Funzioni elementari complesse

Prerequisiti: Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →, Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →, Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-RiemannStudio delle funzioni complesse come trasformazioni da C in C, definizione di limite, derivata complessa e funzioni olomorfe. Enunciazione e dimostrazione delle condizioni di Cauchy-Riemann e loro legame con l'equazione di Laplace e le funzioni armoniche.Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann →.

Successioni e serie nel campo complesso

Per definire le funzioni elementari con le serie serve prima la convergenza di successioni e serie di numeri complessi.

Definizione. Una successione di numeri complessi $\{a_n\}_{n=1}^\infty$, con $a_n = x_n + i y_n$, converge a un numero complesso $L = x_0 + i y_0$ se la distanza euclidea nel piano complesso tende a zero. Formalmente, $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un intero $N$ tale che per ogni $n > N$ si ha: $$|a_n - L| < \epsilon$$ Geometricamente, l'intorno di $L$ è un disco aperto di raggio $\epsilon$ centrato in $L$ nel piano di Argand-Gauss.

Esempio. $a_n = \frac{1}{n} + i\left(1 - \frac{1}{n}\right) \to i$: la parte reale tende a $0$, quella immaginaria a $1$, e $|a_n - i| = \frac{\sqrt{2}}{n} \to 0$.

Da questa definizione discende che una successione complessa converge se e solo se convergono separatamente la sua parte reale e la sua parte immaginaria.

Definizione. Data una successione di numeri complessi $\{c_n\}_{n=1}^\infty$, la serie infinita $\sum_{n=1}^\infty c_n$ è definita come il limite della successione delle somme parziali $S_N = \sum_{n=1}^N c_n$ per $N \to \infty$. Se tale limite esiste ed è finito, la serie converge.

Esempio. La serie geometrica $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{i}{2}\right)^n$ converge, perché $\left|\frac{i}{2}\right| < 1$, e la somma è $\frac{1}{1 - i/2} = \frac{4 + 2i}{5}$.

Serie di potenze nel piano complesso

Un ruolo centrale nello studio delle funzioni complesse è ricoperto dalle serie di potenze, analoghe a quelle reali (stesso raggio di convergenza, stessi criteri).

Teorema. (Raggio e cerchio di convergenza) Per ogni serie di potenze nel campo complesso del tipo $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$, si presenta esattamente uno dei seguenti tre casi:

1. La serie converge solo per $z = 0$.
2. La serie converge per ogni $z \in \mathbb{C}$.
3. Esiste un numero reale $R > 0$, detto raggio di convergenza, tale che la serie converge assolutamente per ogni $z$ tale che $|z| < R$ (interno del cerchio di convergenza) e diverge per $|z| > R$.

All'interno di ogni disco chiuso $|z| \le r$ con $r < R$, la convergenza è uniforme.

Esempio. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n}$ ha $R = \lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = 2$: converge assolutamente per $|z| < 2$ e diverge per $|z| > 2$.

Il raggio di convergenza $R$ può essere calcolato tramite il criterio del rapporto o della radice estesi ai numeri complessi: $$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \quad \text{oppure} \quad \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$

L'esponenziale complesso e la formula di Eulero

Nel campo reale l'esponenziale $e^x$ (Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →) si definisce con la monotonia e le proprietà delle potenze. Nel campo complesso non ha senso elevare $e$ a un esponente immaginario in quel modo: si usa la serie di potenze, che ha senso ovunque.

Definizione. La funzione esponenziale complessa $e^z$ (o $\exp(z)$) è definita per ogni $z \in \mathbb{C}$ dalla serie di potenze: $$e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots$$ Questa serie ha raggio di convergenza $R = +\infty$, dunque l'esponenziale è una funzione intera (definita su tutto $\mathbb{C}$).

Esempio. In $z = i$ i primi termini della serie danno $1 + i + \frac{i^2}{2} + \frac{i^3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{5}{6}i$, già vicino a $e^{i} = \cos 1 + i \sin 1 \approx 0{,}54 + 0{,}84\,i$.

Analogamente, si definiscono le funzioni trigonometriche complesse tramite le rispettive serie di Taylor, che risultano convergenti su tutto $\mathbb{C}$: $$\sin z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \dots$$ $$\cos z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \dots$$

Sostituendo $z = iy$ (con $y$ reale) nella serie dell'esponenziale e separando i termini reali da quelli immaginari, si ottiene una delle relazioni fondamentali dell'analisi complessa.

