Campi conservativi e funzione potenziale

Prerequisiti: Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →, Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabiliLe derivate seconde ∂²f/∂xj∂xi formano la matrice hessiana Hf; per il teorema di Schwarz (derivate miste continue) è simmetrica. Taylor al secondo ordine: f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ hᵀHf(x0)h + o(‖h‖²). Una matrice simmetrica è definita positiva/negativa, semidefinita o indefinita a seconda del segno della forma quadratica hᵀAh; si riconosce con gli autovalori o con i minori principali (in 2×2: determinante e primo elemento).Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili → (teorema di Schwarz).

Campo gradiente e potenziale

Un campo vettoriale $\mathbf{F}(x, y) = (M(x, y), N(x, y))$ si dice campo gradienteo campo potenziale se esiste una funzione scalare $f(x, y)$, detta potenzialefunzione il cui gradiente è il campo, tale che: $$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (M, N)$$ In altri termini, $M = \frac{\partial f}{\partial x}$ e $N = \frac{\partial f}{\partial y}$. Il potenziale, se esiste, è determinato a meno di una costante additiva (su un dominio connesso). Esempi: $(y, x) = \nabla(xy)$; il campo radiale $(x, y) = \nabla\left(\frac{x^2 + y^2}{2}\right)$; la gravità vicino al suolo $(0, 0, -mg) = \nabla(-mgz)$. In fisica si usa di solito l'energia potenziale $U = -f$, con $\mathbf{F} = -\nabla U$.

Teorema fondamentale per integrali curvilinei

Il calcolo del lavoro di un campo conservativo lungo una curva è indipendente dal percorso scelto e dipende unicamente dai punti di inizio e fine.

Teorema. Se $\mathbf{F} = \nabla f$ è un campo di classe $C^1$ in un dominio $D$, allora per ogni curva regolare $\gamma$ contenuta in $D$ con punto iniziale $P_0$ e finale $P_1$, vale: $$\int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(P_1) - f(P_0)$$

Esempio. $f(x,y) = x^2 y$ ha $\nabla f = (2xy, x^2)$: da $P_0 = (0,0)$ a $P_1 = (1,2)$ il lavoro vale $f(1,2) - f(0,0) = 2$, qualunque sia il cammino.

Dimostrazione: Parametrizzando $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ per $t \in [a, b]$, l'integrale diventa: $$\int_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial x} x'(t) + \frac{\partial f}{\partial y} y'(t) \right) dt = \int_a^b \frac{d}{dt} f(x(t), y(t)) dt = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a))$$ L'integrando è la derivata di $f$ lungo la curva (regola della catenaPer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte →), e si conclude con il teorema fondamentale del calcolo integrale in una variabile. Per una curva regolare a tratti si somma sui pezzi e i valori intermedi si cancellano.

Equivalenze della conservatività

Per un campo vettoriale continuo definito in un dominio aperto e connesso, le seguenti proprietà sono equivalenti:

1. $\mathbf{F}$ è un campo conservativo (gradiente).
2. L'integrale di $\mathbf{F}$ su ogni curva chiusa è zero (circuitazione nulla).
3. L'integrale di $\mathbf{F}$ tra due punti $A$ e $B$ è indipendente dal cammino.
4. La forma differenziale $\omega = M dx + N dy$ è esattacioè il differenziale df di una funzione f.

Perché. (1) ⇒ (3) è il teorema fondamentale. (3) ⇔ (2): una curva chiusa che passa per $A$ e $B$ si spezza in un cammino $\gamma_1$ da $A$ a $B$ e uno $\gamma_2$ da $B$ ad $A$; il lavoro totale è nullo se e solo se $\int_{\gamma_1} = -\int_{\gamma_2} = \int_{-\gamma_2}$, cioè se i due cammini da $A$ a $B$ danno lo stesso lavoro. (3) ⇒ (1): fissato $A$, si definisce $f(P)$ come il lavoro da $A$ a $P$ lungo una curva qualsiasi (il risultato non dipende dalla curva); si dimostra che $\nabla f = \mathbf{F}$.

Condizione necessaria e domini

Una condizione necessaria affinché un campo di classe $C^1$ sia conservativo è che sia irrotazionaleo a rotore nullo. Nel piano, ciò significa che: $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

Perché. Se $M = f_x$ e $N = f_y$, allora $M_y = f_{xy}$ e $N_x = f_{yx}$, che sono uguali per il teorema di Schwarz ($f$ è $C^2$ perché le sue derivate prime $M$, $N$ sono $C^1$).

