FormularioAnalisi Matematica 2: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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I. Topologia e funzioni di più variabili

Topologia di Rn

Definizione (norma euclidea). La norma di un vettore $X \in \mathbb{R}^n$ è la sua lunghezza, cioè la distanza dall'origine: $\|X\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Esempio. $\|(1, 2, 2)\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ .

Definizione (distanza). La distanza tra due punti $X, Y \in \mathbb{R}^n$ è la norma del vettore differenza: $d(X, Y) = \|X - Y\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$

Esempio. $d\big((1, 2), (4, 6)\big) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Definizione (palla aperta, intorno). La palla aperta di centro $X_0$ e raggio $r > 0$ è l'insieme dei punti che distano da $X_0$ meno di $r$ : $B(X_0, r) = \{X \in \mathbb{R}^n : \|X - X_0\| < r\}$ Un intorno di $X_0$ è un insieme che contiene una palla aperta centrata in $X_0$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $B((1,0), 2)$ è il disco aperto di centro $(1,0)$ e raggio $2$ : contiene $(2,1)$ , perché $\|(1,1)\| = \sqrt{2} < 2$ , ma non $(3,0)$ , perché $\|(2,0)\| = 2$ .

Funzioni di più variabili e insiemi di livello

Definizione. Una funzione reale di $n$ variabili reali è una legge $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ che associa a ogni punto $X = (x_1, \dots, x_n) \in D$ un unico numero reale $f(X)$ .

Esempio. $f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ è una funzione di $n = 2$ variabili, definita sul disco $x^2 + y^2 \le 1$ , con $f(0,0) = 1$ .

Definizione. Il dominio naturale di $f$ è l'insieme dei punti $X \in \mathbb{R}^n$ in cui l'espressione di $f$ ha senso.

Esempio 1. $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ . Si impone $1 - x^2 - y^2 \geq 0$ , cioè $x^2 + y^2 \leq 1$ : è il disco chiuso di centro l'origine e raggio $1$ , circonferenza compresa (perché $\ge$ e non $>$ ).

Grafico interattivo: Dominio di √((1 − x²)(1 − y²)): il quadrato [−1, 1]² e le quattro regioni d'angolo |x| ≥ 1, |y| ≥ 1; le strisce con |x| < 1 e |y| > 1 (o viceversa) sono escluse

Definizione. Il grafico di $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è l'insieme $G_f = \{(X, f(X)) : X \in D\} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$

Esempio. Il grafico di $f(x,y) = x^2 + y^2$ è il paraboloide $z = x^2 + y^2$ in $\mathbb{R}^3$ ; contiene il punto $(1, 1, 2)$ .

Grafico interattivo: Sella z = x² − y²: restrizione all'asse x, z = x² (minimo in 0)

Definizione. L'insieme di livello $c$ di $f$ è $L_c = \{X \in D : f(X) = c\}$ Per $n = 2$ si chiama curva di livello: è la proiezione sul piano $xy$ dell'intersezione del grafico con il piano orizzontale $z = c$ . Per $n = 3$ è in genere una superficie.

Esempio. Per $f(x,y) = x^2 + y^2$ l'insieme di livello $L_c$ è la circonferenza di raggio $\sqrt{c}$ se $c > 0$ , il solo punto $(0,0)$ se $c = 0$ , l'insieme vuoto se $c < 0$ .

Grafico interattivo: Curve di livello del paraboloide f = x² + y²: circonferenze di raggio √c; i livelli c = 1, 4, 9 hanno raggio 1, 2, 3 e le curve si diradano allontanandosi dal centro

Limiti e continuità per funzioni di più variabili

Definizione (Limite). Si dice che $\lim_{X \to X_0} f(X) = L$ se per ogni successione $\{X_n\} \subseteq D \setminus \{X_0\}$ tale che $X_n \to X_0$ , si ha $f(X_n) \to L$ .

Equivalentemente, utilizzando la definizione $\epsilon-\delta$ : $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $\forall X \in D, 0 < \|X - X_0\| < \delta \implies |f(X) - L| < \epsilon$ .

Esempio. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ non esiste: lungo $y = 0$ vale $0$ , lungo $y = x$ vale $\frac{1}{2}$ .

Teorema (condizione necessaria). Se $\lim_{X \to X_0} f(X) = L$ , allora per ogni curva $\gamma(t)$ contenuta nel dominio, con $\gamma(t) \to X_0$ e $\gamma(t) \neq X_0$ , si ha $\lim_{t \to 0} f(\gamma(t)) = L$ .

Esempio di non esistenza (Limiti dipendenti dal percorso): Si studi $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ .

Lungo le rette $y = mx$ : $\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}$
Poiché il risultato dipende da $m$ (es. se $m=0$ il limite è $0$ , se $m=1$ il limite è $1/2$ ), il limite non esiste.

Grafico interattivo: Limite di xy/(x²+y²) lungo y = mx in funzione della pendenza m: m/(1+m²)

Definizione. Una funzione $f: D \to \mathbb{R}$ è continua in $X_0 \in D$ se: $\lim_{X \to X_0} f(X) = f(X_0)$ Se $X_0$ è un punto isolato, la funzione è sempre continua in $X_0$ .

Esempio. $f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ per $(x,y) \ne (0,0)$ e $f(0,0) = 0$ è continua in $(0,0)$ : $|f(x,y)| \le |y| \to 0$ .

II. Calcolo differenziale in più variabili

Derivate parziali e derivate direzionali

Definizione. Sia $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione e $x_0$ un punto interno a $D$ . La derivata parziale di $f$ rispetto alla variabile $x_i$ nel punto $x_0$ è il limite: $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h e_i) - f(x_0)}{h}$ dove $e_i$ è l' $i$ -esimo versore della base canonica.

Esempio. $f(x,y) = x^2 y$ : $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ e $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ ; nel punto $(1,1)$ valgono $2$ e $1$ .

Definizione. Se esistono tutte le derivate parziali di $f$ in $x_0$ , si dice che la funzione è derivabile in $x_0$ . Il vettore che le raccoglie è il gradiente, indicato con il simbolo $\nabla$ (si legge "nabla"): $\nabla f(x_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \right)$

Esempio. $f(x,y,z) = xyz$ ha $\nabla f = (yz, xz, xy)$ , quindi $\nabla f(1,2,3) = (6, 3, 2)$ .

Definizione. La derivata direzionale di $f$ in $x_0$ lungo il versore $v$ è il limite: $\frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + hv) - f(x_0)}{h}$

Esempio (con la definizione). $f(x, y) = x^2y$ in $(1, 1)$ lungo $v = \left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$ . Posto $t = \frac{h}{\sqrt2}$ , si ha $x_0 + hv = (1 + t, 1 + t)$ e $\frac{f(1+t, 1+t) - f(1,1)}{h} = \frac{(1+t)^3 - 1}{h} = \frac{3t + 3t^2 + t^3}{h} = \frac{1}{\sqrt2}\,(3 + 3t + t^2) \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{3}{\sqrt2}$

Teorema. Se $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora per ogni versore $v$ la derivata direzionale esiste ed è pari al prodotto scalare tra il gradiente e il versore: $\frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v$

Esempio. $f(x,y) = x^2 y$ in $(1,1)$ lungo $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ : $\nabla f(1,1) \cdot v = (2,1) \cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ .

Differenziabilità e gradiente

Teorema. Se $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora il vettore $a$ è univocamente determinato ed è pari al gradiente di $f$ in $x_0$ , ovvero $a = \nabla f(x_0)$ . Inoltre, $f$ è derivabile e continua in $x_0$ .

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ è differenziabile in $(1,2)$ con $a = \nabla f(1,2) = (2, 4)$ : $f(x,y) = 5 + 2(x-1) + 4(y-2) + o(\|(x,y) - (1,2)\|)$ .

Teorema del differenziale totale. Se $f$ ammette derivate parziali in un intorno di $x_0$ e queste sono continue in $x_0$ , allora $f$ è differenziabile in $x_0$ .

Esempio. $f(x,y) = x e^y$ ha derivate parziali $e^y$ e $x e^y$ , continue su tutto $\mathbb{R}^2$ : quindi $f$ è differenziabile in ogni punto.

Formula del gradiente. Se $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora per ogni versore $v$ esiste la derivata direzionale $D_v f(x_0)$ ed è data da: $D_v f(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v$

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ in $(1,2)$ con $v = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ : $D_v f = (2, 4) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = \frac{6 + 16}{5} = \frac{22}{5}$ .

Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte

Definizione. La funzione $F$ è differenziabile in $x_0 \in \Omega$ se ogni sua componente $f_i$ è differenziabile in $x_0$ . In tal caso, il differenziale di $F$ in $x_0$ è l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice jacobiana $J_F(x_0)$ .

Esempio. $F(x,y) = (x^2 y,\ x + y)$ ha $J_F = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ; in $(1,2)$ vale $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Teorema di invertibilità locale. Sia $F$ una trasformazione regolare. Se $\det(J_F(x_0)) \neq 0$ , allora esiste localmente una funzione inversa $F^{-1}$ tale che la sua matrice jacobiana è: $J_{F^{-1}}(y) = [J_F(x)]^{-1} \quad \text{con } y = F(x)$

Esempio. $F(x,y) = (x + y,\ x - y)$ ha $\det J_F = -2 \ne 0$ e $J_{F^{-1}} = J_F^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ .

Teorema delle funzioni implicite (Dini)

Teorema. Sia $F: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ in un aperto $A$ . Sia $(x_0, y_0) \in A$ tale che:

$F(x_0, y_0) = 0$

$F_y(x_0, y_0) \neq 0$

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ e una funzione unica $g: U \to \mathbb{R}$ di classe $C^1$ tali che $g(x_0) = y_0$ e $F(x, g(x)) = 0$ per ogni $x \in U$ .