Teorema. (Formula di Eulero) Per ogni $z \in \mathbb{C}$, vale la relazione: $$e^{iz} = \cos z + i \sin z$$ In particolare, ponendo $z = x$ reale, si ottiene $e^{ix} = \cos x + i \sin x$.

Esempio. $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$ e $e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$.

Perché vale. Nella serie di $e^{iz}$ le potenze di $i$ si ripetono con periodo 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\dots$ Quindi $$e^{iz}=1+iz-\frac{z^2}{2!}-i\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+i\frac{z^5}{5!}-\dots$$ I termini di grado pari (senza $i$) sono $1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots=\cos z$, quelli di grado dispari sono $i\left(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\dots\right)=i\sin z$. Spostare i termini è lecito perché la serie converge assolutamente.

Dalla formula di Eulero si ricavano facilmente le espressioni per seno e coseno in termini di esponenziali complessi: $$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$

Forma esponenziale dei numeri complessi

Un numero complesso $w$ in coordinate polari si scrive come $w = r(\cos \theta + i \sin \theta)$. Grazie alla formula di Eulero, questa espressione si compatta nella forma esponenziale: $$w = r e^{i\theta}$$ dove $r = |w|$ è il modulo e $\theta = \arg(w)$ è l'argomento. Ponendo $r = 1$ e $\theta = \pi$, si ottiene la celebre identità di Eulero: $$e^{i\pi} + 1 = 0$$

Proprietà dell'esponenziale complesso

• Prodotto: $e^{z+w}=e^z\,e^w$ per ogni $z,w\in\mathbb{C}$ (si dimostra moltiplicando le due serie, con la stessa regola del binomio usata nel caso reale).
• Parte reale e immaginaria: per $z=x+iy$, $$e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y),\qquad |e^{z}|=e^{x},\qquad \arg e^z=y .$$ Il modulo dipende solo da $x=\text{Re}\,z$ e l'argomento solo da $y=\text{Im}\,z$.
• Periodicità: $e^{z+2\pi i}=e^z\,e^{2\pi i}=e^z$. A differenza del caso reale, $e^z$ non è iniettiva su $\mathbb{C}$: ha periodo $2\pi i$ e non si annulla mai ($|e^z|=e^x>0$).
• Come mappa del piano: la retta verticale $x=\text{costante}$ viene mandata nella circonferenza di raggio $e^x$ centrata nell'origine ($U^2+V^2=e^{2x}$ se $w=U+iV$), la retta orizzontale $y=\text{costante}$ nella semiretta uscente dall'origine con angolo $y$ ($V/U=\tan y$). Una striscia orizzontale di altezza $2\pi$ viene mandata su tutto $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.
• Derivata: $e^z$ è olomorfa su tutto $\mathbb{C}$ e $(e^z)'=e^z$ (derivando la serie termine a termine). Con $u=e^x\cos y$ e $v=e^x\sin y$ le condizioni di Cauchy-Riemann si verificano subito: $u_x=e^x\cos y=v_y$ e $u_y=-e^x\sin y=-v_x$.

Funzioni iperboliche e circolari

Le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche sono strettamente connesse nel campo complesso tramite l'uso dell'unità immaginaria $i$.

Consideriamo ad esempio il coseno iperbolico valutato in $ix$: $$\cosh(ix) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$ Sfruttando la formula di Eulero $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ e ricordando che $\cos(-x) = \cos x$ e $\sin(-x) = -\sin x$: $$\cosh(ix) = \frac{(\cos x + i \sin x) + (\cos x - i \sin x)}{2} = \cos x$$ Analogamente, si dimostra che $\sinh(ix) = i \sin x$ e $\cos(ix) = \cosh x$.

Il logaritmo complesso polidromo

Il logaritmo è l'inverso della funzione esponenziale. Nel campo reale, l'equazione $e^x = y$ ha un'unica soluzione per $y > 0$. Nel campo complesso, la ricerca di $z$ tale che $e^z = w$ (con $w \neq 0$) porta a una funzione polidroma (multivalore).

