Serie di potenze e serie di Taylor

Prerequisiti: Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →, Criteri del rapporto e della radice per le seriePer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie →, Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →, Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →. Una serie di potenze è un "polinomio di grado infinito": le sue somme parziali sono polinomi.

Definizione e raggio di convergenza

Definizione. Una serie di potenze centrata nel punto $x_0 \in \mathbb{R}$ è una serie di funzioni della forma: $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots$$ dove i coefficienti $a_n \in \mathbb{R}$ costituiscono una successione numerica e $x \in \mathbb{R}$ è la variabile reale.

Esempio. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n+1}$ è una serie di potenze centrata in $x_0 = 1$, con coefficienti $a_n = \frac{1}{n+1}$.

Per semplicità di trattazione, spesso si assume $x_0 = 0$, riconducendosi alla forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$. Ogni altra serie può essere ricondotta a questa tramite una semplice traslazione di variabile.

La convergenza di una serie di potenze è regolata in modo estremamente preciso dal suo raggio di convergenza, il quale individua un intervallo simmetrico rispetto al centro $x_0$.

Teorema (di Cauchy-Hadamard). Sia data la serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$. Si definisca la quantità: $$L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$ Il raggio di convergenza $\rho \in [0, +\infty]$ della serie è definito come: $$\rho = \begin{cases} \frac{1}{L} & \text{se } 0 < L < +\infty \\ +\infty & \text{se } L = 0 \\ 0 & \text{se } L = +\infty \end{cases}$$ Se esiste il limite del rapporto dei coefficienti successivi, il raggio di convergenza può essere calcolato equivalentemente come: $$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$

Esempio. $\sum \frac{x^n}{n!}$ ha $\rho = \lim (n+1) = +\infty$; $\sum n!\,x^n$ ha $\rho = \lim \frac{1}{n+1} = 0$; $\sum x^n$ ha $\rho = 1$.

Teorema (sul raggio di convergenza). Sia $\rho$ il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$:

1. Se $\rho = 0$, la serie converge unicamente nel punto $x = x_0$.
2. Se $\rho = +\infty$, la serie converge assolutamente per ogni $x \in \mathbb{R}$.
3. Se $0 < \rho < +\infty$, la serie converge assolutamente per ogni $x$ tale che $|x - x_0| < \rho$, ovvero all'interno dell'intervallo aperto $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$. La serie non converge per $|x - x_0| > \rho$.

Esempio. $\sum \frac{x^n}{n}$ ha $\rho = 1$: converge assolutamente in $]-1, 1[$; in $x = 1$ diverge (serie armonica), in $x = -1$ converge (Leibniz).

Il comportamento della serie sui punti di frontiera $x = x_0 - \rho$ e $x = x_0 + \rho$ non è determinato a priori dal teorema e deve essere analizzato caso per caso tramite lo studio di specifiche serie numeriche.

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Convergenza uniforme nei dischi interni

Le proprietà di regolarità della somma di una serie di potenze (continuità, derivabilità, integrabilità) dipendono strettamente dalla convergenza uniforme della serie. Per approfondire le diverse modalità di convergenza per le serie di funzioni, si rimanda a Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioniLa convergenza puntuale valuta il limite per ogni x fissato, mentre la convergenza uniforme controlla l'errore massimo su tutto l'insieme tramite la norma del sup. La convergenza uniforme preserva la continuità e consente lo scambio con integrale e derivata; per le serie di funzioni, il criterio M di Weierstrass ne garantisce la convergenza totale e uniforme.Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni →.

Teorema (Convergenza uniforme nei compatti interni). Sia $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$. Per ogni costante $K \in (0, \rho)$, la serie converge uniformemente sull'intervallo chiuso e limitato $[x_0 - K, x_0 + K]$.

Esempio. $\sum x^n$ ha $\rho = 1$: converge uniformemente su $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, ma non su tutto $]-1, 1[$.

Dimostrazione. Si vuole applicare il test di WeierstrassTeorema che garantisce la convergenza uniforme di una serie di funzioni se i suoi termini sono dominati in modulo da una serie numerica convergente (noto anche come M-test) sulla serie di funzioni $f_n(x) = a_n (x-x_0)^n$ nell'intervallo $I = [x_0 - K, x_0 + K]$. Per ogni $x \in I$, si ha la disuguaglianza: $$|f_n(x)| = |a_n| |x - x_0|^n \leq |a_n| K^n$$ Definiamo la successione dei maggioranti $M_n = |a_n| K^n$. Poiché $K < \rho$, il punto $x_0 + K$ si trova strettamente all'interno dell'intervallo di convergenza della serie. Di conseguenza, per il teorema sul raggio di convergenza (convergenza assoluta nell'intervallo aperto), la serie numerica: $$\sum_{n=0}^{\infty} M_n = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| K^n$$ converge. Essendo i termini della serie di funzioni dominati in modulo dai termini di una serie numerica convergente, il test di Weierstrass assicura che la serie di potenze converge uniformemente sull'intervallo $[x_0 - K, x_0 + K]$. $\blacksquare$

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Derivazione e integrazione termine a termine

Grazie alla convergenza uniforme garantita all'interno di ogni sottointervallo compatto chiuso, è possibile operare l'interscambio tra i simboli di limite (derivata o integrale) e il simbolo di sommatoria.