Esempio. $F(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ in $(0,1)$ : $F = 0$ e $F_y = 2 \ne 0$ , quindi vicino a $x_0 = 0$ si ha $y = g(x) = \sqrt{1 - x^2}$ , con $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{x}{y}$ e $g'(0) = 0$ .

Formula (derivata della funzione implicita). $F_x(x, g(x)) + F_y(x, g(x)) \cdot g'(x) = 0 \implies g'(x) = -\frac{F_x(x, g(x))}{F_y(x, g(x))}$

Esempio. Sulla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ nel punto $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ : $g' = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{x}{y} = -1$ , la tangente ha pendenza $-1$ .

Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili

Teorema di Schwarz. Sia $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^2$ in un intorno di $x_0 \in D$ . Allora le derivate miste sono uguali in $x_0$ : $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(x_0)$

Esempio. $f(x, y) = \sin(x^2y) + 4x^3y^2$ .

$f_x = 2xy\cos(x^2y) + 12x^2y^2$ , $\quad f_y = x^2\cos(x^2y) + 8x^3y$ .
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}f_x = 2x\cos(x^2y) - 2xy\cdot x^2\sin(x^2y) + 24x^2y = 2x\cos(x^2y) - 2x^3y\sin(x^2y) + 24x^2y$ (prodotto $2xy \cdot \cos(x^2y)$ derivato in $y$ : la derivata di $\cos(x^2y)$ rispetto a $y$ è $-x^2\sin(x^2y)$ ).
$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}f_y = 2x\cos(x^2y) - x^2\cdot 2xy\sin(x^2y) + 24x^2y$ : uguale a $f_{xy}$ , come prevede Schwarz.
$f_{xx} = 2y\cos(x^2y) - 4x^2y^2\sin(x^2y) + 24xy^2$ , $\quad f_{yy} = -x^4\sin(x^2y) + 8x^3$ .

Definizione. Data $f \in C^2(D)$ , la matrice Hessiana $H_f(x_0)$ è la matrice quadrata $n \times n$ definita come: $H_f(x_0) = \begin{pmatrix} f_{x_1x_1} & \dots & f_{x_1x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_nx_1} & \dots & f_{x_nx_n} \end{pmatrix}$ Grazie al Teorema di Schwarz, la matrice Hessiana è simmetrica ( $H_f = H_f^T$ ).

Esempio: Sia $f(x,y) = e^{x^2+y}$ .

Calcoliamo il gradiente: $\nabla f = (2x e^{x^2+y}, e^{x^2+y})$ .
Deriviamo rispetto a $x$ e $y$ per ottenere le componenti di $H_f$ : $f_{xx} = 2e^{x^2+y} + 4x^2e^{x^2+y}$ , $f_{xy} = 2xe^{x^2+y}$ , $f_{yy} = e^{x^2+y}$ . $H_f(x,y) = e^{x^2+y} \begin{pmatrix} 2+4x^2 & 2x \\ 2x & 1 \end{pmatrix}$

Formula di Taylor. Sia $f \in C^2$ in un intorno di $x_0$ . Per $h$ sufficientemente piccolo, si ha: $f(x_0+h) = f(x_0) + \nabla f(x_0) \cdot h + \frac{1}{2} h^T H_f(x_0) h + o(\|h\|^2)$ dove $h^T H_f h$ è la forma quadratica associata all'Hessiana.

Esempio. $f(x, y) = e^{x^2 + y}$ in $(0, 0)$ : $f = 1$ , $\nabla f = (0, 1)$ , $H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ (dalla formula sopra con $x = y = 0$ ). Quindi $e^{x^2+y} = 1 + y + \frac12(2x^2 + y^2) + o(x^2+y^2) = 1 + y + x^2 + \frac{y^2}{2} + o(x^2 + y^2)$ Verifica: con $u = x^2 + y$ , $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \dots = 1 + x^2 + y + \frac{y^2}{2} + \dots$ (i termini $x^4$ , $x^2y$ sono di ordine superiore al secondo).

Definizione. Una matrice simmetrica $A$ $n \times n$ è:

definita positiva se $h^T A h > 0$ per ogni $h \neq 0$ ;

definita negativa se $h^T A h < 0$ per ogni $h \neq 0$ ;

semidefinita positiva (negativa) se $h^T A h \geq 0$ ( $\leq 0$ ) per ogni $h$ , e si annulla per qualche $h \neq 0$ ;

indefinita se esistono $h_1, h_2$ con $h_1^T A h_1 > 0$ e $h_2^T A h_2 < 0$ .

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ è definita positiva ( $h^T A h = 2h_1^2 + 3h_2^2 > 0$ ); $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ è indefinita ( $h^T B h = h_1^2 - h_2^2$ cambia segno).

III. Massimi e minimi

Massimi e minimi liberi in più variabili

Definizione. Punto di massimo (minimo) relativo se esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x) \le f(x_0)$ ( $f(x) \ge f(x_0)$ ) per ogni $x \in U \cap \Omega$ .

Esempio. $f(x,y) = -x^2 - y^2$ ha un massimo relativo (anche assoluto) in $(0,0)$ : $f(x,y) \le 0 = f(0,0)$ .

Teorema (Fermat). Se $x_0$ è un punto di estremo relativo per $f$ e $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora $\nabla f(x_0) = 0$ .

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$ ha il minimo in $(1,0)$ e infatti $\nabla f = (2x - 2, 2y) = (0,0)$ in quel punto.

Definizione. Un punto critico $x_0$ è un punto di sella se in ogni suo intorno ci sono punti in cui $f > f(x_0)$ e punti in cui $f < f(x_0)$ .

Esempio. $f(x,y) = x^2 - y^2$ in $(0,0)$ : $f(x,0) = x^2 > 0$ e $f(0,y) = -y^2 < 0$ in ogni intorno, quindi $(0,0)$ è un punto di sella.

Teorema. Sia $x_0$ un punto critico per $f$ .

Se $H_f(x_0)$ è definita positiva, allora $x_0$ è un punto di minimo locale.

Se $H_f(x_0)$ è definita negativa, allora $x_0$ è un punto di massimo locale.

Se $H_f(x_0)$ è indefinita, allora $x_0$ è un punto di sella.

Se $H_f(x_0)$ è semidefinita, il test non è risolutivo.

Esempio. $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$ ha punti critici $(\pm 1, 0)$ e $H = \begin{pmatrix} 6x & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . In $(1,0)$ : $\operatorname{diag}(6,2)$ è definita positiva, minimo locale. In $(-1,0)$ : $\operatorname{diag}(-6,2)$ è indefinita, sella.

Funzioni convesse in più variabili

Definizione. Sia $C$ convesso. $f:C\to\mathbb{R}$ è convessa se per ogni $x,y\in C$ e $t\in[0,1]$ $f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)\le t\,f(x)+(1-t)\,f(y).$ È strettamente convessa se la disuguaglianza è stretta per $x\ne y$ e $t\in\,]0,1[$ .

Esempio. $f(x) = x^2$ su $\mathbb{R}$ , con $x = 0$ , $y = 2$ , $t = \frac{1}{2}$ : $f(1) = 1 \le \frac{1}{2} f(0) + \frac{1}{2} f(2) = 2$ .

Teorema. Sia $f$ differenziabile su un aperto convesso $C$ . Allora $f$ è convessa se e solo se per ogni $x,y\in C$ $f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)\cdot(y-x).$

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ in $x = (1,0)$ , dove $\nabla f = (2,0)$ : la disuguaglianza $f(y) \ge f(x) + \nabla f(x) \cdot (y - x)$ diventa $y_1^2 + y_2^2 \ge 1 + 2(y_1 - 1)$ , cioè $(y_1 - 1)^2 + y_2^2 \ge 0$ , sempre vera.

Teorema. Sia $f$ di classe $C^2$ su un aperto convesso $C$ .

$f$ è convessa se e solo se la matrice hessiana $H_f(x)$ è semidefinita positiva in ogni punto $x\in C$ .

Se $H_f(x)$ è definita positiva in ogni punto, $f$ è strettamente convessa. Il viceversa è falso: $f(x)=x^4$ è strettamente convessa ma $f''(0)=0$ .

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ ha $H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , definita positiva in ogni punto: $f$ è strettamente convessa su $\mathbb{R}^2$ .

Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti

Teorema di Weierstrass. Sia $D \subset \mathbb{R}^n$ un insieme compatto e $f: D \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora esistono $P_{min}, P_{max} \in D$ tali che $f(P_{min}) \leq f(P) \leq f(P_{max})$ per ogni $P \in D$ .

Esempio. $f(x,y) = x + y$ sul disco chiuso $x^2 + y^2 \le 1$ (compatto) ha massimo $\sqrt{2}$ in $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ e minimo $-\sqrt{2}$ nel punto opposto.

Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange

Teorema. Siano $f, g: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funzioni di classe $C^1$ . Sia $P_0$ un punto di estremo locale per $f$ vincolato a $g(x) = c$ . Se $\nabla g(P_0) \neq 0$ , allora esiste un numero reale $\lambda$ (moltiplicatore di Lagrange) tale che: $\nabla f(P_0) = \lambda \nabla g(P_0)$

Esempio. Massimo di $f = xy$ con il vincolo $g = x + y = 2$ : da $\nabla f = (y, x) = \lambda (1, 1)$ segue $x = y$ , quindi $x = y = 1$ e $f = 1$ .

IV. Integrali multipli

Integrali doppi e teorema di Fubini

Definizione. Data una funzione limitata $f$ su un rettangolo $R$ , si consideri una partizione $P$ di $R$ in sotto-rettangoli $R_{ij}$ . Siano $m_{ij} = \inf_{(x,y) \in R_{ij}} f(x, y)$ e $M_{ij} = \sup_{(x,y) \in R_{ij}} f(x, y)$ . Definiamo le somme di Darboux:

Somma inferiore: $s_f(P) = \sum_{i,j} m_{ij} \cdot \text{Area}(R_{ij})$

Somma superiore: $S_f(P) = \sum_{i,j} M_{ij} \cdot \text{Area}(R_{ij})$ La funzione $f$ è integrabile se $\sup_P \{s_f(P)\} = \inf_P \{S_f(P)\}$ . Il valore comune è l'integrale doppio $\iint_R f(x, y) \, dx \, dy$ .

