Topologia di Rn

Prerequisiti: Valore assoluto (modulo)Il valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →, Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →.

Per parlare di limiti, continuità e derivate di funzioni di più variabili serve sapere quando due punti di $\mathbb{R}^n$ sono "vicini". In $\mathbb{R}$ la vicinanza si misura con $|x - y|$; in $\mathbb{R}^n$ il suo posto lo prende la norma.

Struttura di $\mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^n$ è l'insieme delle $n$-uple ordinate di numeri reali $X = (x_1, x_2, \dots, x_n)$. Ha una struttura di spazio vettorialesi possono sommare due vettori componente per componente e moltiplicarli per un numero reale e di spazio metricoè definita una distanza tra due punti qualsiasi. Nel piano ($n = 2$) si scrive di solito $(x, y)$, nello spazio ($n = 3$) $(x, y, z)$.

Definizione (norma euclidea). La norma di un vettore $X \in \mathbb{R}^n$ è la sua lunghezza, cioè la distanza dall'origine: $$\|X\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$$

Esempio. $\|(1, 2, 2)\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.

• Per $n = 1$ si ritrova il valore assoluto: $\|x\| = \sqrt{x^2} = |x|$.
• Per $n = 2$ è il teorema di Pitagora: $\|(3, 4)\| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
• Per $n = 3$: $\|(1, 2, 2)\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.

La norma ha tre proprietà fondamentali (le stesse del valore assoluto):

1. Positività: $\|X\| \geq 0$, e $\|X\| = 0$ se e solo se $X = \mathbf{0}$ (una somma di quadrati è nulla solo se ogni quadrato è nullo).
2. Omogeneità: $\|\alpha X\| = |\alpha| \cdot \|X\|$ per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ (si raccoglie $\alpha^2$ sotto radice e $\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|$).
3. Disuguaglianza triangolare: $\|X + Y\| \leq \|X\| + \|Y\|$ (in un triangolo un lato non supera la somma degli altri due).

Definizione (distanza). La distanza tra due punti $X, Y \in \mathbb{R}^n$ è la norma del vettore differenza: $$d(X, Y) = \|X - Y\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$$

Esempio. $d\big((1, 2), (4, 6)\big) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Successioni e convergenza

Una successione di vettori $(X_k)$ in $\mathbb{R}^n$ converge a $L = (l_1, \dots, l_n)$ se la distanza dal limite tende a zero: $$\lim_{k \to \infty} X_k = L \iff \lim_{k \to \infty} \|X_k - L\| = 0$$

Questo equivale alla convergenza componente per componenteogni coordinata della successione tende alla coordinata corrispondente del limite: $$\lim_{k \to \infty} X_k = L \iff \lim_{k \to \infty} x_{i, k} = l_i \quad \text{per ogni } i = 1, \dots, n$$

Perché. Ogni componente è controllata dalla norma, $|x_{i,k} - l_i| \le \|X_k - L\|$ (perché $|x_{i,k} - l_i|^2$ è uno degli addendi della somma sotto la radice), quindi se la norma tende a $0$ tende a $0$ ogni componente. Viceversa, se tutte le $n$ componenti tendono a $0$, anche la radice della somma dei loro quadrati tende a $0$.

Esempio. $X_k = \left(\frac{1}{k},\ 1 + \frac{1}{k^2},\ e^{-k}\right)$ converge a $(0, 1, 0)$, perché $\frac{1}{k} \to 0$, $1 + \frac{1}{k^2} \to 1$ ed $e^{-k} \to 0$.

Se anche una sola componente non converge, la successione di vettori non converge: $\left(\frac1k, (-1)^k\right)$ non ha limite, perché $(-1)^k$ oscilla.

Palle e intorni

Definizione (palla aperta, intorno). La palla aperta di centro $X_0$ e raggio $r > 0$ è l'insieme dei punti che distano da $X_0$ meno di $r$: $$B(X_0, r) = \{X \in \mathbb{R}^n : \|X - X_0\| < r\}$$ Un intorno di $X_0$ è un insieme che contiene una palla aperta centrata in $X_0$.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $B((1,0), 2)$ è il disco aperto di centro $(1,0)$ e raggio $2$: contiene $(2,1)$, perché $\|(1,1)\| = \sqrt{2} < 2$, ma non $(3,0)$, perché $\|(2,0)\| = 2$.

• In $\mathbb{R}$ la palla $B(x_0, r)$ è l'intervallo aperto $]x_0 - r, x_0 + r[$.
• In $\mathbb{R}^2$ è il disco di centro $X_0$ e raggio $r$ senza la circonferenza di bordo.
• In $\mathbb{R}^3$ è la sfera piena senza la superficie sferica.