Definizione. Dato un numero complesso $w \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$, scriviamolo in forma polare $w = r e^{i\theta}$, dove $r = |w|$ e $\theta = \arg(w) = \text{Arg}(w) + 2k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$ ($\text{Arg}(w)$ è l'argomento principale in $(-\pi, \pi]$). Il logaritmo complesso è definito come: $$\ln w = \ln |w| + i (\text{Arg}(w) + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Esempio. $\ln(-1) = \ln 1 + i(\pi + 2k\pi) = i\pi(2k+1)$, $k \in \mathbb{Z}$; il valore principale è $\operatorname{Ln}(-1) = i\pi$.

Poiché l'argomento $\theta$ può variare aggiungendo multipli interi di $2\pi$, il logaritmo complesso assume infiniti valori distinti per uno stesso argomento $w$. Se si fissa $k = 0$, si ottiene il ramo principale del logaritmo: $$\text{Ln } w = \ln |w| + i \text{ Arg}(w)$$

Esempi svolti

Esempio 1: Calcolo di $e^{1+i\frac{\pi}{2}}$

Scriviamo l'esponenziale sfruttando le proprietà delle potenze e la formula di Eulero: $$e^{1 + i\frac{\pi}{2}} = e^1 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} = e \left( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right)$$ Poiché $\cos(\pi/2) = 0$ e $\sin(\pi/2) = 1$, si ottiene: $$e^{1 + i\frac{\pi}{2}} = e(0 + i \cdot 1) = i e$$

Esempio 2: Determinazione del raggio di convergenza tramite singolarità complesse

Consideriamo la funzione reale $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$. La sua espansione in serie di potenze centrata nell'origineLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor → si ottiene sostituendo $-x^2$ nella serie geometrica: $$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$$ Questa serie di potenze converge per $|x| < 1$. Se ci si ferma al campo reale, la funzione non presenta problemi per $x = \pm 1$ (il denominatore non si annulla mai per valori reali).

Tuttavia, estendendo la funzione al campo complesso $f(z) = \frac{1}{1+z^2}$, si nota che il denominatore si annulla nei punti $z = i$ e $z = -i$. La distanza di questi punti dall'origine nel piano complesso è $| \pm i | = 1$. È proprio la presenza di queste singolarità nel piano complesso a determinare rigorosamente il raggio di convergenza $R = 1$ della serie di potenze.

Esempio 3: l'equazione $e^z=-1$ e i valori del logaritmo

Scrivendo $z=x+iy$ si ha $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$, che deve valere $-1=1\cdot(\cos\pi+i\sin\pi)$. Uguagliando i moduli: $e^x=1$, cioè $x=0$. Uguagliando gli argomenti (a meno di $2k\pi$): $y=\pi+2k\pi$. Le soluzioni sono quindi infinite: $$z=i(\pi+2k\pi)=(2k+1)\pi i,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ Sono esattamente i valori di $\ln(-1)$: modulo $1$, argomento $\pi+2k\pi$. Il ramo principale è $\text{Ln}(-1)=i\pi$ ($k=0$).

Esempio 4: logaritmo di $1+i$

Modulo $|1+i|=\sqrt2$, argomento principale $\pi/4$ (il punto sta sulla bisettrice del primo quadrante). Quindi $$\ln(1+i)=\ln\sqrt2+i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)=\frac12\ln2+i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}.$$ Controllo: $e^{\frac12\ln2}\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=1+i$.

Errori comuni

• Confondere la polidromia del logaritmo: Dimenticare che il logaritmo complesso ha infiniti rami dati dall'aggiunta di $2k\pi i$. Scrivere $\ln(e) = 1$ è corretto solo per il ramo principale, ma in generale $\ln(e) = 1 + 2k\pi i$.
• Errata valutazione del raggio di convergenza: Pensare che una serie di potenze reale con funzioni apparentemente regolari (come $1/(1+x^2)$) debba convergere ovunque solo perché non ci sono zeri reali al denominatore, ignorando le singolarità nel piano complesso.
• Applicare le proprietà dei logaritmi reali senza cautela: Identità come $\ln(z_1 z_2) = \ln z_1 + \ln z_2$ valgono nel campo complesso solo "a meno di multipli interi di $2\pi i$", a causa della natura polidroma della funzione.