Esempio. Se $f(x,y) = C$ è costante su $R = [a,b] \times [c,d]$ , tutte le somme valgono $C\,(b-a)(d-c)$ : l'integrale è $C \cdot \text{Area}(R)$ , il volume di un parallelepipedo.

Teorema (di Fubini). Se $f$ è continua su un dominio semplice $D$ , l'integrale doppio può essere calcolato come integrale iterato:

Se $D$ è Y-semplice: $D = \{ (x,y) : x \in [a,b], \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \}$ $\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx$

Se $D$ è X-semplice: $D = \{ (x,y) : y \in [c,d], \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \}$ $\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right) dy$

(con $g_1 \le g_2$ e $h_1 \le h_2$ funzioni continue).

Esempio. $D = [0,1] \times [0,2]$ , $f(x,y) = xy$ : $\int_0^1 \left(\int_0^2 xy\,dy\right) dx = \int_0^1 2x\,dx = 1$ .

Integrali dipendenti da parametri

Teorema. Se $f$ è continua sul rettangolo chiuso $[a,b]\times[c,d]$ , allora $F(y)=\int_a^bf(x,y)\,dx$ è continua su $[c,d]$ . In particolare, per ogni $y_0\in[c,d]$ , $\lim_{y\to y_0}\int_a^bf(x,y)\,dx=\int_a^b\lim_{y\to y_0}f(x,y)\,dx=\int_a^bf(x,y_0)\,dx.$

Esempio. $\displaystyle\lim_{y\to0}\int_0^1\frac{dx}{1+x^2+y\sin x}$ : l'integranda è continua su $[0,1]\times[-\frac12,\frac12]$ (il denominatore è $\ge\frac12>0$ ), quindi il limite si porta dentro: $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\arctan1=\frac\pi4$ .

Teorema (regola di Leibniz). Se $f$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sono continue su $[a,b]\times[c,d]$ , allora $F$ è derivabile (anzi $C^1$ ) su $[c,d]$ e $F'(y)=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx.$

Esempio. $F(y) = \int_0^1 e^{xy}\,dx$ ha $F'(y) = \int_0^1 x e^{xy}\,dx$ , quindi $F'(0) = \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}$ .

Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari

Teorema. Se la funzione $\Phi: D_{uv} \to D_{xy}$ è di classe $\mathcal{C}^1$ , biunivoca e con matrice jacobiana $J$ invertibile (le tre condizioni possono mancare su un insieme di area nulla, per esempio un segmento del bordo) e $f$ è continua, allora l'integrale di una funzione $f(x, y)$ su $D_{xy}$ si calcola come: $\iint_{D_{xy}} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D_{uv}} f(\phi(u, v), \psi(u, v)) \cdot |\det J(u, v)| \, du \, dv$ dove la matrice jacobiana è definita come $J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$ .

Esempio. Con $x = u + v$ , $y = u - v$ si ha $\det J = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2$ , quindi $dx\,dy = 2\,du\,dv$ : il quadrato $[0,1]^2$ del piano $uv$ ha come immagine una regione di area $2$ .

Definizione. La trasformazione in coordinate polari è definita da: $x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$ con $r \ge 0$ e $\theta \in [0, 2\pi]$ . Qui $r = \sqrt{x^2+y^2}$ è la distanza dall'origine e $\theta$ l'angolo con il semiasse $x$ positivo, in senso antiorario.

Esempio. Area del disco di raggio $R$ : $\iint_D dx\,dy = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2$ .

Grafico interattivo: Il settore {x² + y² ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}: in polari 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/4 (un rettangolo nel piano (r, θ))

Integrali tripli e coordinate cilindriche e sferiche

Formula (integrazione per fili). $\iiint_R f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \iint_D \left( \int_{\phi_1(x,y)}^{\phi_2(x,y)} f(x, y, z) \, dz \right) dx \, dy$

Esempio. $R = \{(x,y) \in [0,1]^2,\ 0 \le z \le x + y\}$ : $\iiint_R dx\,dy\,dz = \iint_D (x + y)\,dx\,dy = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

Formula (integrazione per strati). $\iiint_R f\,dx\,dy\,dz = \int_a^b \left(\iint_{R_z} f(x, y, z)\,dx\,dy\right) dz$

Esempio (volume della sfera per strati). Nella palla $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$ la sezione a quota $z \in [-R, R]$ è il disco di raggio $\sqrt{R^2 - z^2}$ , di area $\pi(R^2 - z^2)$ : $V = \int_{-R}^{R}\pi(R^2 - z^2)\,dz = \pi\left(2R^3 - \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3$

Definizione (coordinate cilindriche). Le coordinate cilindriche $(r, \theta, z)$ sono utili per domini che presentano una simmetria rispetto all'asse $z$ . La trasformazione è: $x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z$ con $r \geq 0$ , $\theta \in [0, 2\pi]$ e $z \in \mathbb{R}$ : sono le coordinate polari nel piano $xy$ più la quota $z$ , e $r$ è la distanza dall'asse $z$ . Lo jacobiano (vedi Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte) risulta $|J| = r$ , pertanto l'elemento di volume è $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ . Il teorema del cambiamento di variabili è lo stesso del caso doppio, con il determinante della jacobiana $3 \times 3$ .

Esempio. Volume del cilindro di raggio $a$ e altezza $h$ : $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a\!\!\int_0^h r\,dz\,dr\,d\theta = \pi a^2 h$ .

Definizione (coordinate sferiche). Le coordinate sferiche $(\rho, \theta, \phi)$ descrivono punti tramite distanza dall'origine e angoli: $x = \rho \sin \phi \cos \theta, \quad y = \rho \sin \phi \sin \theta, \quad z = \rho \cos \phi$ con $\rho \geq 0$ , $\theta \in [0, 2\pi]$ e $\phi \in [0, \pi]$ . Qui $\rho$ è la distanza dall'origine, $\phi$ l'angolo con il semiasse $z$ positivo (latitudine misurata dal polo nord) e $\theta$ lo stesso angolo delle cilindriche (longitudine). Lo jacobiano è $|J| = \rho^2 \sin \phi$ , quindi $dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$ .

Esempio. Volume della palla di raggio $R$ : $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^R \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = \frac{4}{3}\pi R^3$ .

Teorema di Guldino per i volumi. Se la regione piana $A$ sta tutta da una parte dell'asse di rotazione e il suo baricentro è a distanza $d$ dall'asse, il solido ottenuto ruotando di $2\pi$ ha volume $V=2\pi\,d\cdot\text{Area}(A)$ . Per il toro ottenuto ruotando un disco di raggio $a$ con il centro a distanza $b>a$ dall'asse: $V=2\pi b\cdot\pi a^2=2\pi^2a^2b$ .

Esempio. Toro ottenuto ruotando un cerchio di raggio $r$ il cui centro dista $d > r$ dall'asse: $V = 2\pi d \cdot \pi r^2 = 2\pi^2 d\,r^2$ .

V. Curve, campi vettoriali e integrali curvilinei

Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie

Definizione. Una curva $\gamma$ è detta regolare se $\gamma \in C^1([a, b])$ e $\gamma'(t) \neq \vec{0}$ per ogni $t \in [a, b]$ . È regolare a tratti se $[a, b]$ si divide in un numero finito di intervalli su ciascuno dei quali è regolare (negli estremi dei pezzi può avere spigoli o cuspidi).

Esempio. $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ è regolare: $\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t)$ ha norma $1 \ne 0$ . $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ non lo è in $t = 0$ , perché $\gamma'(0) = (0, 0)$ .

Formula (lunghezza di una curva). $L = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt$

Esempio: Lunghezza di una circonferenza di raggio $R$ $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t) \implies \gamma'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$ . $\|\gamma'(t)\| = \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2} = \sqrt{R^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} = R$ . $L = \int_0^{2\pi} R \, dt = 2\pi R$ .

Grafico interattivo: Velocità scalare sulla cicloide con a = 1: 2 sin(θ/2); l'area sotto il grafico è la lunghezza 8

Formula (integrale curvilineo di prima specie). $\int_\gamma f \, ds = \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| \, dt$

Esempio: Massa di un filo Sia $\gamma(t) = (t, t)$ per $t \in [0, 1]$ e densità $f(x, y) = x+y$ . $\gamma'(t) = (1, 1)$ , $\|\gamma'(t)\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ . $M = \int_0^1 (t+t) \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_0^1 2t \, dt = \sqrt{2} [t^2]_0^1 = \sqrt{2}$ .

Campi vettoriali e lavoro lungo una curva

Definizione (campo vettoriale). $\mathbf{f}(x, y) = M(x, y)\mathbf{i} + N(x, y)\mathbf{j} = (M(x, y), N(x, y))$

Esempio. $\mathbf{f}(x,y) = (-y, x)$ è il campo di rotazione: in $(1,0)$ vale $(0,1)$ e in $(0,2)$ vale $(-2,0)$ .

Definizione. Dato un campo vettoriale continuo $\mathbf{f}$ e una curva regolare $C$ parametrizzata da $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ con $t \in [a, b]$ , l'integrale di linea è definito come: $\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt$ dove $\mathbf{r}'(t)$ è il vettore tangente alla curva.

Esempio. $\mathbf{f}(x,y) = (y, x)$ sulla curva $\mathbf{r}(t) = (t, t^2)$ , $t \in [0,1]$ : $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = (t^2, t) \cdot (1, 2t) = 3t^2$ , quindi $\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 3t^2\,dt = 1$ .

