Campi vettoriali e lavoro lungo una curva

Prerequisiti: Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie →.

Definizione di campo vettoriale

Un campo vettoriale $\mathbf{f}$ in un dominio $D \subseteq \mathbb{R}^n$ è una funzione che associa a ogni punto $\mathbf{P} = (x, y, z)$ del dominio un vettore $\mathbf{f}(x, y, z)$. Nel piano, si scrive solitamente come:

Definizione (campo vettoriale). $$\mathbf{f}(x, y) = M(x, y)\mathbf{i} + N(x, y)\mathbf{j} = (M(x, y), N(x, y))$$

Esempio. $\mathbf{f}(x,y) = (-y, x)$ è il campo di rotazione: in $(1,0)$ vale $(0,1)$ e in $(0,2)$ vale $(-2,0)$.

dove $M$ e $N$ sono le funzioni componenti del campo. Nello spazio le componenti sono tre, $(M, N, P)$. Esempi fisici: il campo delle velocità di un fluido, un campo di forze (gravità, forza elettrica). Si disegna mettendo in alcuni punti una freccia che rappresenta il vettore.

Esempi classici

• Campo costante: $\mathbf{f}(x, y) = (a, b)$. Ad ogni punto è associato lo stesso vettore costante, per esempio $(2, 1)$.
• Campo $x\,\mathbf{i}$: vettori orizzontali, nulli sull'asse $y$, verso destra per $x > 0$ e verso sinistra per $x < 0$, sempre più lunghi allontanandosi dall'asse.
• Campo radiale: $\mathbf{f}(x, y) = (x, y)$. I vettori hanno direzione radiale rispetto all'origine e modulo pari alla distanza dal centro.
• Campo rotazionale: $\mathbf{f}(x, y) = (-y, x)$. I vettori sono tangenti a circonferenze centrate nell'origine, descrivendo un moto rotatorio antiorario: $(-y, x) \cdot (x, y) = 0$, quindi il vettore è ortogonale al raggio, e ha lunghezza $\sqrt{x^2+y^2}$.

Integrale di linea di seconda specie

L'integrale di linea di un campo vettoriale $\mathbf{f}$ lungo una curva orientata $C$ descrive il lavoro compiuto dal campo lungo la traiettoria.

Definizione. Dato un campo vettoriale continuo $\mathbf{f}$ e una curva regolare $C$ parametrizzata da $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ con $t \in [a, b]$, l'integrale di linea è definito come: $$\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt$$ dove $\mathbf{r}'(t)$ è il vettore tangente alla curva.

Esempio. $\mathbf{f}(x,y) = (y, x)$ sulla curva $\mathbf{r}(t) = (t, t^2)$, $t \in [0,1]$: $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = (t^2, t) \cdot (1, 2t) = 3t^2$, quindi $\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 3t^2\,dt = 1$.

Perché è un lavoro. In fisica il lavoro di una forza costante lungo uno spostamento rettilineo $\Delta\mathbf{r}$ è il prodotto scalare $\mathbf{f}\cdot\Delta\mathbf{r}$. Lungo una curva si spezza il percorso in tratti piccoli $\Delta\mathbf{r} \approx \mathbf{r}'(t)\,\Delta t$, su ognuno dei quali la forza è quasi costante, e si sommano i contributi $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\Delta t$.

Questo integrale è spesso indicato con la notazione delle forme differenzialiespressioni del tipo M dx + N dy, da integrare lungo le curve: $$\int_C M \, dx + N \, dy$$ che corrisponde alla scrittura sintetica del prodotto scalare tra $\mathbf{f}$ e lo spostamento infinitesimo $d\mathbf{r} = (dx, dy)$. Per calcolarlo si sostituisce $x = x(t)$, $y = y(t)$, $dx = x'(t)\,dt$, $dy = y'(t)\,dt$.

Interpretazione geometrica

L'integrale di linea rappresenta l'integrale della componente tangenziale del campo lungo la curva: $$\int_C \mathbf{f} \cdot \mathbf{t} \, ds$$ dove $\mathbf{t} = \frac{\mathbf{r}'(t)}{||\mathbf{r}'(t)||}$ è il versore tangente alla curva e $ds = ||\mathbf{r}'(t)|| \, dt$ è l'elemento di linea (vedi Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie →). Se il campo è sempre ortogonale alla traiettoria, il lavoro è nullo.