Teorema (Integrazione termine a termine). Sia $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$. La funzione $f$ è continua sull'intervallo $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ e, per ogni coppia di punti $a, b \in (x_0 - \rho, x_0 + \rho)$, si ha: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_{a}^{b} (x-x_0)^n \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \left[ (b-x_0)^{n+1} - (a-x_0)^{n+1} \right]$$ Inoltre, la serie integrata possiede lo stesso raggio di convergenza $\rho$ della serie originale.

Esempio. Da $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ per $|x| < 1$, integrando tra $0$ e $x$: $-\ln(1-x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Teorema (Derivazione termine a termine). Sia $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$. La funzione $f$ è derivabile all'interno dell'intervallo $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ e la sua derivata prima si ottiene derivando termine a termine la serie: $$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-x_0)^{n-1}$$ La serie delle derivate ha lo stesso raggio di convergenza $\rho$ della serie di partenza.

Esempio. Derivando $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ si ottiene $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1}$ per $|x| < 1$.

Per induzione, si deduce che la funzione somma $f(x)$ è infinitamente derivabile ($C^\infty$) in $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ e che si può derivare termine a termine un numero arbitrario di volte.

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Serie di Taylor e sviluppi notevoli

Se una funzione $f$ definita in un intorno di $x_0$ è di classe $C^\infty$, è possibile associarle formalmente una serie di potenze detta serie di Taylor.

Definizione. La serie di Taylor di una funzione $f \in C^\infty$ centrata in $x_0$ è la serie di potenze: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$ Se la serie converge a $f(x)$ in un intorno di $x_0$, la funzione si dice analiticaUna funzione si dice analitica in un punto se è esprimibile come serie di potenze convergente in un intorno di quel punto.

Esempio. Per $f(x) = e^x$ in $x_0 = 0$ si ha $f^{(n)}(0) = 1$, quindi la serie di Taylor è $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, che converge a $e^x$ per ogni $x$.

1. Serie geometrica

La serie geometrica corrisponde al caso $a_n = 1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ con centro $x_0 = 0$: $$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$$ Il raggio di convergenza è $\rho = 1$. Per ogni $x$ tale che $|x| < 1$, si ha: $$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$$

Dimostrazione. Consideriamo la somma parziale $S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} x^n = 1 + x + x^2 + \dots + x^N$. Moltiplicando l'intera espressione per $x$: $$x S_N(x) = x + x^2 + x^3 + \dots + x^{N+1}$$ Sottraendo membro a membro le due relazioni, si ottiene una cancellazione telescopicaSomma in cui la maggior parte dei termini si cancella a vicenda, lasciando solo il primo e l'ultimo di tutti i termini intermedi: $$S_N(x) - x S_N(x) = 1 - x^{N+1} \implies S_N(x)(1-x) = 1 - x^{N+1}$$ Se $x \neq 1$, possiamo esplicitare $S_N(x)$: $$S_N(x) = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}$$ Calcolando il limite per $N \to \infty$, se e solo se $|x| < 1$, il termine $x^{N+1}$ tende a zero. Pertanto: $$\lim_{N \to \infty} S_N(x) = \frac{1}{1-x} \quad \text{per } |x| < 1 \quad \blacksquare$$

2. Sviluppo dell'esponenziale ($e^x$)

La funzione $f(x) = e^x$ ha derivate di ogni ordine pari a $f^{(n)}(x) = e^x$. Valutandole nel centro $x_0 = 0$ si ha $f^{(n)}(0) = 1$ per ogni $n$. Lo sviluppo di Taylor (noto come serie di Maclaurin) è: $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$$ Calcoliamo il raggio di convergenza applicando il criterio del rapporto ai coefficienti $a_n = \frac{1}{n!}$: $$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$$ Dato che $L = 0$, il raggio di convergenza è $\rho = +\infty$. La serie converge su tutto l'asse reale. Ponendo $x = 1$, si ricava la nota rappresentazione del numero di Nepero $e$: $$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$$

3. Sviluppo del seno ($\sin x$)

Le derivate della funzione $f(x) = \sin x$ in $x_0 = 0$ presentano un comportamento periodico di quattro passi:

• $f(0) = \sin(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$

I termini di grado pari si annullano sistematicamente, mentre i coefficienti dei termini dispari si alternano in segno: $$\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$$ Il raggio di convergenza della serie è $\rho = +\infty$.