Campi conservativi e funzione potenziale

Teorema. Se $\mathbf{F} = \nabla f$ è un campo di classe $C^1$ in un dominio $D$ , allora per ogni curva regolare $\gamma$ contenuta in $D$ con punto iniziale $P_0$ e finale $P_1$ , vale: $\int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(P_1) - f(P_0)$

Esempio. $f(x,y) = x^2 y$ ha $\nabla f = (2xy, x^2)$ : da $P_0 = (0,0)$ a $P_1 = (1,2)$ il lavoro vale $f(1,2) - f(0,0) = 2$ , qualunque sia il cammino.

Teorema. Se $\mathbf{F}$ è di classe $C^1$ e irrotazionale in un dominio semplicemente connesso, allora $\mathbf{F}$ è conservativo.

Esempio. $\mathbf{F} = (2xy, x^2)$ è irrotazionale su $\mathbb{R}^2$ ( $\partial_x (x^2) = 2x = \partial_y (2xy)$ ), che è semplicemente connesso: quindi è conservativo, con potenziale $x^2 y$ .

Grafico interattivo: Nel semipiano x > 0 (che non contiene l'origine) il potenziale f = arctan(y/x) = θ è costante sulle semirette uscenti dall'origine: θ = 0, ±π/6, ±π/3; intorno all'origine non esiste un angolo continuo

Teorema di Green nel piano

Teorema (di Green). Sia $R$ un dominio regolare del piano, con bordo $C = \partial R$ orientato positivamente. Sia $\mathbf{F} = \langle M(x,y), N(x,y) \rangle$ un campo vettoriale di classe $C^1$ in $R$ . Allora:

$\oint_C M \, dx + N \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dx \, dy$

Esempio. $\mathbf{F} = (M, N) = (-y, x)$ sul disco unitario: $\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_R (1 - (-1))\,dx\,dy = 2\pi$ .

Formula (area di una regione con l'integrale di linea). $\text{Area}(R) = \oint_C x \, dy = -\oint_C y \, dx = \frac{1}{2} \oint_C (x \, dy - y \, dx)$

Esempio. Disco di raggio $r$ , con $x = r\cos t$ e $y = r\sin t$ : $\oint_C x\,dy = \int_0^{2\pi} r\cos t \cdot r\cos t\,dt = \pi r^2$ .

Divergenza, rotore e flusso nel piano

Definizione. $\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y},\qquad \operatorname{rot}\mathbf F=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}$ La seconda è il rotore scalare del campo piano.

Esempio. $\mathbf{F} = (x, y)$ ha $\operatorname{div}\mathbf{F} = 1 + 1 = 2$ e $\operatorname{rot}\mathbf{F} = 0$ . Per $\mathbf{F} = (-y, x)$ : $\operatorname{div}\mathbf{F} = 0$ e $\operatorname{rot}\mathbf{F} = 1 - (-1) = 2$ .

Teorema (della divergenza nel piano). Sia $R$ un dominio regolare con bordo $\partial R$ orientato positivamente (antiorario, buchi in senso orario) e $\mathbf F=(M,N)$ di classe $C^1$ su $R$ . Allora $\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F\,dx\,dy .$

Esempio (verifica). Per $\mathbf F=(x,y)$ sul disco di raggio $a$ : $\iint\operatorname{div}\mathbf F\,dx\,dy=2\cdot\pi a^2=2\pi a^2$ , uguale al flusso calcolato sopra.

Grafico interattivo: Il campo F = (x, y)/(x² + y²), ridotto di 0,6 volte: ha modulo 1/r, quindi i vettori sulla circonferenza di raggio 1 (lunghezza 1) sono il doppio di quelli sulla circonferenza di raggio 2 (lunghezza 1/2), ma il flusso uscente è 2π su entrambe

VI. Serie di funzioni e serie di potenze

Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni

Definizione. La successione $(f_n)$ converge puntualmente a una funzione limite $f: E \to \mathbb{R}$ se, per ogni $x \in E$ fissato, la successione numerica $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $f(x)$ : $\forall x \in E, \quad \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ In forma quantificata: $\forall x \in E, \ \forall \epsilon > 0, \ \exists n_0 = n_0(\epsilon, x) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } \forall n \ge n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$

Esempio. $f_n(x) = x^n$ su $[0,1]$ converge puntualmente a $f(x) = 0$ per $0 \le x < 1$ e a $f(1) = 1$ .

Definizione. La successione $(f_n)$ converge uniformemente a $f: E \to \mathbb{R}$ su $E$ se l'indice soglia $n_0$ dipende unicamente da $\epsilon$ e non dal punto $x$ : $\forall \epsilon > 0, \ \exists n_0 = n_0(\epsilon) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } \forall n \ge n_0, \ \forall x \in E \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$

Esempio. $f_n(x) = \frac{x}{n}$ su $[0,1]$ converge uniformemente a $0$ : $\sup_{[0,1]} |f_n| = \frac{1}{n} \to 0$ . Invece $x^n$ non converge uniformemente su $[0,1]$ : $\sup |x^n - f(x)| = 1$ per ogni $n$ .

Teorema. Sia $(f_n)$ una successione di funzioni continue su $E \subseteq \mathbb{R}$ . Se $f_n \to f$ uniformemente su $E$ , allora $f$ è continua su $E$ .

Esempio. Le funzioni $x^n$ sono continue su $[0,1]$ ma il limite puntuale (che vale $0$ per $x < 1$ e $1$ in $x = 1$ ) non è continuo: quindi la convergenza non può essere uniforme.

Teorema. Sia $[a, b]$ un intervallo chiuso e limitato e sia $(f_n)$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann su $[a, b]$ . Se $f_n \to f$ uniformemente su $[a, b]$ , allora $f$ è integrabile su $[a, b]$ e vale: $\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx$

Esempio. $f_n(x) = \frac{x}{n}$ converge uniformemente a $0$ su $[0,1]$ e $\int_0^1 \frac{x}{n}\,dx = \frac{1}{2n} \to 0 = \int_0^1 0\,dx$ .

Teorema. Sia $(f_n)$ una successione di funzioni derivabili con continuità ( $C^1$ ) su $[a, b]$ tale che:

Esiste almeno un punto $x_0 \in [a, b]$ in cui la successione numerica $(f_n(x_0))$ converge;

La successione delle derivate $(f_n')$ converge uniformemente su $[a, b]$ a una funzione $g$ .

Allora $(f_n)$ converge uniformemente su $[a, b]$ a una funzione $f \in C^1([a, b])$ , $f$ è derivabile e: $f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x) = g(x) \quad \forall x \in [a, b]$

Esempio. $f_n(x) = x + \frac{x^2}{n}$ su $[0,1]$ : $f_n(0) = 0$ converge e $f_n'(x) = 1 + \frac{2x}{n} \to 1$ uniformemente; quindi $f_n \to f$ con $f'(x) = 1$ , cioè $f(x) = x$ .

Definizione. La serie converge puntualmente su $E$ alla funzione somma $S(x)$ se $s_k(x) \to S(x)$ puntualmente su $E$ . Converge uniformemente su $E$ a $S(x)$ se $s_k \to S$ uniformemente su $E$ , ossia se: $\lim_{k \to \infty} \sup_{x \in E} \left| S(x) - \sum_{n=1}^k u_n(x) \right| = 0$

Esempio. La serie geometrica $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ converge puntualmente su $]-1, 1[$ alla somma $S(x) = \frac{1}{1-x}$ .

Teorema (Criterio M di Weierstrass / Convergenza totale). Sia $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ una serie di funzioni definite su $E$ . Supponiamo che esista una successione numerica $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ di termini non negativi tale che:

$|u_n(x)| \le M_n$ per ogni $x \in E$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$ ;

La serie numerica $\sum_{n=1}^\infty M_n$ converge.

Allora:

La serie converge assolutamente per ogni $x \in E$ ;

La serie converge uniformemente su $E$ .

Esempio. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ su $\mathbb{R}$ : $\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2} = M_n$ e $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, quindi la serie converge uniformemente su $\mathbb{R}$ .

Serie di potenze e serie di Taylor

Definizione. Una serie di potenze centrata nel punto $x_0 \in \mathbb{R}$ è una serie di funzioni della forma: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots$ dove i coefficienti $a_n \in \mathbb{R}$ costituiscono una successione numerica e $x \in \mathbb{R}$ è la variabile reale.

Esempio. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n+1}$ è una serie di potenze centrata in $x_0 = 1$ , con coefficienti $a_n = \frac{1}{n+1}$ .

Teorema (di Cauchy-Hadamard). Sia data la serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ . Si definisca la quantità: $L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ Il raggio di convergenza $\rho \in [0, +\infty]$ della serie è definito come: $\rho = \begin{cases} \frac{1}{L} & \text{se } 0 < L < +\infty \\ +\infty & \text{se } L = 0 \\ 0 & \text{se } L = +\infty \end{cases}$ Se esiste il limite del rapporto dei coefficienti successivi, il raggio di convergenza può essere calcolato equivalentemente come: $\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$

Esempio. $\sum \frac{x^n}{n!}$ ha $\rho = \lim (n+1) = +\infty$ ; $\sum n!\,x^n$ ha $\rho = \lim \frac{1}{n+1} = 0$ ; $\sum x^n$ ha $\rho = 1$ .

Teorema (sul raggio di convergenza). Sia $\rho$ il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ :

Se $\rho = 0$ , la serie converge unicamente nel punto $x = x_0$ .

Se $\rho = +\infty$ , la serie converge assolutamente per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Se $0 < \rho < +\infty$ , la serie converge assolutamente per ogni $x$ tale che $|x - x_0| < \rho$ , ovvero all'interno dell'intervallo aperto $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ . La serie non converge per $|x - x_0| > \rho$ .

Esempio. $\sum \frac{x^n}{n}$ ha $\rho = 1$ : converge assolutamente in $]-1, 1[$ ; in $x = 1$ diverge (serie armonica), in $x = -1$ converge (Leibniz).

