Differenziabilità e gradiente

Prerequisiti: Derivate parziali e derivate direzionaliLa derivata parziale ∂f/∂xi(x0) è la derivata della funzione di una variabile che si ottiene fissando tutte le altre variabili: in pratica si deriva in xi trattando le altre come costanti. Il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. La derivata direzionale lungo un versore v è il limite di [f(x0 + hv) − f(x0)]/h. In più variabili avere tutte le derivate (anche direzionali) non garantisce la continuità.Derivate parziali e derivate direzionali →, Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →.

In una variabile, $f$ derivabile in $x_0$ significa $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$: vicino a $x_0$ la funzione è approssimata dalla retta tangente con un errore trascurabile. In più variabili le derivate parziali da sole non danno questa proprietà (si è visto che non garantiscono neppure la continuità). La si chiede allora come definizione.

Definizione di funzione differenziabile

Una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è differenziabile in un punto $x_0$ interno ad $A$ se esiste un vettore $a = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n$ tale che l'incremento della funzione possa essere approssimato linearmente:

$$f(x) = f(x_0) + a \cdot (x - x_0) + o(\|x - x_0\|) \quad \text{per } x \to x_0$$

dove $a \cdot (x - x_0)$ è il differenzialeprodotto scalare tra il vettore gradiente e il vettore incremento e $o(\|x - x_0\|)$ è una funzione o-piccolotermine che tende a zero più velocemente della norma dell'incremento che descrive l'errore di approssimazione.

Teorema. Se $f$ è differenziabile in $x_0$, allora il vettore $a$ è univocamente determinato ed è pari al gradiente di $f$ in $x_0$, ovvero $a = \nabla f(x_0)$. Inoltre, $f$ è derivabile e continua in $x_0$.

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ è differenziabile in $(1,2)$ con $a = \nabla f(1,2) = (2, 4)$: $f(x,y) = 5 + 2(x-1) + 4(y-2) + o(\|(x,y) - (1,2)\|)$.

Perché.

• Continuità: per $x \to x_0$ si ha $a \cdot (x - x_0) \to 0$ e $o(\|x - x_0\|) \to 0$, quindi $f(x) \to f(x_0)$.
• $a = \nabla f(x_0)$: si prende $x = x_0 + h e_i$ (ci si muove lungo l'asse $i$). Allora $a \cdot (x - x_0) = h a_i$ e $$\frac{f(x_0 + he_i) - f(x_0)}{h} = a_i + \frac{o(|h|)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} a_i$$ quindi la derivata parziale $i$-esima esiste e vale $a_i$.

In due variabili, posto $h = x - x_0$ e $k = y - y_0$, la definizione si riscrive come un limite da verificare: $$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - f_x(x_0, y_0)\,h - f_y(x_0, y_0)\,k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$$ È il test di differenziabilità: prima si calcolano le derivate parziali (se non esistono, $f$ non è differenziabile), poi si controlla questo limite con i metodi di Limiti e continuità per funzioni di più variabiliIl limite di una funzione di più variabili esiste se il valore si avvicina a $L$ indipendentemente dal percorso scelto; si verifica con stime in coordinate polari o si nega usando restrizioni a curve diverse. La continuità richiede che il limite coincida con il valore della funzione nel punto.Limiti e continuità per funzioni di più variabili →.

Gradiente e piano tangente

Il gradiente è il vettore delle derivate parziali, $\nabla f(x_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \right)$ (vedi Derivate parziali e derivate direzionaliLa derivata parziale ∂f/∂xi(x0) è la derivata della funzione di una variabile che si ottiene fissando tutte le altre variabili: in pratica si deriva in xi trattando le altre come costanti. Il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. La derivata direzionale lungo un versore v è il limite di [f(x0 + hv) − f(x0)]/h. In più variabili avere tutte le derivate (anche direzionali) non garantisce la continuità.Derivate parziali e derivate direzionali →). Se la funzione è differenziabile, il piano tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$ è dato dall'equazione:

$$z = f(x_0) + \nabla f(x_0) \cdot (x - x_0)$$

In due variabili, esplicitamente: $$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0)$$

È il piano che passa per il punto del grafico e ha, lungo i due assi, le stesse pendenze della superficie. La differenziabilità dice che la distanza verticale tra grafico e piano è $o(\|x - x_0\|)$, cioè trascurabile rispetto alla distanza da $x_0$.

