Teorema delle funzioni implicite (Dini)

Prerequisiti: Matrice jacobiana e derivata delle funzioni compostePer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte →, Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →.

Curve definite implicitamente

Spesso una relazione tra due variabili $x$ e $y$ non permette di isolare immediatamente una variabile in funzione dell'altra. Si parla di curva definita implicitamenteinsieme dei punti $(x,y)$ che soddisfano l'equazione $F(x,y)=0$.

Il problema fondamentale è capire se, dato un punto $P_0=(x_0, y_0)$ che soddisfa l'equazione, sia possibile descrivere i punti della curva vicini a $P_0$ come grafico di una funzione $y=g(x)$ (o $x=h(y)$).

L'esempio da tenere in mente: la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$. Vicino a $(0, 1)$ i suoi punti sono il grafico di $y = \sqrt{1 - x^2}$. Vicino a $(1, 0)$ no: per $x$ poco minore di $1$ ci sono due punti della curva ($y = \pm\sqrt{1 - x^2}$), per $x > 1$ nessuno. In $(1, 0)$ la tangente è verticale. Il teorema del Dini individua esattamente questi punti "cattivi" con una derivata parziale. Le curve di livello di una funzione di due variabili (Funzioni di più variabili e insiemi di livelloUna funzione f: D ⊆ Rn → R associa a ogni punto X = (x1, …, xn) un numero reale. Il dominio naturale è l'insieme dei punti in cui l'espressione ha senso (da disegnare nel piano); il grafico {(X, f(X))} sta in Rn+1 (per n = 2 è una superficie); l'insieme di livello c è {X ∈ D : f(X) = c} (per n = 2 una curva, come le isoipse di una carta).Funzioni di più variabili e insiemi di livello →) sono curve di questo tipo, con $F(x, y) = f(x, y) - c$.

Il teorema del Dini in due variabili

Il teorema del Dini stabilisce le condizioni affinché la curva possa essere "esplicitata" vicino a un suo punto.

Teorema. Sia $F: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ in un aperto $A$. Sia $(x_0, y_0) \in A$ tale che:

1. $F(x_0, y_0) = 0$
2. $F_y(x_0, y_0) \neq 0$

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ e una funzione unica $g: U \to \mathbb{R}$ di classe $C^1$ tali che $g(x_0) = y_0$ e $F(x, g(x)) = 0$ per ogni $x \in U$.

Esempio. $F(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ in $(0,1)$: $F = 0$ e $F_y = 2 \ne 0$, quindi vicino a $x_0 = 0$ si ha $y = g(x) = \sqrt{1 - x^2}$, con $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{x}{y}$ e $g'(0) = 0$.

La derivata della funzione $g(x)$ si ottiene derivando l'identità $F(x, g(x)) = 0$ rispetto a $x$ tramite la regola della catena:

Formula (derivata della funzione implicita). $$F_x(x, g(x)) + F_y(x, g(x)) \cdot g'(x) = 0 \implies g'(x) = -\frac{F_x(x, g(x))}{F_y(x, g(x))}$$

Esempio. Sulla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ nel punto $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$: $g' = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{x}{y} = -1$, la tangente ha pendenza $-1$.

Si può dividere per $F_y$ perché $F_y(x_0, y_0) \neq 0$ e, per continuità, $F_y$ resta diversa da zero vicino al punto. Questa è anche l'idea del perché serve l'ipotesi: se $F_y \neq 0$, per esempio $F_y > 0$ in un rettangolo attorno al punto, ogni funzione $y \mapsto F(x, y)$ con $x$ fissato è strettamente crescente, quindi si annulla al più una volta. Il valore $y$ in cui si annulla è $g(x)$.

Retta tangente e derivata seconda

Conoscendo la derivata $g'(x_0)$, è possibile determinare l'equazione della retta tangente alla curva nel punto $(x_0, y_0)$: $$y - y_0 = -\frac{F_x(x_0, y_0)}{F_y(x_0, y_0)} (x - x_0)$$ Moltiplicando per $F_y$ si ottiene la forma simmetrica $$F_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)\,(y - y_0) = 0$$ cioè la retta per $(x_0, y_0)$ ortogonale al gradiente $\nabla F(x_0, y_0) = (F_x, F_y)$: è il fatto che il gradiente è ortogonale alle curve di livello, visto in Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →. Questa forma vale anche quando la tangente è verticale ($F_y = 0$, $F_x \neq 0$).

Per calcolare $g''(x)$, si deriva ulteriormente l'espressione di $g'(x)$ considerando $g$ come funzione di $x$: $$g''(x) = -\frac{d}{dx} \left( \frac{F_x}{F_y} \right) = -\frac{(F_{xx} + F_{xy}g')F_y - F_x(F_{yx} + F_{yy}g')}{F_y^2}$$ (regola del quoziente; ogni derivata parziale di $F$ è calcolata in $(x, g(x))$, quindi si deriva con la regola della catena: $\frac{d}{dx}F_x(x, g(x)) = F_{xx} + F_{xy}g'$). In pratica è più comodo derivare due volte l'identità $F(x, g(x)) = 0$, come nell'esempio sotto.