Teorema (Convergenza uniforme nei compatti interni). Sia $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$ . Per ogni costante $K \in (0, \rho)$ , la serie converge uniformemente sull'intervallo chiuso e limitato $[x_0 - K, x_0 + K]$ .

Esempio. $\sum x^n$ ha $\rho = 1$ : converge uniformemente su $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ , ma non su tutto $]-1, 1[$ .

Teorema (Integrazione termine a termine). Sia $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$ . La funzione $f$ è continua sull'intervallo $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ e, per ogni coppia di punti $a, b \in (x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ , si ha: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_{a}^{b} (x-x_0)^n \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \left[ (b-x_0)^{n+1} - (a-x_0)^{n+1} \right]$ Inoltre, la serie integrata possiede lo stesso raggio di convergenza $\rho$ della serie originale.

Esempio. Da $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ per $|x| < 1$ , integrando tra $0$ e $x$ : $-\ln(1-x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

Teorema (Derivazione termine a termine). Sia $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$ . La funzione $f$ è derivabile all'interno dell'intervallo $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ e la sua derivata prima si ottiene derivando termine a termine la serie: $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-x_0)^{n-1}$ La serie delle derivate ha lo stesso raggio di convergenza $\rho$ della serie di partenza.

Esempio. Derivando $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ si ottiene $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1}$ per $|x| < 1$ .

Definizione. La serie di Taylor di una funzione $f \in C^\infty$ centrata in $x_0$ è la serie di potenze: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$ Se la serie converge a $f(x)$ in un intorno di $x_0$ , la funzione si dice analitica.

Esempio. Per $f(x) = e^x$ in $x_0 = 0$ si ha $f^{(n)}(0) = 1$ , quindi la serie di Taylor è $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ , che converge a $e^x$ per ogni $x$ .

VII. Analisi complessa

Numeri complessi

Definizione. Un numero complesso $z$ è un'espressione della forma: $z = x + iy$ dove $x$ e $y$ sono numeri reali, e unità immaginaria.

Esempio. $z = 3 - 2i$ ha $\operatorname{Re}(z) = 3$ e $\operatorname{Im}(z) = -2$ ; inoltre $(1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = 5 + 5i$ .

Definizione. Il coniugato di un numero complesso $z = x + iy$ è il numero complesso: $\bar{z} = x - iy$

Esempio. $\overline{3 - 2i} = 3 + 2i$ e $z\bar{z} = (3 - 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13$ .

Definizione. Il modulo (o valore assoluto) di $z = x + iy$ è il numero reale non negativo: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Esempio numerico. Siano $z_1 = 3 + 4i$ e $z_2 = 1 - 2i$ . Calcoliamo somma, prodotto e quoziente:

Somma: $z_1 + z_2 = (3 + 1) + i(4 - 2) = 4 + 2i$ .
Prodotto: $z_1 z_2 = (3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i - 8(-1) = 11 - 2i$ .
Quoziente: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 - 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{3 + 6i + 4i + 8i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{-5 + 10i}{1 + 4} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$ .

Grafico interattivo: Piano di Argand-Gauss: z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 − 2i e la somma z₁ + z₂ = 4 + 2i, diagonale del parallelogramma; il quoziente z₁/z₂ = −1 + 2i

Definizione. La forma trigonometrica di un numero complesso è: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ dove $r > 0$ e $\theta = \arg(z)$ è definito a meno di multipli interi di $2\pi$ .

Esempio numerico. Convertire $z = -1 - i$ in forma polare.

Calcoliamo il modulo: $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ .
Troviamo l'argomento $\theta$ : il punto si trova nel terzo quadrante del piano di Argand-Gauss ( $x < 0, y < 0$ ). Si ha $\tan\theta = \frac{-1}{-1} = 1$ , da cui $\theta = \frac{5\pi}{4}$ (equivalente a $-\frac{3\pi}{4}$ a meno di $2\pi$ : $\arctan 1=\frac\pi4$ da sola darebbe il quadrante sbagliato).
La forma polare è $z = \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}}$ .

Grafico interattivo: z = −1 − i: terzo quadrante, modulo r = √2 (la circonferenza tratteggiata) e argomento θ = 5π/4 = 225° (equivalente a −3π/4)

Teorema. Dato un numero complesso non nullo $z = r e^{i\theta}$ e un intero positivo $n \ge 1$ , esistono esattamente $n$ radici ennesime distinte di $z$ , date dalla formula: $w_k = \sqrt[n]{r} \, e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1$

Esempio numerico. Trovare tutte le soluzioni dell'equazione $w^3 = -8$ .

Scriviamo $-8$ in forma polare: il modulo è $r = |-8| = 8$ , e l'argomento è $\theta = \pi$ (poiché si trova sul semiasse negativo delle reali). Quindi $-8 = 8 e^{i\pi}$ .
Applichiamo la formula delle radici terze ( $n=3$ ): $w_k = \sqrt[3]{8} \, e^{i \frac{\pi + 2k\pi}{3}} = 2 e^{i \frac{\pi + 2k\pi}{3}}, \quad k = 0, 1, 2$
Calcoliamo i singoli valori al variare di $k$ $k$ :
- Per $k = 0$ : $w_0 = 2 e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$ .
- Per $k = 1$ : $w_1 = 2 e^{i\frac{3\pi}{3}} = 2 e^{i\pi} = 2(\cos\pi + i\sin\pi) = 2(-1 + 0) = -2$ .
- Per $k = 2$ : $w_2 = 2 e^{i\frac{5\pi}{3}} = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3}$ .

Grafico interattivo: Le tre soluzioni di w³ = −8 sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio 2: w₀ = 1 + i√3 (angolo π/3), w₁ = −2 (angolo π), w₂ = 1 − i√3 (angolo 5π/3)

Funzioni elementari complesse

Definizione. Una successione di numeri complessi $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ , con $a_n = x_n + i y_n$ , converge a un numero complesso $L = x_0 + i y_0$ se la distanza euclidea nel piano complesso tende a zero. Formalmente, $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un intero $N$ tale che per ogni $n > N$ si ha: $|a_n - L| < \epsilon$ Geometricamente, l'intorno di $L$ è un disco aperto di raggio $\epsilon$ centrato in $L$ nel piano di Argand-Gauss.

Esempio. $a_n = \frac{1}{n} + i\left(1 - \frac{1}{n}\right) \to i$ : la parte reale tende a $0$ , quella immaginaria a $1$ , e $|a_n - i| = \frac{\sqrt{2}}{n} \to 0$ .

Definizione. Data una successione di numeri complessi $\{c_n\}_{n=1}^\infty$ , la serie infinita $\sum_{n=1}^\infty c_n$ è definita come il limite della successione delle somme parziali $S_N = \sum_{n=1}^N c_n$ per $N \to \infty$ . Se tale limite esiste ed è finito, la serie converge.

Esempio. La serie geometrica $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{i}{2}\right)^n$ converge, perché $\left|\frac{i}{2}\right| < 1$ , e la somma è $\frac{1}{1 - i/2} = \frac{4 + 2i}{5}$ .

Teorema. (Raggio e cerchio di convergenza) Per ogni serie di potenze nel campo complesso del tipo $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ , si presenta esattamente uno dei seguenti tre casi:

La serie converge solo per $z = 0$ .

La serie converge per ogni $z \in \mathbb{C}$ .

Esiste un numero reale $R > 0$ , detto raggio di convergenza, tale che la serie converge assolutamente per ogni $z$ tale che $|z| < R$ (interno del cerchio di convergenza) e diverge per $|z| > R$ .

All'interno di ogni disco chiuso $|z| \le r$ con $r < R$ , la convergenza è uniforme.

Esempio. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n}$ ha $R = \lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = 2$ : converge assolutamente per $|z| < 2$ e diverge per $|z| > 2$ .

Definizione. La funzione esponenziale complessa $e^z$ (o $\exp(z)$ ) è definita per ogni $z \in \mathbb{C}$ dalla serie di potenze: $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots$ Questa serie ha raggio di convergenza $R = +\infty$ , dunque l'esponenziale è una funzione intera (definita su tutto $\mathbb{C}$ ).

Esempio. In $z = i$ i primi termini della serie danno $1 + i + \frac{i^2}{2} + \frac{i^3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{5}{6}i$ , già vicino a $e^{i} = \cos 1 + i \sin 1 \approx 0{,}54 + 0{,}84\,i$ .

Teorema. (Formula di Eulero) Per ogni $z \in \mathbb{C}$ , vale la relazione: $e^{iz} = \cos z + i \sin z$ In particolare, ponendo $z = x$ reale, si ottiene $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ .

Esempio. $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$ e $e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$ .

Definizione. Dato un numero complesso $w \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ , scriviamolo in forma polare $w = r e^{i\theta}$ , dove $r = |w|$ e $\theta = \arg(w) = \text{Arg}(w) + 2k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$ ( $\text{Arg}(w)$ è l'argomento principale in $(-\pi, \pi]$ ). Il logaritmo complesso è definito come: $\ln w = \ln |w| + i (\text{Arg}(w) + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$

Esempio. $\ln(-1) = \ln 1 + i(\pi + 2k\pi) = i\pi(2k+1)$ , $k \in \mathbb{Z}$ ; il valore principale è $\operatorname{Ln}(-1) = i\pi$ .

Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann

Definizione. Sia $f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ e sia $z_0 \in \mathbb{C}$ un punto di accumulazione per $\Omega$ . Si dice che il limite per $z$ che tende a $z_0$ di $f(z)$ è pari a $L \in \mathbb{C}$ , e si scrive: $\lim_{z \to z_0} f(z) = L$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che, per ogni $z \in \Omega$ con $0 < |z - z_0| < \delta$ , si ha: $|f(z) - L| < \epsilon$

Esempio. $\lim_{z \to i} z^2 = i^2 = -1$ : con $z = x + iy$ si ha $u = x^2 - y^2 \to -1$ e $v = 2xy \to 0$ per $(x,y) \to (0,1)$ .

