r_v$$

Esempio. Il piano $\mathbf r(u,v) = (u, v, 0)$ ha $\mathbf r_u = (1,0,0)$, $\mathbf r_v = (0,1,0)$ e $\mathbf N = \mathbf r_u \times \mathbf r_v = (0,0,1)$.

è un vettore normale alla superficie. La superficie si dice regolare se $\mathbf N\ne\mathbf 0$ (salvo al più su punti isolati o sul bordo di $D$).

Esempi.

• Grafico $z=g(x,y)$: si usano $x,y$ come parametri, $\mathbf r=(x,y,g(x,y))$. Allora $\mathbf r_x=(1,0,g_x)$, $\mathbf r_y=(0,1,g_y)$ e $$\mathbf N=\mathbf r_x\times\mathbf r_y=(-g_x,\,-g_y,\,1),$$ che punta verso l'alto (terza componente positiva).
• Sfera di raggio $R$: $\mathbf r(\varphi,\theta)=(R\sin\varphi\cos\theta,\,R\sin\varphi\sin\theta,\,R\cos\varphi)$, con $\varphi\in[0,\pi]$, $\theta\in[0,2\pi]$. Si trova $\mathbf N=\mathbf r_\varphi\times\mathbf r_\theta=R^2\sin\varphi\,(\sin\varphi\cos\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\varphi)$, cioè $R^2\sin\varphi$ per il versore radiale uscente; quindi $|\mathbf N|=R^2\sin\varphi$.
• Cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$: è un grafico con $g_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $g_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, quindi $g_x^2+g_y^2=1$ e $|\mathbf N|=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}=\sqrt2$ (costante, perché il cono ha sempre la stessa inclinazione di $45°$).
• Superficie di rotazione: si ottiene ruotando di $2\pi$ attorno all'asse $z$ una curva $\gamma(t)=(x(t),z(t))$ del semipiano $x\ge0$: $\mathbf r(t,\theta)=(x(t)\cos\theta,\ x(t)\sin\theta,\ z(t))$. Da $\mathbf r_t=(x'\cos\theta,x'\sin\theta,z')$ e $\mathbf r_\theta=(-x\sin\theta,x\cos\theta,0)$ risulta $|\mathbf N|=x(t)\sqrt{x'(t)^2+z'(t)^2}=x(t)\,|\gamma'(t)|$.

Area e integrale superficiale

Un rettangolino $du\,dv$ del dominio $D$ viene trasformato in un parallelogramma sulla superficie con lati $\mathbf r_u\,du$ e $\mathbf r_v\,dv$, la cui area è $|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv$. Quindi l'elemento di area è $d\sigma=|\mathbf N|\,du\,dv$ e

Formula (area e integrale superficiale). $$\text{Area}(S)=\iint_D|\mathbf N|\,du\,dv,\qquad\iint_S f\,d\sigma=\iint_Df(\mathbf r(u,v))\,|\mathbf N|\,du\,dv.$$

Per un grafico $z=g(x,y)$ su $D$: $$\text{Area}=\iint_D\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy.$$ (È l'analogo di $L=\int\|\gamma'\|\,dt$ per le curve; con $f=1$ l'integrale superficiale è l'area, come per $\int_\gamma f\,ds$ è la lunghezza.)

Esempio 1: area di un paraboloide. La parte di $z=x^2+y^2$ sotto il piano $z=9$ è il grafico sul disco $x^2+y^2\le9$. Qui $g_x=2x$, $g_y=2y$ e, in polari ($dx\,dy=r\,dr\,d\theta$), $$\text{Area}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3\sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta=2\pi\left[\frac{(1+4r^2)^{3/2}}{12}\right]_0^3=\frac{\pi}{6}\left(37\sqrt{37}-1\right).$$ (La primitiva di $r\sqrt{1+4r^2}$ è $\frac1{12}(1+4r^2)^{3/2}$: la derivata di $(1+4r^2)^{3/2}$ è $\frac32(1+4r^2)^{1/2}\cdot8r=12r\sqrt{1+4r^2}$.)

Esempio 2: integrale su un cono. $\iint_Sx^2\,d\sigma$ con $S$ il cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$, $0\le z\le1$. La superficie è il grafico sul disco $x^2+y^2\le1$ e $d\sigma=\sqrt2\,dx\,dy$: $$\iint_Sx^2\,d\sigma=\sqrt2\iint_{x^2+y^2\le1}x^2\,dx\,dy=\sqrt2\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1r^2\cos^2\theta\;r\,dr\,d\theta=\sqrt2\cdot\frac14\cdot\pi=\frac{\sqrt2\,\pi}{4}.$$ (Si è usato $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi$.)

