Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari

Prerequisiti: Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →, Matrice jacobiana e derivata delle funzioni compostePer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →.

Il calcolo di un integrale doppioL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini → su domini complessi o con integrande articolate spesso richiede una trasformazione del sistema di coordinate per semplificare la regione di integrazione o la funzione stessa.

Teorema del cambiamento di variabili

Sia data una trasformazione $\Phi$ che mette in corrispondenza un dominio $D_{uv}$ nel piano $(u, v)$ con un dominio $D_{xy}$ nel piano $(x, y)$, definita da $x = \phi(u, v)$ e $y = \psi(u, v)$.

Teorema. Se la funzione $\Phi: D_{uv} \to D_{xy}$ è di classe $\mathcal{C}^1$, biunivoca e con matrice jacobianaPer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte → $J$ invertibile (le tre condizioni possono mancare su un insieme di area nulla, per esempio un segmento del bordo) e $f$ è continua, allora l'integrale di una funzione $f(x, y)$ su $D_{xy}$ si calcola come: $$\iint_{D_{xy}} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D_{uv}} f(\phi(u, v), \psi(u, v)) \cdot |\det J(u, v)| \, du \, dv$$ dove la matrice jacobiana è definita come $J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$.

Esempio. Con $x = u + v$, $y = u - v$ si ha $\det J = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2$, quindi $dx\,dy = 2\,du\,dv$: il quadrato $[0,1]^2$ del piano $uv$ ha come immagine una regione di area $2$.

Il fattore $|\det J|$ rappresenta il fattore di scala locale: la trasformazione deforma l'area infinitesima $du\,dv$ in $dx\,dy$. È l'analogo del $\varphi'(t)\,dt$ della sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione → in una variabile; il valore assoluto c'è perché le aree sono positive, mentre in una variabile l'eventuale segno negativo è compensato dallo scambio degli estremi.

Perché il determinante. Una trasformazione lineare $(x, y) = A(u, v)$ manda il quadrato unitario nel parallelogramma generato dalle colonne di $A$, che ha area $|\det A|$; quindi moltiplica tutte le aree per $|\det A|$. Una trasformazione non lineare, vicino a un punto, si comporta come la sua parte lineare $J(u, v)$ (è differenziabile), quindi un rettangolino di area $du\,dv$ diventa approssimativamente un parallelogramma di area $|\det J(u,v)|\,du\,dv$. Il fattore ora varia da punto a punto.

Trasformazioni lineari

Esempio (parallelogramma). $u = 3x - 2y$, $v = x + y$. La matrice $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ha determinante $3 + 2 = 5$: il quadrato unitario del piano $(x,y)$ diventa un parallelogramma di area $5$ nel piano $(u, v)$, cioè $du\,dv = 5\,dx\,dy$. Nella direzione opposta, $dx\,dy = \frac15\,du\,dv$: le jacobiane delle due trasformazioni, una inversa dell'altra, hanno determinanti reciproci.

Esempio (area dell'ellisse). $E = \left\{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1\right\}$. Con $x = au$, $y = bv$ l'ellisse diventa il disco unitario $u^2 + v^2 \leq 1$, e $\det J = \det\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix} = ab$. Quindi $$\text{Area}(E) = \iint_{u^2+v^2\le 1} ab\,du\,dv = ab \cdot \pi$$ (per $a = b = R$ si ritrova $\pi R^2$).

Una trasformazione non lineare

$\iint_{[0,1]^2} x^2y\,dx\,dy$ con $u = x$, $v = xy$ (si vuole solo mostrare il metodo: il risultato diretto è $\frac13\cdot\frac12 = \frac16$).

1. Jacobiano della trasformazione $(x,y) \mapsto (u,v)$: $\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x\end{pmatrix} = x$, quindi $du\,dv = x\,dx\,dy$ e $dx\,dy = \frac{1}{x}\,du\,dv = \frac{1}{u}\,du\,dv$.
2. Integranda: $x^2y = x \cdot xy = uv$; moltiplicata per $\frac1u$ dà $v$.
3. Dominio: i lati del quadrato diventano $x = 1 \to u = 1$; $y = 0 \to v = 0$; $y = 1 \to v = u$; il lato $x = 0$ va tutto nell'origine. Il quadrato diventa il triangolo $\{0 \le v \le u \le 1\}$.
4. Calcolo: $\displaystyle\int_0^1\int_v^1 v\,du\,dv = \int_0^1 v(1 - v)\,dv = \frac12 - \frac13 = \frac16$ ✓.

Coordinate polari

Per domini circolari, ellittici o con simmetria radiale, le coordinate polari $(r, \theta)$ sono la scelta più efficiente.

Definizione. La trasformazione in coordinate polari è definita da: $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$$ con $r \ge 0$ e $\theta \in [0, 2\pi]$. Qui $r = \sqrt{x^2+y^2}$ è la distanza dall'origine e $\theta$ l'angolo con il semiasse $x$ positivo, in senso antiorario.