Classificazione dei punti rispetto a un insieme

Sia $D \subseteq \mathbb{R}^n$. Un punto $X_0 \in \mathbb{R}^n$ (che può appartenere a $D$ oppure no) è:

• interno a $D$ se esiste una palla $B(X_0, r)$ tutta contenuta in $D$ (in particolare $X_0 \in D$);
• esterno a $D$ se esiste una palla $B(X_0, r)$ tutta fuori da $D$, cioè interno al complementare;
• di frontiera se ogni palla centrata in $X_0$ contiene sia punti di $D$ sia punti fuori da $D$; l'insieme dei punti di frontiera si indica con $\partial D$;
• di accumulazione per $D$ se ogni palla centrata in $X_0$ contiene almeno un punto di $D$ diverso da $X_0$; equivalentemente, esiste una successione di punti di $D \setminus \{X_0\}$ che converge a $X_0$;
• isolato se appartiene a $D$ ma non è di accumulazione: c'è una palla intorno a lui che, oltre a lui, non contiene altri punti di $D$.

Ogni punto è di uno solo dei tre tipi interno, esterno, di frontiera. Il concetto di punto di accumulazione serve per i limiti: ha senso calcolare $\lim_{X \to X_0} f(X)$ solo se ci si può avvicinare a $X_0$ restando nel dominio di $f$.

Esempio. Sia $D = \{(x, y) : 0 < x^2 + y^2 \le 1\} \cup \{(2, 0)\}$: il disco chiuso di raggio $1$ senza il centro, più il punto $(2, 0)$.

• $\left(\frac12, 0\right)$ è interno: la palla di raggio $\frac14$ attorno a lui sta dentro il disco e non contiene l'origine.
• $(0, 0)$ è di frontiera (ogni palla attorno contiene punti di $D$ e l'origine stessa, che non sta in $D$) e di accumulazione, pur non appartenendo a $D$.
• $(1, 0)$ è di frontiera (ogni palla contiene punti con $x^2 + y^2 > 1$) e appartiene a $D$.
• $(2, 0)$ è isolato: la palla di raggio $\frac12$ attorno a lui non contiene altri punti di $D$. È anche di frontiera, perché ogni palla contiene lui (in $D$) e punti fuori.
• $(3, 3)$ è esterno.

Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi

• Aperto: tutti i suoi punti sono interni. Esempio: il disco $\{x^2 + y^2 < 1\}$; ogni palla aperta è un insieme aperto.
• Chiuso: contiene tutti i suoi punti di frontiera; equivalentemente contiene tutti i suoi punti di accumulazione, oppure il suo complementare è aperto. Esempio: il disco $\{x^2 + y^2 \le 1\}$.
• Un insieme può non essere né aperto né chiuso: $\{0 < x^2 + y^2 \le 1\}$ non è aperto (contiene $(1, 0)$, che è di frontiera) e non è chiuso (non contiene $(0, 0)$, che è di frontiera). $\mathbb{R}^n$ e $\emptyset$ sono sia aperti sia chiusi.
• Limitato: esiste $R > 0$ tale che $D \subseteq B(\mathbf{0}, R)$, cioè tutti i punti hanno norma minore di $R$. Il semipiano $\{y \ge 0\}$ è chiuso ma non limitato.
• Compatto: in $\mathbb{R}^n$ un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato (teorema di Heine-Borelin Rn caratterizza i compatti come gli insiemi chiusi e limitati). Esempi: il disco chiuso, il quadrato $[0, 1] \times [0, 1]$, un segmento con gli estremi. È l'ipotesi del teorema di Weierstrass in più variabili (Massimi e minimi assoluti su insiemi compattiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto (chiuso e limitato) di Rn ha massimo e minimo assoluti. Si trovano confrontando i valori nei punti critici interni, nei punti critici delle restrizioni ai pezzi della frontiera (parametrizzati) e nei vertici. Su un insieme chiuso illimitato, se f → +∞ all'infinito il minimo esiste e il massimo no.Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti →).
• Connesso per archi: per ogni coppia di punti $A, B \in D$ esiste una curva continua, tutta contenuta in $D$, che va da $A$ a $B$. La corona circolare $\{1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ è connessa per archi; l'unione di due dischi disgiunti no.

Errori comuni

• Confondere chiuso con limitato. Un semipiano chiuso è illimitato, quindi non compatto; un disco aperto è limitato ma non chiuso, quindi non compatto.
• Credere che i punti di frontiera stiano nell'insieme. La circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ è la frontiera del disco aperto ma non gli appartiene.
• Confondere accumulazione e appartenenza. Un punto di accumulazione può non appartenere a $D$ (l'origine nell'esempio sopra) e un punto di $D$ può non essere di accumulazione (un punto isolato).
• Pensare che "non aperto" significhi "chiuso". Molti insiemi non sono né l'uno né l'altro.