Superfici di rotazione e teorema di Guldino

Dal $|\mathbf N|=x|\gamma'|$ delle superfici di rotazione segue la formula $$\text{Area}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_a^bx(t)\,|\gamma'(t)|\,dt\,d\theta=2\pi\int_a^bx(t)\,|\gamma'(t)|\,dt=2\pi\,\bar x\,L,$$ dove $L$ è la lunghezza di $\gamma$ e $\bar x=\frac1L\int_\gamma x\,ds$ è la coordinata $x$ del baricentro della curva: l'area è la lunghezza della curva per la lunghezza $2\pi\bar x$ del cammino percorso dal suo baricentro (teorema di Guldino, o di Pappo).

Esempio. Un arco di cicloide $\gamma(t)=(3t-3\sin t,\ 3-3\cos t)$, $t\in[0,2\pi]$, nel semipiano $x\ge0$ del piano $(x,z)$, ruotato attorno all'asse $z$. La velocità è $\gamma'=3(1-\cos t,\sin t)$ e $|\gamma'|=3\sqrt{2-2\cos t}=6\sin\frac t2$ (come per l'arco di cicloide in Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie →). Quindi $L=\int_0^{2\pi}6\sin\frac t2\,dt=24$. Il baricentro: la curva è simmetrica rispetto alla retta $x=3\pi$ (perché $x(2\pi-t)=6\pi-x(t)$ e $|\gamma'|$ vale lo stesso in $t$ e in $2\pi-t$), quindi $\bar x=3\pi$ senza fare integrali. L'area della superficie è $2\pi\cdot3\pi\cdot24=144\pi^2$.

Flusso attraverso una superficie orientata

Una superficie ha due orientazioni, cioè due scelte del versore normale $\mathbf n$ (uno per ogni punto, continuo). Su una superficie parametrica $\mathbf N/|\mathbf N|$ è una scelta; l'altra è la sua opposta. Per una superficie che racchiude un solido si sceglie di solito la normale uscente.

Definizione. Il flusso del campo $\mathbf F$ attraverso la superficie orientata $S$ è $$\Phi=\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\iint_D\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$$ (con il segno $+$ se $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ ha lo stesso verso di $\mathbf n$, altrimenti con il segno $-$: $\mathbf n\,d\sigma=\pm\mathbf N\,du\,dv$).

Il flusso misura la quantità di fluido che attraversa $S$ nell'unità di tempo se $\mathbf F$ è il campo di velocità: la componente $\mathbf F\cdot\mathbf n$ è quella che passa attraverso la superficie.

Grafico $z=g(x,y)$ orientato verso l'alto. Con $\mathbf N=(-g_x,-g_y,1)$: $$\Phi=\iint_D\bigl(-F_1\,g_x-F_2\,g_y+F_3\bigr)\,dx\,dy,\qquad F_i\text{ calcolati in }(x,y,g(x,y)).$$

Esempio 3: flusso attraverso un paraboloide. $\mathbf F=(x,y,2(1-z))$ attraverso $z=1-x^2-y^2$, $x^2+y^2\le1$, orientata verso l'alto. Qui $g_x=-2x$, $g_y=-2y$, quindi $\mathbf N=(2x,2y,1)$ e, sulla superficie, $1-z=x^2+y^2=r^2$: $$\mathbf F\cdot\mathbf N=2x^2+2y^2+2r^2=4r^2,\qquad\Phi=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^14r^2\;r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot1=2\pi.$$

Esempio 4: flusso del campo radiale attraverso la sfera. $\mathbf F=(x,y,z)$ attraverso l'emisfero $x^2+y^2+z^2=R^2$, $z\ge0$, con la normale uscente. Su una sfera $\mathbf n=\mathbf F/R$, quindi $\mathbf F\cdot\mathbf n=\frac{|\mathbf F|^2}{R}=R$ è costante e $\Phi=R\cdot\text{Area}=R\cdot2\pi R^2=2\pi R^3$.

Teorema della divergenza (di Gauss)

Per un solido $\Omega\subset\mathbb R^3$ con frontiera regolare a tratti $\partial\Omega$, orientata con la normale uscente, e un campo $\mathbf F$ di classe $C^1$ su $\Omega$ chiuso:

Teorema (della divergenza, di Gauss). $$\iint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf F\,dV,\qquad\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.$$

È la versione nello spazio del teorema della divergenza nel piano (Divergenza, rotore e flusso nel pianoPer un campo $\mathbf F=(M,N)$ la divergenza è $\operatorname{div}\mathbf F=M_x+N_y$ (quanto il campo "esce" da un punto) e il rotore scalare è $N_x-M_y$ (quanto "ruota"). Il flusso uscente da una curva chiusa è $\oint M,dy-N,dx$ e il teorema di Green ne dà la forma normale: $\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F,dx,dy$. Insieme alla forma tangenziale $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(N_x-M_y)$ danno le due versioni del teorema nel piano.Divergenza, rotore e flusso nel piano →): il flusso totale uscente è la somma delle sorgenti (divergenza) all'interno.