Esempio. Area del disco di raggio $R$: $\iint_D dx\,dy = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2$.

Il determinante dello Jacobiano di questa trasformazione è: $$\det J = \det \begin{pmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{pmatrix} = r(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r$$ Dato che $r \ge 0$, abbiamo $| \det J | = r$. Pertanto, l'elemento di area diventa $dA = r \, dr \, d\theta$.

Geometricamente: il rettangolino $[r, r + dr] \times [\theta, \theta + d\theta]$ diventa un pezzetto di corona circolare con lati $dr$ (radiale) e $r\,d\theta$ (arco di circonferenza di raggio $r$). Più ci si allontana dall'origine, più l'arco è lungo: ecco il fattore $r$. La trasformazione non è iniettiva su $r = 0$ (tutto va nell'origine) e su $\theta = 0$, $\theta = 2\pi$, ma sono insiemi di area nulla.

Quali domini diventano rettangoli:

• disco di centro l'origine e raggio $R$: $0 \le r \le R$, $0 \le \theta \le 2\pi$;
• corona $R_1^2 \le x^2 + y^2 \le R_2^2$: $R_1 \le r \le R_2$;
• settore tra due semirette: $\theta_1 \le \theta \le \theta_2$. Per esempio $\{x^2 + y^2 \le 1,\ 0 \le y \le x\}$ è il settore $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ (la retta $y = x$ forma l'angolo $\frac\pi4$).

Un disco non centrato nell'origine non diventa un rettangolo: il disco di centro $(a, 0)$ e raggio $a$, cioè $x^2 + y^2 \le 2ax$, in polari è $r^2 \le 2ar\cos\theta$, cioè $0 \le r \le 2a\cos\theta$ con $-\frac\pi2 \le \theta \le \frac\pi2$.

Esempio: Area di un cerchio

Per calcolare l'area di un cerchio di raggio $R$, integriamo $1$ sul dominio $D = \{ (r, \theta) : 0 \le r \le R, 0 \le \theta \le 2\pi \}$: $$\text{Area} = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \, dr \, d\theta = \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right) \left( \int_0^R r \, dr \right) = 2\pi \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R = \pi R^2$$

Esempio: un integrale su un quarto di disco

$\iint_D (1 - x^2 - y^2)\,dx\,dy$ con $D$ il quarto di disco unitario nel primo quadrante. In polari l'integranda diventa $1 - r^2$ e il dominio $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le \frac\pi2$: $$\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^1 (1 - r^2)\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi}{2}\left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac\pi2\cdot\frac14 = \frac{\pi}{8}$$ È il volume sotto il paraboloide $z = 1 - x^2 - y^2$ nel primo quadrante. In cartesiane sarebbe stato molto più faticoso (estremi $0 \le y \le \sqrt{1 - x^2}$).

Altri esercizi svolti: Esercizi - integrali doppi in coordinate polari.

Applicazioni fisiche

• Massa di una lamina: Data una densità superficiale $\delta(x, y)$, la massa totale è $M = \iint_R \delta(x, y) \, dA$.
• Centro di massa: Le coordinate $(x_{cm}, y_{cm})$ sono date da $x_{cm} = \frac{1}{M} \iint_R x \delta(x, y) \, dA$ e $y_{cm} = \frac{1}{M} \iint_R y \delta(x, y) \, dA$.
• Valor medio di $f$ su $R$: $\bar f = \frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_R f\,dA$; il baricentro geometrico (densità costante) è il valor medio delle coordinate.
• Momento d'inerzia: Il momento rispetto all'origine (asse perpendicolare al piano) è $I_0 = \iint_R (x^2 + y^2) \delta(x, y) \, dA$. In coordinate polari, questo diventa $\iint_R r^2 \delta(r, \theta) r \, dr \, d\theta$. Rispetto all'asse $x$ conta la distanza da quell'asse: $I_x = \iint_R y^2\delta\,dA$.

Esempio. Disco di raggio $a$ con densità $\delta = 1$, rispetto al centro: $$I_0 = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{a^4}{4} = \frac{\pi a^4}{2}$$

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $r$: È l'errore più frequente. In coordinate polari $dA$ non è mai $dr\,d\theta$, ma sempre $r\,dr\,d\theta$.
• Jacobiano non in valore assoluto: Sebbene per le polari $r$ sia positivo, per trasformazioni generiche il determinante può essere negativo; va sempre preso il valore assoluto.
• Limiti di integrazione: Scambiare erroneamente $r$ con una costante se il dominio non è un cerchio centrato nell'origine. Se il dominio è un cerchio traslato, il raggio $r$ diventa una funzione di $\theta$.
• Centro di massa: Cercare di calcolare le coordinate del centro di massa mediando direttamente $r$ e $\theta$. Il centro di massa deve essere sempre calcolato tramite le medie pesate di $x$ e $y$ in coordinate cartesiane.