Teorema. Siano $z = x + iy$ , $z_0 = x_0 + i y_0$ , $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ e $L = L_1 + i L_2$ . Si ha che $\lim_{z \to z_0} f(z) = L$ se e solo se valgono contemporaneamente i due limiti reali: $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = L_1 \quad \text{e} \quad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = L_2$

Esempio. $f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i\,2xy$ in $z_0 = 1 + i$ : $u \to 1 - 1 = 0$ e $v \to 2$ , quindi $\lim_{z \to 1+i} z^2 = 2i$ .

Definizione. Sia $f: \Omega \to \mathbb{C}$ definita su un insieme aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ . La funzione $f$ si dice derivabile in senso complesso (o $\mathbb{C}$ -derivabile) in un punto $z_0 \in \Omega$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale: $f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$ Se tale limite esiste, il numero complesso $f'(z_0)$ prende il nome di derivata complessa di $f$ in $z_0$ .

Esempio. $f(z) = z^2$ : $\frac{(z + \Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = 2z + \Delta z \to 2z$ , quindi $f'(z) = 2z$ .

Teorema (Condizioni di Cauchy-Riemann). Sia $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ definita su un aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ .

Condizione Necessaria: Se $f$ è derivabile in senso complesso in $z_0 = x_0 + i y_0$ , allora in tale punto esistono le derivate parziali di $u$ e $v$ e soddisfano il sistema di Cauchy-Riemann: $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$

Condizione Sufficiente: Se $u(x,y)$ e $v(x,y)$ ammettono derivate parziali continue in un intorno di $(x_0, y_0)$ (il che garantisce la loro differenziabilità in senso reale) e tali derivate soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in $(x_0, y_0)$ , allora $f$ è derivabile in senso complesso in $z_0$ .

Esempio. $f(z) = z^2$ ha $u = x^2 - y^2$ e $v = 2xy$ : $u_x = 2x = v_y$ e $u_y = -2y = -v_x$ , quindi $f$ è olomorfa. Per $f(z) = \bar{z}$ ( $u = x$ , $v = -y$ ) si ha $u_x = 1 \ne v_y = -1$ : non è derivabile.

Definizione. Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ un aperto. Una funzione reale $h: \Omega \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ si dice armonica se soddisfa l'equazione di Laplace: $\Delta h = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0$

Esempio. $h(x,y) = x^2 - y^2$ è armonica: $h_{xx} + h_{yy} = 2 - 2 = 0$ . Invece $x^2 + y^2$ non lo è: $2 + 2 = 4$ .

Teorema. Sia $f = u + iv$ una funzione olomorfa su un aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ . Se $u$ e $v$ sono di classe $C^2$ , allora sia $u$ che $v$ sono funzioni armoniche in $\Omega$ .

Esempio. $f(z) = z^2$ ha $u = x^2 - y^2$ e $v = 2xy$ , entrambe armoniche: $\Delta v = 0 + 0 = 0$ .

Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy

Definizione. Sia $f$ continua su $C$ . L'integrale di $f$ lungo $C$ è il limite delle somme di Riemann $\int_C f(z)\,dz=\lim\sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\,(z_k-z_{k-1}),$ dove $z_0,\dots,z_n$ sono punti successivi sulla curva, $\zeta_k$ è un punto dell'arco tra $z_{k-1}$ e $z_k$ e il limite si fa facendo tendere a zero la distanza massima $|z_k-z_{k-1}|$ .

Esempio. Per $f(z) = 1$ le somme di Riemann sono $\sum (z_k - z_{k-1}) = z_n - z_0$ , quindi $\int_C dz = z_n - z_0$ : dipende solo dagli estremi della curva.

Teorema. Se $f$ è continua su $C$ e $z(t)$ , $t\in[a,b]$ , è una parametrizzazione regolare di $C$ : $\int_C f(z)\,dz=\int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt .$

Esempio. $\oint_{|z|=1} \frac{dz}{z}$ : con $z(t) = e^{it}$ , $z'(t) = i e^{it}$ si ha $\int_0^{2\pi} \frac{i e^{it}}{e^{it}}\,dt = \int_0^{2\pi} i\,dt = 2\pi i$ .

Teorema. Sia $f$ continua in un aperto $A$ e sia $F$ una primitiva di $f$ in $A$ , cioè $F'=f$ (derivata complessa). Per ogni curva $C\subset A$ da $z_0$ a $z_1$ : $\int_C f(z)\,dz=F(z_1)-F(z_0).$ In particolare l'integrale lungo una curva chiusa è $0$ .

Esempio. $f(z) = z^2$ ha primitiva $F(z) = \frac{z^3}{3}$ : lungo ogni curva da $0$ a $1+i$ l'integrale vale $\frac{(1+i)^3}{3} = \frac{-2 + 2i}{3}$ , e su ogni curva chiusa vale $0$ .

Teorema (Cauchy). Sia $D$ un dominio semplicemente connesso (senza buchi) e $f$ olomorfa in $D$ . Per ogni curva chiusa $C$ contenuta in $D$ : $\oint_C f(z)\,dz=0 .$ Di conseguenza $f$ ammette una primitiva in $D$ e l'integrale tra due punti non dipende dal cammino.

Esempio. $\oint_{|z|=1} e^z\,dz = 0$ , perché $e^z$ è olomorfa in tutto $\mathbb{C}$ .

Teorema (deformazione). Siano $C_1$ e $C_2$ due curve chiuse semplici percorse in senso antiorario, con $C_2$ contenuta all'interno di $C_1$ . Se $f$ è olomorfa sulle due curve e in tutta la regione compresa tra loro, allora $\oint_{C_1}f(z)\,dz=\oint_{C_2}f(z)\,dz .$

Esempio. $\oint_{|z|=3} \frac{dz}{z} = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} = 2\pi i$ , perché $\frac{1}{z}$ è olomorfa nella corona tra le due circonferenze.

Formula integrale di Cauchy

Teorema. (Formula integrale di Cauchy) Sia $f: \Omega \to \mathbb{C}$ una funzione olomorfa in un aperto $\Omega$ . Sia $C$ una curva chiusa, semplice, orientata in senso antiorario e tale che la regione racchiusa da $C$ sia contenuta in $\Omega$ . Allora, per ogni punto $z_0$ interno a $C$ , si ha: $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz$

Esempio. $\oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z - 1}\,dz = 2\pi i\,e^1 = 2\pi i\,e$ , perché $e^z$ è olomorfa e $z_0 = 1$ sta dentro il cerchio $|z| = 2$ .

Teorema. (Formule di Cauchy per le derivate) Sotto le stesse ipotesi della formula integrale di Cauchy, la funzione $f$ ammette derivate di ogni ordine $n \in \mathbb{N}$ in ogni punto interno $z_0$ , e queste sono date da: $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$

Esempio. $\oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^3}\,dz = \frac{2\pi i}{2!}\,f''(0) = \pi i$ , con $f(z) = e^z$ e $f''(0) = 1$ .

Teorema. (Liouville) Se $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ è una funzione intera e limitata (cioè esiste una costante $M > 0$ tale che $|f(z)| \le M$ per ogni $z \in \mathbb{C}$ ), allora $f(z)$ è una funzione costante.

Esempio. $\cos z$ è intera ma non limitata ( $\cos(iy) = \cosh y \to +\infty$ ), quindi non contraddice il teorema; $f(z) \equiv 3$ è intera e limitata, ed è costante.

Teorema. (Analiticità delle funzioni olomorfe) Se $f(z)$ è olomorfa in un disco aperto $B(z_0, R)$ , allora essa è sviluppabile in serie di potenze convergente nello stesso disco: $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$ dove i coefficienti sono dati da $a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$ .

Esempio. $f(z) = e^z$ è olomorfa in $\mathbb{C}$ e $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{1}{n!}$ , quindi $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ per ogni $z$ .

Teorema. (Raggio di convergenza) Se $f$ è olomorfa in un aperto privato di alcuni punti isolati (le singolarità), il raggio di convergenza $R$ della serie di Taylor centrata in $z_0$ è esattamente la distanza tra $z_0$ e la singolarità più vicina nel piano complesso.

Esempio. $f(z) = \frac{1}{1 + z^2}$ ha singolarità in $\pm i$ : la serie di Taylor centrata in $z_0 = 0$ ha raggio di convergenza $1$ , la distanza da $\pm i$ .

Serie di Laurent e singolarità isolate

Teorema. (Sviluppo in serie di Laurent) Sia $f(z)$ una funzione analitica nella corona circolare definita da $R_1 < |z - z_0| < R_2$ , dove $0 \le R_1 < R_2 \le +\infty$ . Allora $f(z)$ può essere sviluppata in una serie di potenze bilaterale della forma: $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z - z_0)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n (z - z_0)^n + \sum_{n=1}^{+\infty} c_{-n} (z - z_0)^{-n}$ La serie converge totalmente (e quindi uniformemente) su ogni corona chiusa compatta $R_1' \le |z - z_0| \le R_2'$ con $R_1 < R_1' < R_2' < R_2$ . I coefficienti $c_n$ sono unici e calcolabili tramite l'integrale: $c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta$ dove $\gamma$ è una qualsiasi curva regolare chiusa percorsa in senso antiorario attorno a $z_0$ interna alla corona.

Esempio. $\frac{e^z}{z^2}$ attorno a $z_0 = 0$ : $\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \frac{z}{6} + \dots$ , quindi $c_{-2} = 1$ , $c_{-1} = 1$ , $c_0 = \frac{1}{2}$ .

Definizione. (Singolarità isolata) Un punto $z_0 \in \mathbb{C}$ si dice singolarità isolata per la funzione $f(z)$ se esiste un intorno bucato del tipo $0 < |z - z_0| < R$ in cui $f(z)$ è analitica, ma non è definita o non è analitica in $z_0$ .