Proprietà fondamentali

• Orientamento: L'integrale dipende dall'orientamento della curva. Se si inverte il verso di percorrenza, il segno dell'integrale cambia.
• Indipendenza dalla parametrizzazione: Il valore dell'integrale dipende solo dalla curva orientata, non dalla parametrizzazione, purché questa percorra la curva nello stesso verso (con un cambio di parametro $t = \varphi(s)$, $\varphi' > 0$, la sostituzione riporta allo stesso integrale; con $\varphi' < 0$ gli estremi si scambiano e cambia il segno). Si sceglie quindi la parametrizzazione più comoda.
• Additività: su una curva fatta di più pezzi (per esempio un poligono) si calcola l'integrale su ogni pezzo e si sommano i risultati.
• Differenza con la prima specie: nell'integrale di prima specie compare $\|\mathbf{r}'\|$, che non cambia invertendo il verso; qui compare $\mathbf{r}'$, che cambia segno.

Esempio numerico

Calcoliamo il lavoro del campo $\mathbf{f} = (-y, x)$ lungo la parabola $y = x^2$ per $x \in [0, 1]$.

1. Parametrizziamo: $\mathbf{r}(t) = (t, t^2)$, con $t \in [0, 1]$.
2. Derivata: $\mathbf{r}'(t) = (1, 2t)$.
3. Valutiamo il campo sulla curva: $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) = (-t^2, t)$.
4. Prodotto scalare: $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = (-t^2 \cdot 1) + (t \cdot 2t) = -t^2 + 2t^2 = t^2$.
5. Integrale: $\int_0^1 t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$.

Con la notazione delle forme: $\int_C -y\,dx + x\,dy$ con $x = t$, $y = t^2$, $dx = dt$, $dy = 2t\,dt$ dà $\int_0^1(-t^2 + 2t^2)\,dt$, lo stesso conto.

Due campi sulla circonferenza

Sulla circonferenza di raggio $a$ percorsa in senso antiorario, $\mathbf{r}(\theta) = (a\cos\theta, a\sin\theta)$, $\mathbf{r}'(\theta) = (-a\sin\theta, a\cos\theta)$:

• campo radiale $(x, y)$: $\mathbf{f}\cdot\mathbf{r}' = -a^2\cos\theta\sin\theta + a^2\sin\theta\cos\theta = 0$. Il lavoro è nullo: il campo è sempre ortogonale alla curva;
• campo rotazionale $(-y, x)$: $\mathbf{f}\cdot\mathbf{r}' = a^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta = a^2$, quindi il lavoro è $\int_0^{2\pi}a^2\,d\theta = 2\pi a^2$. Il campo è tangente e concorde al moto, con modulo costante $a$: il lavoro è modulo per lunghezza, $a \cdot 2\pi a$.

Altri esercizi: Esercizi - lavoro di un campo lungo una curva.

Quando il lavoro dipende solo dagli estremi

In generale il lavoro per andare da $A$ a $B$ dipende dal percorso. Per i campi che sono gradienti di una funzione, $\mathbf{f} = \nabla U$, invece vale $\int_C \mathbf{f}\cdot d\mathbf{r} = U(B) - U(A)$ per ogni curva da $A$ a $B$. Questi campi (conservativi) e il modo di riconoscerli sono in Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →.

Errori comuni

• Confusione tra integrali: Non confondere l'integrale di prima specie (che dipende dalla funzione scalare e dalla lunghezza) con quello di seconda specie (che dipende dal campo vettoriale e dalla direzione).
• Campi non conservativi: Non assumere che ogni integrale su una curva chiusa sia nullo. Ad esempio, il campo rotazionale $\mathbf{f} = (-y, x)$ ha circuitazione non nulla lungo una circonferenza centrata nell'origine: il lavoro è positivo perché il campo "aiuta" il movimento.
• Parametrizzazioni: Utilizzare parametrizzazioni eccessivamente complesse quando ne esistono di naturali (es. la parametrizzazione canonica per un grafico $y=g(x)$ è $(t, g(t))$).
• Verso sbagliato: se la curva va da $B$ ad $A$ e la si parametrizza da $A$ a $B$, il risultato ha il segno opposto. Su un segmento percorso "all'indietro" si può integrare con gli estremi scambiati (da $t = 1$ a $t = 0$).