Estremi della funzione implicita. $g$ ha un punto stazionario dove $g' = 0$, cioè dove $F_x = 0$ (e $F_y \neq 0$). Lì la formula si riduce a $g''(x_0) = -\dfrac{F_{xx}(x_0, y_0)}{F_y(x_0, y_0)}$: se è positiva $x_0$ è di minimo locale per $g$, se è negativa di massimo.

Esempi numerici

Circonferenza unitaria

Consideriamo $F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ nel punto $(0, 1)$.

1. $F(0,1) = 0^2 + 1^2 - 1 = 0$.
2. $F_y(x,y) = 2y$, quindi $F_y(0,1) = 2 \neq 0$. Il teorema è applicabile. La derivata è $g'(x) = - \frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$. Nel punto $(0,1)$, $g'(0) = 0$. Controllo con la funzione esplicita $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$: $g'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{y}$. Inoltre $g''(0) = -\frac{F_{xx}}{F_y} = -\frac{2}{2} = -1 < 0$: $x = 0$ è di massimo per $g$, come si vede dal semicerchio superiore.

In $(1, 0)$ invece $F_y = 0$: il teorema non si applica rispetto a $y$. Ma $F_x(1, 0) = 2 \neq 0$, quindi si può esplicitare $x$ in funzione di $y$: $x = h(y) = \sqrt{1 - y^2}$.

Un esempio senza formula esplicita

$F(x, y) = x\,e^y + y - 1 = 0$ vicino a $(0, 1)$. Non si riesce a ricavare $y$ in forma chiusa, ma:

1. $F(0, 1) = 0 + 1 - 1 = 0$;
2. $F_y = x e^y + 1$, quindi $F_y(0, 1) = 1 \neq 0$; $F$ è $C^1$ (somma e prodotto di funzioni $C^\infty$).

Esiste quindi $g$ con $g(0) = 1$. Derivando l'identità $x e^{g(x)} + g(x) - 1 = 0$: $$e^{g} + x e^{g} g' + g' = 0 \ \xrightarrow{x = 0,\ g = 1}\ e + g'(0) = 0 \ \Rightarrow\ g'(0) = -e$$ Retta tangente: $y = 1 - e\,x$. Derivando ancora (la derivata di $e^g$ è $e^g g'$): $$2e^{g}g' + x\left(e^{g}(g')^2 + e^{g}g''\right) + g'' = 0 \ \xrightarrow{x = 0}\ 2e\,(-e) + g''(0) = 0 \ \Rightarrow\ g''(0) = 2e^2 > 0$$ Vicino a $x = 0$ la funzione implicita è convessa e sta sopra la retta tangente.

Punti singolari

Consideriamo il folium di Cartesio $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3axy = 0$ con $a > 0$. Nei punti dove $F_y = 3y^2 - 3ax = 0$, il teorema non garantisce l'esplicitazione rispetto a $y$. Se $F_x = F_y = 0$ il punto si dice singolare: il teorema non si applica né rispetto a $y$ né rispetto a $x$, e spesso la curva lì si incrocia o ha una cuspide. Nell'origine $F_x = 3x^2 - 3ay = 0$ e $F_y = 0$: è un punto singolare, e infatti il folium passa due volte per l'origine (con tangenti lungo i due assi), quindi vicino all'origine non è il grafico di nessuna funzione.

Caso $F(x,y,z)=0$

Se $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, sotto l'ipotesi $F_z(P_0) \neq 0$, la superficie $F(x,y,z)=0$ può essere espressa localmente come $z = g(x,y)$. Le derivate parziali sono: $$g_x = -\frac{F_x}{F_z}, \quad g_y = -\frac{F_y}{F_z}$$ (si deriva $F(x, y, g(x, y)) = 0$ rispetto a $x$ e rispetto a $y$). Esempio: la sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ vicino a $(0, 0, 1)$ ha $F_z = 2z = 2 \neq 0$, e $g_x = -\frac{x}{z}$, $g_y = -\frac{y}{z}$, entrambe nulle nel polo nord.

Errori comuni

• Dimenticare di verificare $F(x_0, y_0) = 0$.
• Applicare il teorema quando $F_y = 0$: in tal caso il punto potrebbe avere tangente verticale (come $(1,0)$ sulla circonferenza), dove $y$ non è funzione di $x$.
• Credere che il teorema dia $g$ su tutto il dominio: la funzione implicita esiste solo in un intorno di $x_0$.
• Derivare l'identità $F(x, g(x)) = 0$ dimenticando che $g$ dipende da $x$ (per esempio scrivere che la derivata di $e^{g(x)}$ è $e^{g(x)}$ invece di $e^{g(x)}g'(x)$).
• Sbagliare il segno nella formula della derivata $g'(x)$.