Esempio. $\frac{\sin z}{z}$ ha in $0$ una singolarità eliminabile; $\frac{1}{z^2}$ ha in $0$ un polo di ordine $2$ ; $e^{1/z}$ ha in $0$ una singolarità essenziale.

Teorema. (Caratterizzazione dei poli tramite limiti) $z_0$ è un polo di ordine $m$ per $f(z)$ se e solo se: $\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = A \neq 0$ con $A$ numero complesso finito. Se $m=1$ , il polo si dice semplice.

Esempio. $f(z) = \frac{1}{z (z-1)^2}$ in $z_0 = 1$ : $\lim_{z \to 1} (z-1)^2 f(z) = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z} = 1 \ne 0$ , quindi $z_0 = 1$ è un polo di ordine $2$ .

Teorema dei residui

Definizione. Si definisce residuo della funzione $f(z)$ nel punto singolare isolato $z_0$ il coefficiente $a_{-1}$ dello sviluppo in serie di Laurent. Si indica con la notazione: $\text{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) dz$ dove $\gamma$ è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude $z_0$ e nessun'altra singolarità.

Esempio. $f(z) = \frac{1}{z(z-2)}$ attorno a $z_0 = 0$ : $f(z) = -\frac{1}{2z} \cdot \frac{1}{1 - z/2} = -\frac{1}{2z} - \frac{1}{4} - \dots$ , quindi $\operatorname{Res}(f, 0) = a_{-1} = -\frac{1}{2}$ .

Teorema. Se $z_0$ è un polo semplice per $f(z)$ , il residuo si calcola come: $\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$ In particolare, se $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$ con $P(z_0) \neq 0$ , $Q(z_0) = 0$ e $Q'(z_0) \neq 0$ , allora: $\text{Res}(f, z_0) = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$

Esempio numerico. Calcoliamo il residuo di $f(z) = \frac{1}{z^2 - 1}$ nei suoi poli. I poli si trovano annullando il denominatore: $z^2 - 1 = 0$ , ovvero $z_1 = 1$ e $z_2 = -1$ . Sono entrambi poli semplici. Usiamo la regola del rapporto con $P(z) = 1$ e $Q(z) = z^2 - 1$ (quindi $Q'(z) = 2z$ ):

Per $z_1 = 1$ : $\text{Res}(f, 1) = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$ .
Per $z_2 = -1$ : $\text{Res}(f, -1) = \frac{1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$ .

Teorema. Se $z_0$ è un polo di ordine $n$ per $f(z)$ , il residuo si calcola tramite la formula di derivazione: $\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ (z - z_0)^n f(z) \right]$

Esempio con polo doppio. $f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$ ha un polo doppio in $0$ e uno semplice in $1$ .

In $z_0=0$ ( $n=2$ ): $(z-0)^2f(z)=\frac1{z-1}$ , derivata $-\frac1{(z-1)^2}$ , che in $0$ vale $-1$ . Quindi $\text{Res}(f,0)=\frac1{1!}\cdot(-1)=-1$ .
In $z_0=1$ : $\text{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}\frac1{z^2}=1$ . La somma dei residui è $0$ .

Teorema (dei residui). Sia $\gamma$ una curva chiusa semplice, orientata in senso antiorario, tracciata in un dominio semplicemente connesso. Sia $f(z)$ una funzione analitica all'interno e sul bordo di $\gamma$ , ad eccezione di un numero finito di singolarità isolate $z_1, z_2, \dots, z_k$ interne a $\gamma$ . Allora: $\oint_{\gamma} f(z) dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{k} \text{Res}(f, z_j)$

Esempio. $\oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z}\,dz = 2\pi i\,\operatorname{Res}(f, 0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i$ , perché il residuo di $\frac{e^z}{z}$ in $0$ è $e^0 = 1$ .

Grafico interattivo: ∮ dz/(z(z − 2)) su |z| = 1, antioraria: il polo 0 è interno e contribuisce, il polo 2 è esterno e non conta; l'integrale vale 2πi·(−1/2) = −πi

Lemma di Jordan. Sia $a>0$ e sia $f$ olomorfa nel semipiano superiore salvo un numero finito di singolarità, con $f(z)\to0$ per $|z|\to\infty$ ( $\text{Im}\,z\ge0$ ). Allora l'integrale di $f(z)e^{iaz}$ sulla semicirconferenza $\gamma_R:\ z=Re^{i\theta}$ , $\theta\in[0,\pi]$ , tende a $0$ per $R\to\infty$ .

Esempio. $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}\,dx$ . Si considera $f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+1}$ , con poli semplici in $\pm i$ ; nel semipiano superiore c'è $i$ : $\text{Res}(f,i)=\frac{e^{i\cdot i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2i},\qquad\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx=2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2i}=\frac\pi e.$ Parte reale: $\int\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\frac\pi e$ ; parte immaginaria: $\int\frac{\sin x}{x^2+1}dx=0$ (come deve essere, perché l'integranda è dispari).

Grafico interattivo: Poli di 1/(z⁴ + 1): le quattro radici quarte di −1, sulla circonferenza unitaria a 45°, 135°, 225°, 315°; nel semipiano superiore (dentro il semicerchio di raggio R = 2) ce ne sono due, e^(iπ/4) e e^(3iπ/4)

Zeri, poli e teorema dell'indicatore logaritmico

Definizione. Il numero $k$ si chiama ordine (o molteplicità) dello zero $z_0$ . Equivalentemente $f(z_0)=f'(z_0)=\dots=f^{(k-1)}(z_0)=0$ e $f^{(k)}(z_0)\neq0$ (perché $a_j=f^{(j)}(z_0)/j!$ ).

Esempio. $f(z) = z^3 (z-1)$ ha in $z_0 = 0$ uno zero di ordine $3$ e in $z_0 = 1$ uno zero semplice.

Teorema degli zeri isolati. Se $f$ è olomorfa su un dominio connesso e non è identicamente nulla, ogni suo zero è isolato: esiste un intorno bucato di $z_0$ in cui $f\neq0$ .

Esempio. $\sin z$ si annulla in $z = k\pi$ , punti isolati a distanza $\pi$ l'uno dall'altro; una funzione olomorfa non identicamente nulla non può annullarsi su un intero segmento.

Teorema. Sia $f$ meromorfa in un aperto che contiene una curva chiusa semplice $\gamma$ , percorsa in senso antiorario, e la regione che essa racchiude. Se $f$ non ha né zeri né poli su $\gamma$ , allora $\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P,$ dove $N$ è il numero degli zeri e $P$ il numero dei poli di $f$ dentro $\gamma$ , ciascuno contato tante volte quanto è il suo ordine.

Esempio 1 (polinomio). $f(z)=z^2+1$ su $\gamma:|z|=2$ . Entrambi gli zeri $\pm i$ sono interni, nessun polo: $N-P=2$ . Con il calcolo diretto: $\frac{f'}{f}=\frac{2z}{z^2+1}=\frac1{z-i}+\frac1{z+i}$ e l'integrale è $2\pi i+2\pi i=4\pi i$ , cioè $2\pi i\cdot2$ ✓.

Grafico interattivo: f(z) = (z − 1)²/(z(z + 2)): zero doppio in 1, poli semplici in 0 e −2; su |z| = 3 (tutti interni) N − P = 0, su |z| = 1/2 (solo il polo 0) N − P = −1, su |z − 1| = 1/2 (solo lo zero 1) N − P = 2

VIII. Equazioni differenziali ordinarie

Esistenza e unicità per il problema di Cauchy

Teorema (Peano). Se $f(t, y)$ è continua in un intorno del punto $(t_0, y_0)$ , allora esiste almeno una soluzione $y(t)$ del problema di Cauchy definita in un intervallo $I$ contenente $t_0$ .

Esempio. $y' = \sqrt{|y|}$ , $y(0) = 0$ : il secondo membro è continuo, quindi esiste almeno una soluzione (per esempio $y = 0$ ), ma non è l'unica.

Grafico interattivo: Una delle soluzioni di y' = √|y|, y(0) = 0: ferma in 0 fino a t = 1, poi (t − 1)²/4

Definizione. Una funzione $f(t, y)$ è lipschitziana in y uniformemente in $t$ se esiste una costante $L \ge 0$ tale che, per ogni $t, y_1, y_2$ : $|f(t, y_2) - f(t, y_1)| \le L |y_2 - y_1|$ Una condizione sufficiente per la lipschitzianità è che la derivata parziale $\frac{\partial f}{\partial y}$ sia limitata nel dominio.

Esempio. $f(t,y) = 3y + t$ è lipschitziana in $y$ con $L = 3$ , perché $|f(t,y_2) - f(t,y_1)| = 3|y_2 - y_1|$ .

Teorema (Cauchy-Lipschitz). Sia $f$ continua e lipschitziana rispetto a $y$ in un rettangolo $R = \{ (t, y) : |t-t_0| \le a, |y-y_0| \le b \}$ . Allora esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy nell'intervallo $I = [t_0 - \alpha, t_0 + \alpha]$ , con $\alpha > 0$ .

Esempio. $y' = y$ , $y(0) = 1$ sul rettangolo $|t| \le 1$ , $|y - 1| \le 1$ : $f = y$ è lipschitziana con $L = 1$ , $K = \max|y| = 2$ e $\alpha = \min\{1, \frac{1}{2}\} = \frac{1}{2}$ ; la soluzione $e^t$ è l'unica su $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ .

Teorema (Esistenza globale). Se $f(t, y)$ è continua e lipschitziana rispetto a $y$ su tutto il dominio $[a, b] \times \mathbb{R}^n$ (con la stessa costante $L$ per ogni $t$ ), allora esiste un'unica soluzione definita su tutto l'intervallo $[a, b]$ .

Esempio. $y' = \sin y + t$ , $y(0) = 0$ : $|\partial_y f| = |\cos y| \le 1$ , quindi la soluzione è unica e definita su ogni intervallo $[a, b]$ .