4. Sviluppo del coseno ($\cos x$)

Possiamo ricavare lo sviluppo del coseno derivando termine a termine lo sviluppo del seno, poiché l'operazione è lecita su tutto $\mathbb{R}$ grazie al raggio di convergenza infinito: $$\cos x = \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{(2k+1) x^{2k}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ Ossia lo sviluppo presenta solo potenze pari con segni alternati: $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$$ Il raggio di convergenza è $\rho = +\infty$.

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Esempi svolti

Esempio 1: Determinare l'intervallo di convergenza di una serie di potenze

Si determini l'intervallo di convergenza della serie di potenze: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \cdot 3^n} (x-2)^n$$

Svolgimento: La serie è centrata in $x_0 = 2$. I coefficienti sono $a_n = \frac{(-1)^n}{n \cdot 3^n}$. Calcoliamo il limite del rapporto per determinare il raggio di convergenza: $$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1) 3^{n+1}} \cdot \frac{n \cdot 3^n}{(-1)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$ Il raggio di convergenza è $\rho = \frac{1}{L} = 3$. La serie converge assolutamente per ogni $x$ tale che $|x-2| < 3$, ovvero: $$-3 < x-2 < 3 \implies -1 < x < 5$$

Analizziamo il comportamento della serie agli estremi dell'intervallo:

• Caso $x = 5$: Sostituendo il valore nella serie originaria si ottiene: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \cdot 3^n} (5-2)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$$ Questa è la serie armonica a segni alterni, che converge per il criterio di Leibniz.
• Caso $x = -1$: Sostituendo il valore si ottiene: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \cdot 3^n} (-1-2)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} 3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$ Questa è la serie armonica semplice, che notoriamente diverge a $+\infty$.

L'intervallo di convergenza complessivo è pertanto il semiaperto $(-1, 5]$.

Esempio 2: Calcolo della somma di una serie tramite derivazione termine a termine

Si calcoli la somma della serie numerica $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ per ogni $x$ tale che $|x| < 1$.

Svolgimento: Consideriamo lo sviluppo noto della serie geometrica per $|x| < 1$: $$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$$ Poiché siamo all'interno del raggio di convergenza ($\rho = 1$), possiamo applicare il teorema di derivazione termine a termine: $$\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$$ Eseguendo la derivata rispetto a $x$ della funzione somma $\frac{1}{1-x}$: $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2}$$ Uguagliando le due espressioni otteniamo: $$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$$ Per ricondurci alla forma della serie richiesta, moltiplichiamo entrambi i membri per la variabile $x$: $$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$$ L'operazione è valida per ogni $x$ appartenente all'intervallo aperto $(-1, 1)$.

Errori comuni

1. Trascurare l'analisi dettagliata degli estremi dell'intervallo. Il raggio di convergenza individua un intervallo aperto. Alle estremità $x = x_0 \pm \rho$ la serie può assumere comportamenti differenti (convergenza assoluta, convergenza semplice o divergenza). È necessario valutare i due punti singolarmente sostituendo i valori numerici nella serie.
2. Eseguire manipolazioni algebriche al di fuori del dominio di convergenza. Formule come quella della serie geometrica $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ sono identità valide solo nell'intervallo aperto di convergenza. L'applicazione formale di queste relazioni per valori esterni (es. $x = 2$) conduce a risultati palesemente errati ed incoerenti, come $\sum_{n=0}^{\infty} 2^n = -1$.
3. Scambiare limiti e derivate sulla frontiera dell'intervallo. La possibilità di derivare e integrare termine a termine è legata alla convergenza uniforme della serie sui compatti interni. Tali operazioni sono lecite solo nell'intervallo aperto $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$. Senza ulteriori ipotesi (come il teorema di Abel, che riguarda la continuità della somma fino al bordo quando la serie converge nell'estremo), l'estensione di questi passaggi agli estremi dell'intervallo non è garantita.
4. Credere che la serie di Taylor di una funzione $C^\infty$ converga sempre alla funzione. La funzione $f(x)=e^{-1/x^2}$ (con $f(0)=0$) ha tutte le derivate nulle in $0$: la sua serie di Taylor è la serie nulla, che converge a $0$ e non a $f$ per $x\neq0$. Una funzione è analitica solo se la serie converge davvero a lei.