Nello spazio, per $\mathbf{F} = (M, N, P)$, le condizioni sono tre: $M_y = N_x$, $M_z = P_x$, $N_z = P_y$, cioè il rotore $\nabla \times \mathbf{F} = (P_y - N_z,\ M_z - P_x,\ N_x - M_y)$ è nullo.

Il criterio serve soprattutto in negativo: $(-y, x)$ ha $M_y = -1$ e $N_x = 1$, quindi non è conservativo (come confermato dalla circuitazione $2\pi$ sulla circonferenza, vedi Esercizi - lavoro di un campo lungo una curva).

Teorema. Se $\mathbf{F}$ è di classe $C^1$ e irrotazionale in un dominio semplicemente connesso, allora $\mathbf{F}$ è conservativo.

Esempio. $\mathbf{F} = (2xy, x^2)$ è irrotazionale su $\mathbb{R}^2$ ($\partial_x (x^2) = 2x = \partial_y (2xy)$), che è semplicemente connesso: quindi è conservativo, con potenziale $x^2 y$.

Un aperto connesso del piano è semplicemente connesso se l'interno di ogni curva chiusa semplice contenuta in esso sta tutto nel dominio: in pratica, non ha buchi. Sono semplicemente connessi $\mathbb{R}^2$, un disco, un semipiano, un rettangolo, qualunque insieme convesso; non lo sono il piano senza un punto e la corona circolare.

Attenzione: Se il dominio non è semplicemente connesso, la condizione irrotazionale non garantisce la conservatività. L'esempio classico è il campo: $$\mathbf{F}(x, y) = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right)$$ Questo campo è irrotazionale ovunque nel suo dominio ($\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$), ma non è conservativo poiché la sua circuitazione lungo il cerchio unitario è $2\pi \neq 0$.

Verifica. Con la regola del quoziente: $$M_y = \frac{-(x^2+y^2) + y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad N_x = \frac{(x^2+y^2) - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$$ Sono uguali. Sulla circonferenza unitaria, $(\cos\theta, \sin\theta)$, il campo vale $(-\sin\theta, \cos\theta)$ e la velocità è $(-\sin\theta, \cos\theta)$: il prodotto scalare è $1$ e la circuitazione $\int_0^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi$. Il "buco" nell'origine è proprio dove il campo non è definito.

Su un dominio semplicemente connesso che evita l'origine, per esempio il semipiano $x > 0$, il campo è invece conservativo: un potenziale è $f(x, y) = \arctan\frac yx$, cioè l'angolo polare $\theta$. Sul piano bucato l'angolo non si può definire in modo continuo (facendo un giro aumenta di $2\pi$), e il lavoro lungo una curva che gira attorno all'origine misura proprio questo salto.

Calcolo del potenziale

Per determinare il potenziale $f(x, y)$ di un campo conservativo:

1. Si integra $M$ rispetto a $x$: $f(x, y) = \int M(x, y) dx + g(y)$, dove $g(y)$ è una costante di integrazione che dipende da $y$.
2. Si deriva il risultato rispetto a $y$ e si pone uguale a $N$: $\frac{\partial}{\partial y} \left( \int M dx + g(y) \right) = N(x, y)$.
3. Si risolve per $g'(y)$ e si integra per trovare $g(y)$.

Esempio: Sia $\mathbf{F} = (2xy, x^2 + 1)$.

1. $f(x, y) = \int 2xy \, dx = x^2y + g(y)$.
2. Derivando rispetto a $y$: $\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + g(y)) = x^2 + g'(y)$.
3. Uguagliando a $N$: $x^2 + g'(y) = x^2 + 1 \Rightarrow g'(y) = 1 \Rightarrow g(y) = y + c$. Il potenziale è $f(x, y) = x^2y + y + c$.

Prima di cercare il potenziale conviene controllare la condizione necessaria: $M_y = 2x = N_x$; il dominio è $\mathbb{R}^2$, semplicemente connesso, quindi il potenziale esiste. Se $g'(y)$ dipendesse anche da $x$, sarebbe il segno che il campo non è conservativo (o di un errore di calcolo).

Il potenziale semplifica il calcolo del lavoro: per andare da $(0, 0)$ a $(1, 2)$ lungo qualsiasi curva, il lavoro di $(2xy, x^2 + 1)$ è $f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 2 = 4$.

Esempio nello spazio. $\mathbf{F} = (y + z,\ x + z,\ x + y)$. Rotore: $M_y = 1 = N_x$, $M_z = 1 = P_x$, $N_z = 1 = P_y$: irrotazionale su $\mathbb{R}^3$. Integrando $M$ in $x$: $f = xy + xz + g(y, z)$; $f_y = x + g_y = x + z$ dà $g_y = z$, quindi $g = yz + h(z)$; $f_z = x + y + h'(z) = x + y$ dà $h' = 0$. Potenziale $f = xy + xz + yz$.