Equazioni riconducibili a variabili separabili

Definizione. Un'equazione differenziale del primo ordine è a variabili separabili se il termine noto è fattorizzabile nel prodotto di una funzione della sola variabile indipendente e una della funzione incognita.

Esempio. $y' = t\,y$ è a variabili separabili, con $h(t) = t$ e $g(y) = y$ : $\frac{dy}{y} = t\,dt$ dà $y(t) = c\,e^{t^2/2}$ .

Definizione. Un'equazione è detta omogenea se è della forma $y' = f\left(\frac{y}{t}\right)$ .

Esempio: $y' = \frac{y}{t} + \frac{t}{y}$ Ponendo $z = y/t$ , si ha $z't + z = z + 1/z \implies z't = 1/z \implies z dz = \frac{1}{t} dt$ . Integrando: $\frac{z^2}{2} = \ln|t| + C \implies z = \pm \sqrt{2\ln|t| + 2C}$ .

Definizione. Le equazioni di Bernoulli hanno la forma $y' = a(t)y + b(t)y^\alpha$ , con $\alpha \in \mathbb{R}$ .

Esempio (equazione logistica): $y' = y - y^2$ . È una Bernoulli con $a = 1$ , $b = -1$ , $\alpha = 2$ (ed è anche a variabili separabili). Con $z = y^{-1}$ : $z' = -y^{-2}y' = -\frac{y - y^2}{y^2} = -z + 1$ . La lineare $z' = -z + 1$ ha soluzione $z = 1 + Ce^{-t}$ , quindi $y(t) = \frac{1}{1 + Ce^{-t}}$ più la soluzione $y \equiv 0$ . Per $C > 0$ (cioè $0 < y(0) < 1$ ) le soluzioni crescono da $0$ a $1$ con la tipica forma a "S".

Grafico interattivo: Soluzione logistica y = 1/(1 + 9e^(−t)), con y(0) = 0,1: tende all'equilibrio y = 1

Metodo di variazione delle costanti

Formula (sistema di variazione delle costanti). Sistema di variazione delle costanti. $\begin{cases} C_1' y_1 + C_2' y_2 = 0 \\ C_1' y_1' + C_2' y_2' = f(t) \end{cases}$

Esempio. Per $y'' + y = f(t)$ , con $y_1 = \cos t$ e $y_2 = \sin t$ , il sistema è $C_1' \cos t + C_2' \sin t = 0$ e $-C_1' \sin t + C_2' \cos t = f(t)$ .

Formula (soluzione del sistema di variazione delle costanti). $C_1'(t) = -\frac{y_2(t)f(t)}{W(t)}, \quad C_2'(t) = \frac{y_1(t)f(t)}{W(t)}$ Integrando queste espressioni, si ottengono le funzioni $C_1(t)$ e $C_2(t)$ : $C_1(t) = \int -\frac{y_2(t)f(t)}{W(t)} dt, \quad C_2(t) = \int \frac{y_1(t)f(t)}{W(t)} dt$

Esempio. $y'' - y = e^t$ con $y_1 = e^t$ , $y_2 = e^{-t}$ , $W = -2$ : $C_1' = \frac{1}{2}$ , $C_2' = -\frac{e^{2t}}{2}$ , quindi $y_p = \frac{t}{2}e^t - \frac{1}{4}e^t$ , e infatti $y_p'' - y_p = e^t$ .

Formula (soluzione particolare con un solo integrale). $y_p(t) = \int_{t_0}^t \frac{y_1(s)y_2(t) - y_1(t)y_2(s)}{W(s)}\,f(s)\,ds$

Esempio. Per $y'' + y = f(t)$ si ha $y_p(t) = \int_{t_0}^t \sin(t - s)\,f(s)\,ds$ ; con $f = 1$ e $t_0 = 0$ : $y_p(t) = 1 - \cos t$ .

Sistemi di equazioni differenziali lineari

Teorema (esistenza e unicità per i sistemi lineari). Esistenza e unicità. Se $A(t)$ e $B(t)$ sono continue in un intervallo $I \subseteq \mathbb{R}$ , allora per ogni dato iniziale $Y(t_0) = Y_0$ esiste una soluzione unica definita su tutto l'intervallo $I$ .

Esempio. $Y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} Y$ con $Y(0) = (1, 0)$ ha un'unica soluzione definita su tutto $\mathbb{R}$ : $Y(t) = (\cos t, -\sin t)$ .

Definizione (matrice fondamentale). Matrice fondamentale. È una matrice $n \times n$ le cui colonne sono $n$ soluzioni linearmente indipendenti del sistema. Il determinante della matrice fondamentale è detto wronskiano, il quale è non nullo in ogni punto dell'intervallo se le soluzioni sono indipendenti.

Esempio. Per $Y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} Y$ la matrice $\Phi(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$ è fondamentale, con wronskiano $\det\Phi = 1$ .

Formula (esponenziale di matrice). $e^{tA} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^kA^k}{k!} = I + tA + \frac{t^2}{2}A^2 + \dots$ (la serie converge per ogni $t$ ). Derivando termine a termine, $\frac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA}$ , e $e^{0A} = I$ : quindi la soluzione del problema di Cauchy $Y'=AY$ , $Y(0)=Y_0$ è $Y(t) = e^{tA}Y_0$

Esempio. Per $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ si ha $A^2 = 0$ , quindi $e^{tA} = I + tA = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Formula (variazione delle costanti per i sistemi). $Y_p(t) = \Phi(t) \int \Phi^{-1}(t) B(t)\, dt$

Esempio. $Y' = \operatorname{diag}(1, 2)\,Y + (e^t, 0)^T$ : $\Phi = \operatorname{diag}(e^t, e^{2t})$ , $\Phi^{-1}B = (1, 0)$ , quindi $Y_p = (t e^t, 0)$ ; infatti $(t e^t)' = e^t + t e^t$ .

IX. Complementi: superfici e flusso nello spazio

Superfici, flusso e teoremi della divergenza e di Stokes

Formula (vettore normale a una superficie parametrica). $\mathbf N=\mathbf r_u\times\mathbf r_v$

Esempio. Il piano $\mathbf r(u,v) = (u, v, 0)$ ha $\mathbf r_u = (1,0,0)$ , $\mathbf r_v = (0,1,0)$ e $\mathbf N = \mathbf r_u \times \mathbf r_v = (0,0,1)$ .

Formula (area e integrale superficiale). $\text{Area}(S)=\iint_D|\mathbf N|\,du\,dv,\qquad\iint_S f\,d\sigma=\iint_Df(\mathbf r(u,v))\,|\mathbf N|\,du\,dv.$

Esempio 1: area di un paraboloide. La parte di $z=x^2+y^2$ sotto il piano $z=9$ è il grafico sul disco $x^2+y^2\le9$ . Qui $g_x=2x$ , $g_y=2y$ e, in polari ( $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ ), $\text{Area}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3\sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta=2\pi\left[\frac{(1+4r^2)^{3/2}}{12}\right]_0^3=\frac{\pi}{6}\left(37\sqrt{37}-1\right).$ (La primitiva di $r\sqrt{1+4r^2}$ è $\frac1{12}(1+4r^2)^{3/2}$ : la derivata di $(1+4r^2)^{3/2}$ è $\frac32(1+4r^2)^{1/2}\cdot8r=12r\sqrt{1+4r^2}$ .)

Definizione. Il flusso del campo $\mathbf F$ attraverso la superficie orientata $S$ è $\Phi=\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\iint_D\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$ (con il segno $+$ se $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ ha lo stesso verso di $\mathbf n$ , altrimenti con il segno $-$ : $\mathbf n\,d\sigma=\pm\mathbf N\,du\,dv$ ).

Esempio 3: flusso attraverso un paraboloide. $\mathbf F=(x,y,2(1-z))$ attraverso $z=1-x^2-y^2$ , $x^2+y^2\le1$ , orientata verso l'alto. Qui $g_x=-2x$ , $g_y=-2y$ , quindi $\mathbf N=(2x,2y,1)$ e, sulla superficie, $1-z=x^2+y^2=r^2$ : $\mathbf F\cdot\mathbf N=2x^2+2y^2+2r^2=4r^2,\qquad\Phi=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^14r^2\;r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot1=2\pi.$

Teorema (della divergenza, di Gauss). $\iint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf F\,dV,\qquad\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.$

Esempio 5. $\mathbf F=(x,y,z)$ ha $\operatorname{div}\mathbf F=3$ . Il flusso uscente dalla sfera di raggio $R$ è $3\cdot\frac43\pi R^3=4\pi R^3$ ; confrontato con l'esempio 4: $\Phi_{\text{emisfero}}=2\pi R^3$ , il doppio per la sfera intera, come deve essere.

Teorema (di Stokes). $\iint_S\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r,\qquad\operatorname{rot}\mathbf F=(\partial_yF_3-\partial_zF_2,\ \partial_zF_1-\partial_xF_3,\ \partial_xF_2-\partial_yF_1).$

Esempio 6. $\mathbf F=(-y,x,0)$ ha $\operatorname{rot}\mathbf F=(0,0,2)$ . Sia $S$ l'emisfero $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ con normale verso l'alto. Il bordo è la circonferenza unitaria nel piano $z=0$ , percorsa in senso antiorario visto dall'alto. Circuitazione: $\oint(-y\,dx+x\,dy)=\int_0^{2\pi}(\sin^2t+\cos^2t)\,dt=2\pi$ . Dal lato del flusso, $\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=2\,n_z\,d\sigma$ e $n_z\,d\sigma=dx\,dy$ (la proiezione dell'elemento di area sul piano $xy$ ): $\iint_S2\,n_z\,d\sigma=2\cdot\text{Area}(\text{disco})=2\pi$ ✓. Lo stesso valore si trova con qualsiasi superficie che abbia quel bordo.