Esempio. $f(x, y) = x^2 + y^2$ in $(1, 2)$: $f(1, 2) = 5$, $f_x = 2x = 2$, $f_y = 2y = 4$. Piano tangente: $z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$, cioè $z = 2x + 4y - 5$.

Condizione sufficiente

Non sempre l'esistenza delle derivate parziali garantisce la differenziabilità. Si utilizza quindi il criterio di classe $C^1$:

Teorema del differenziale totale. Se $f$ ammette derivate parziali in un intorno di $x_0$ e queste sono continuefunzioni il cui limite nel punto coincide col valore nel punto in $x_0$, allora $f$ è differenziabile in $x_0$.

Esempio. $f(x,y) = x e^y$ ha derivate parziali $e^y$ e $x e^y$, continue su tutto $\mathbb{R}^2$: quindi $f$ è differenziabile in ogni punto.

Una funzione le cui derivate parziali sono continue in ogni punto di un aperto si dice di classe C^1funzione derivabile con continuità.

Derivata direzionale e gradiente

Per una funzione differenziabile, la derivata lungo una direzione $v$ (con $\|v\|=1$) non deve essere calcolata necessariamente tramite il limite del rapporto incrementale:

Formula del gradiente. Se $f$ è differenziabile in $x_0$, allora per ogni versore $v$ esiste la derivata direzionale $D_v f(x_0)$ ed è data da: $$D_v f(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v$$

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ in $(1,2)$ con $v = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$: $D_v f = (2, 4) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = \frac{6 + 16}{5} = \frac{22}{5}$.

Perché. Si prende $x = x_0 + hv$ nella definizione: $\|x - x_0\| = |h|$ (perché $\|v\| = 1$) e $$\frac{f(x_0 + hv) - f(x_0)}{h} = \frac{h\,\nabla f(x_0) \cdot v + o(|h|)}{h} \to \nabla f(x_0) \cdot v$$

Interpretazione geometrica

1. Massima crescita: Il gradiente $\nabla f(x_0)$ punta nella direzione di massima crescita della funzione. Il valore della massima pendenza è dato da $\|\nabla f(x_0)\|$.

   Perché: se $\theta$ è l'angolo tra $\nabla f(x_0)$ e il versore $v$, $D_v f(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v = \|\nabla f(x_0)\| \cos\theta$. È massima per $\theta = 0$ ($v$ concorde al gradiente, valore $\|\nabla f\|$), minima per $\theta = \pi$ (direzione opposta, valore $-\|\nabla f\|$) e nulla per $\theta = \frac{\pi}{2}$.

2. Ortogonalità: Il gradiente è ortogonale alla curva di livelloinsieme dei punti dove f vale una costante c passante per $x_0$.

   Perché: lungo la curva di livello $f$ è costante, quindi la derivata nella direzione tangente alla curva è $0$; per il punto 1 quella direzione forma un angolo retto con il gradiente.

Esempio. $f(x, y) = x^2 + y^2$ in $(1, 2)$: $\nabla f = (2, 4)$, che punta in direzione radiale verso l'esterno, perpendicolare alla circonferenza di livello $x^2 + y^2 = 5$. La massima pendenza è $\|(2,4)\| = \sqrt{20} = 2\sqrt5$; lungo la tangente alla circonferenza, per esempio $v = \frac{1}{\sqrt5}(2, -1)$, la derivata è $\frac{4 - 4}{\sqrt5} = 0$.

Esempio numerico svolto

Si consideri $f(x, y) = e^{xy} + x^2y$. Verifichiamo la differenziabilità in $(1, 1)$.

1. Calcolo le derivate parziali: $\frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy} + 2xy$ $\frac{\partial f}{\partial y} = xe^{xy} + x^2$
2. In $(1, 1)$: $f_x(1,1) = e + 2$, $f_y(1,1) = e + 1$.
3. Le derivate parziali sono funzioni elementari continue su tutto $\mathbb{R}^2$. Per il teorema del differenziale totale, $f$ è differenziabile in $(1, 1)$ (anzi in ogni punto).
4. Piano tangente in $(1, 1)$: $f(1, 1) = e + 1$, quindi $z = e + 1 + (e + 2)(x - 1) + (e + 1)(y - 1)$.

Esercizio: una funzione derivabile, continua ma non differenziabile

$f(x, y) = \dfrac{\sin(xy)}{y}$ per $y \neq 0$, $f(x, 0) = 0$. Si studia l'origine.