Forme differenziali: i quattro tipi di richiesta più frequenti

Una forma differenziale $\omega=M\,dx+N\,dy$ (o $M\,dx+N\,dy+P\,dz$) è lo stesso oggetto di un campo $(M,N)$ (o $(M,N,P)$); "chiusa" significa rotore nullo, "esatta" significa che esiste $U$ con $dU=\omega$ (cioè il campo è conservativo, $U$ si chiama primitiva).

1. Parametri da determinare perché la forma sia chiusa. Si scrivono tutte le condizioni $M_y=N_x$ (e, nello spazio, $M_z=P_x$, $N_z=P_y$) e si impone che valgano per ogni $(x,y,z)$, uguagliando i coefficienti. Una condizione può essere sempre vera, un'altra può fissare un parametro. Esempio: $\omega=x(ay+bz)\,dx+(x^2+2yz)\,dy+(y^2-z^2)\,dz$ è chiusa se e solo se $a=2$, $b=0$ (Esercizio - forma differenziale chiusa con parametri e primitiva nello spazio (tema d'esame novembre 2012)).
2. Una funzione incognita. Se la forma contiene una funzione $g(y)$ da scegliere, la condizione $M_y=N_x$ diventa un'equazione per $g$: $\frac{4}{4+(x+y^2)^2}dx+\frac{g(y)}{4+(x+y^2)^2}dy$ è chiusa solo per $g(y)=8y$, e allora $U=2\arctan\frac{x+y^2}{2}$ (Esercizio - forma esatta con funzione incognita (tema d'esame settembre 2013)).
3. Circuitazione di una forma non chiusa su una curva chiusa. Per una curva $\gamma$ chiusa semplice antioraria che racchiude $E$, il teorema di GreenSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano → dà $\oint_\gamma M\,dx+N\,dy=\iint_E(N_x-M_y)\,dx\,dy$. Se $N_x-M_y$ è costante, basta moltiplicare per l'area: sull'ellisse $x^2+\frac{y^2}{4}=1$ (area $2\pi$) la forma $-(xy+ay)\,dx+\left(ax-\frac{x^2}2+y^5\right)dy$ ha $N_x-M_y=2a$ e circuitazione $4\pi a$ (Esercizio - forma differenziale su un'ellisse, chiusura e potenziale (tema d'esame novembre 2011)). Se la forma è esatta la circuitazione è $0$, senza calcoli.
4. Primitiva e integrale tra due punti. Una volta trovata $U$, l'integrale su una qualunque curva da $A$ a $B$ è $U(B)-U(A)$: conta il punto finale e quello iniziale, non il parametro (per $\gamma(t)=(t^5,t)$, $t\in[0,1]$, i punti sono $(0,0)$ e $(1,1)$). Una curva scritta in forma polare, come $\rho=e^{-\theta}$, non è chiusa: l'estremo finale è $\left(e^{-2\pi},0\right)$, non $(1,0)$.

Dominio con un buco: forme chiuse ma non esatte. Su $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ (non semplicemente connesso) una forma chiusa è esatta se e solo se l'integrale su una curva chiusa che gira una volta attorno al buco (il suo "periodo") è zero. Due esempi con la stessa circonferenza $x=\cos t$, $y=\sin t$: $\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$ è chiusa con periodo $\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi\ne0$, quindi non esatta; $\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}$ è chiusa (si verifica $M_y=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}=N_x$) con periodo $\int_0^{2\pi}\frac{-\cos t\sin t+\sin t\cos t}{1}dt=0$, quindi esatta, con primitiva $\frac12\log(x^2+y^2)$.

Errori comuni

• Imporre la chiusura in un solo punto o per una sola coppia di derivate: nello spazio servono tutte e tre le condizioni, valide per ogni punto.
• Scambiare i ruoli: Ricordare che in matematica il potenziale $f$ è spesso definito tale che $\mathbf{F} = \nabla f$ (in fisica si usa spesso il segno meno).
• Dominio: Verificare sempre che il dominio sia semplicemente connesso prima di concludere che un campo irrotazionale sia conservativo.
• Circuitazione: La circuitazione nulla su una curva non basta; deve essere nulla su ogni curva chiusa.
• Dimenticare la "costante" $g(y)$: integrando $M$ rispetto a $x$, la costante d'integrazione può dipendere da $y$.