Esempio 5. $\mathbf F=(x,y,z)$ ha $\operatorname{div}\mathbf F=3$. Il flusso uscente dalla sfera di raggio $R$ è $3\cdot\frac43\pi R^3=4\pi R^3$; confrontato con l'esempio 4: $\Phi_{\text{emisfero}}=2\pi R^3$, il doppio per la sfera intera, come deve essere.

Calcolare il flusso di una sola parte del bordo. Se la frontiera di $\Omega$ è formata da più pezzi (per esempio una calotta e una base) e il flusso su uno dei pezzi è facile (la base è piana) mentre sull'altro è difficile, si calcola $$\Phi_{\text{calotta}}=\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf F\,dV-\Phi_{\text{base}}.$$ Sulla base la normale uscente è quella che punta fuori dal solido (per una base appoggiata sul piano $z=0$ sotto il solido è $-\mathbf k$): attenzione al segno. Un esempio completo è in Esercizio - flusso attraverso una calotta con il teorema della divergenza (tema d'esame febbraio 2012).

Teorema di Stokes

Sia $S$ una superficie orientata con bordo $\partial S$ (una curva chiusa). L'orientazione di $\partial S$ è quella compatibile con la normale (regola della mano destra: camminando lungo il bordo con la testa nel verso di $\mathbf n$, la superficie resta a sinistra). Per un campo $\mathbf F$ di classe $C^1$:

Teorema (di Stokes). $$\iint_S\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r,\qquad\operatorname{rot}\mathbf F=(\partial_yF_3-\partial_zF_2,\ \partial_zF_1-\partial_xF_3,\ \partial_xF_2-\partial_yF_1).$$

Se $S$ sta nel piano $xy$ con $\mathbf n=\mathbf k$ si ritrova il teorema di Green (Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano →): la terza componente del rotore è $\partial_xF_2-\partial_yF_1$. Conseguenze utili:

• Il flusso di $\operatorname{rot}\mathbf F$ dipende solo dal bordo: due superfici con lo stesso bordo orientato danno lo stesso flusso. Questo permette di sostituire una superficie complicata con una più semplice, per esempio un disco piano, o direttamente di calcolare la circuitazione.
• Per ogni campo $C^2$ vale $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf F)=0$, quindi il flusso di $\operatorname{rot}\mathbf F$ attraverso una superficie chiusa è zero (teorema della divergenza). Con Stokes: una superficie chiusa non ha bordo, e la circuitazione sul bordo è "vuota".
• Se $\mathbf F$ è conservativo ($\mathbf F=\nabla f$), $\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf0$ e la circuitazione su ogni curva chiusa è nulla (Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →).

Esempio 6. $\mathbf F=(-y,x,0)$ ha $\operatorname{rot}\mathbf F=(0,0,2)$. Sia $S$ l'emisfero $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ con normale verso l'alto. Il bordo è la circonferenza unitaria nel piano $z=0$, percorsa in senso antiorario visto dall'alto. Circuitazione: $\oint(-y\,dx+x\,dy)=\int_0^{2\pi}(\sin^2t+\cos^2t)\,dt=2\pi$. Dal lato del flusso, $\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=2\,n_z\,d\sigma$ e $n_z\,d\sigma=dx\,dy$ (la proiezione dell'elemento di area sul piano $xy$): $\iint_S2\,n_z\,d\sigma=2\cdot\text{Area}(\text{disco})=2\pi$ ✓. Lo stesso valore si trova con qualsiasi superficie che abbia quel bordo.

Un esercizio in cui la superficie è un grafico complicato, ma conta solo il suo bordo: Esercizio - teorema di Stokes e circuitazione sul bordo (tema d'esame luglio 2012).

Errori comuni

• Dimenticare $|\mathbf N|$ nell'integrale superficiale: in $\iint f\,d\sigma$ non basta integrare $f$ sul dominio dei parametri.
• Normale e orientazione: il flusso cambia segno invertendo $\mathbf n$. Nel teorema della divergenza la normale è sempre quella uscente; in Stokes l'orientazione del bordo segue la regola della mano destra.
• Usare $\mathbf N=(-g_x,-g_y,1)$ (verso l'alto) quando la superficie è orientata verso il basso: serve il segno meno davanti a tutto il flusso.
• Dimenticare una parte del bordo nel teorema della divergenza: la superficie deve essere chiusa; se manca la base, il flusso totale non è l'integrale della divergenza.
• Stokes con curva non chiusa: il bordo di una superficie è una curva chiusa (se $\partial S$ è formato da più curve, vanno sommate, con le orientazioni giuste).