1. Continuità. Con $|\sin t| \leq |t|$: $\ |f(x, y)| \leq \frac{|xy|}{|y|} = |x| \to 0$ (per $y = 0$ la funzione è $0$). Quindi $f$ è continua in $(0, 0)$.
2. Derivate parziali. $f(h, 0) = 0$, quindi $f_x(0,0) = 0$. $f(0, h) = \frac{\sin 0}{h} = 0$, quindi $f_y(0, 0) = 0$.
3. Differenziabilità. Il piano candidato è $z = 0$; bisogna vedere se $\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} \to 0$. Lungo $k = mh$ con $m \neq 0$, usando $\sin t \sim t$: $$\frac{\sin(mh^2)}{mh\,\sqrt{h^2(1+m^2)}} \sim \frac{mh^2}{mh\,|h|\sqrt{1+m^2}} = \frac{h}{|h|}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}$$ che vale $\pm\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}$ a seconda del segno di $h$: non tende a $0$. La funzione non è differenziabile nell'origine, pur essendo continua e derivabile.

Funzioni con un parametro nell'esponente: la procedura in quattro passi

Nei temi d'esame la funzione è quasi sempre del tipo $f(x,y)=\frac{g(x,y)}{(x^2+y^2)^a}$ in $(0,0)$ (con $f(0,0)=0$), o contiene valori assoluti e radici, e si chiede per quali valori del parametro $f$ è continua, derivabile, differenziabile. Si procede così.

1. Forma polare. Si pone $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; il numeratore, omogeneo di grado $p$ (cioè $g\approx r^p\,h(\theta)$ con $h$ limitata e non nulla), dà $f\approx r^{\,p-2a}\,h(\theta)$. Se compaiono $\log(1-x)$, $\sin x$, $e^x-1$ ecc., si sostituisce con il loro equivalente ($-x$, $x$, $x$) e si controlla che il fattore residuo tenda a $1$ (limitato).
2. Continuità: $f\to0$ se e solo se $p-2a>0$. Per $p=2a$ il limite dipende da $\theta$ (non esiste, a meno che $h\equiv0$); per $p<2a$ diverge.
3. Derivate parziali in $(0,0)$: con la definizione, perché $f(0,0)$ è dato a parte. Se $f$ si annulla sugli assi, $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ per ogni valore del parametro (anche dove $f$ non è continua).
4. Differenziabilità: il limite da studiare è $\frac{f}{r}\approx r^{\,p-2a-1}\,h(\theta)$ (il gradiente è nullo): tende a $0$ se e solo se $p-2a-1>0$, cioè $a<\frac{p-1}{2}$. Quindi la soglia di differenziabilità è sempre più bassa di $\frac12$ di quella di continuità.

Esempio completo (con $p=3$: continua per $a<\frac32$, differenziabile per $a<1$): Esercizio - continuità e differenziabilità con un parametro (tema d'esame novembre 2012).

Valori assoluti e radici. Per $f_\alpha(x,y)=\sqrt{|x|^\alpha|y|}$ le derivate parziali in $0$ valgono $0$ (la funzione si annulla sugli assi), ma la derivata nella direzione $(v,w)$ è il limite di $\frac{|t|^{(\alpha+1)/2}}{t}\sqrt{|v|^\alpha|w|}$: esiste solo se $\alpha>1$. Se una derivata direzionale non esiste, $f$ non può essere differenziabile (Esercizio - derivate e differenziabilità di una radice con valori assoluti (tema d'esame febbraio 2013)).

Errori comuni

• Scambiare le implicazioni: La derivabilità non implica la differenziabilità. Il controesempio classico è $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ (con $f(0,0)=0$), che è derivabile nell'origine ma non continua, dunque non differenziabile.
• Dimenticare il versore: Nel calcolo di $D_v f = \nabla f \cdot v$, il vettore $v$ deve essere sempre un versore ($\|v\|=1$). Se la direzione è data da un vettore non unitario, bisogna prima normalizzarlo.
• Condizione sufficiente scambiata per necessaria: La continuità delle derivate parziali è sufficiente ma non necessaria. Una funzione può essere differenziabile anche se le derivate parziali sono discontinue (per esempio $(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ nell'origine): in quel caso si usa il test con il limite.
• Fermarsi alle derivate parziali: trovare $f_x(0,0)$ e $f_y(0,0)$ non basta; bisogna ancora verificare il limite del test di differenziabilità.