Numeri complessi

Prerequisiti: Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →, Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →.

Forma algebrica e operazioni fondamentali

Definizione. Un numero complesso $z$ è un'espressione della forma: $$z = x + iy$$ dove $x$ e $y$ sono numeri reali, e unità immaginariasimbolo $i$ tale che $i^2 = -1$.

Esempio. $z = 3 - 2i$ ha $\operatorname{Re}(z) = 3$ e $\operatorname{Im}(z) = -2$; inoltre $(1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = 5 + 5i$.

Il numero reale $x$ è detto parte reale di $z$ ($\text{Re}(z)$), mentre $y$ è la parte immaginaria ($\text{Im}(z)$). L'insieme dei numeri complessi è denotato con $\mathbb{C}$.

Dati due numeri complessi $z_1 = x_1 + iy_1$ e $z_2 = x_2 + iy_2$, le operazioni di base si definiscono come segue:

• Somma: $(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$
• Prodotto: $(x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$, ottenuto sfruttando la regola ordinaria del prodotto algebrico e ponendo $i^2 = -1$.

Definizione. Il coniugato di un numero complesso $z = x + iy$ è il numero complesso: $$\bar{z} = x - iy$$

Esempio. $\overline{3 - 2i} = 3 + 2i$ e $z\bar{z} = (3 - 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13$.

Definizione. Il modulo (o valore assoluto) di $z = x + iy$ è il numero reale non negativo: $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Il modulo gode di importanti proprietà algebriche, tra cui:

1. $z \cdot \bar{z} = |z|^2$
2. $|\text{Re}(z)| \le |z|$ e $|\text{Im}(z)| \le |z|$
3. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| |z_2|$
4. Disuguaglianza triangolare: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$

Il coniugato permette di calcolare facilmente il reciproco di un numero complesso non nullo $z = x + iy$: $$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i\frac{y}{x^2 + y^2}$$

Esempio numerico. Siano $z_1 = 3 + 4i$ e $z_2 = 1 - 2i$. Calcoliamo somma, prodotto e quoziente:

• Somma: $z_1 + z_2 = (3 + 1) + i(4 - 2) = 4 + 2i$.
• Prodotto: $z_1 z_2 = (3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i - 8(-1) = 11 - 2i$.
• Quoziente: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 - 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{3 + 6i + 4i + 8i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{-5 + 10i}{1 + 4} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$.

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Piano di Argand-Gauss

I numeri complessi possono essere visualizzati geometricamente nel piano di Argand-Gauss, un piano cartesiano in cui l'asse delle ascisse rappresenta la parte reale ($x$) e l'asse delle ordinate rappresenta la parte immaginaria ($y$). In questa rappresentazione, il numero complesso $z = x + iy$ corrisponde al punto di coordinate $(x, y)$ o al vettore con origine nell'origine degli assi e termine in $(x, y)$.

Il modulo $|z|$ rappresenta la lunghezza del vettore, ovvero la distanza euclidea del punto dall'origine. La disuguaglianza triangolare $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ trova qui un'immediata interpretazione geometrica: la lunghezza di un lato di un triangolo è minore o uguale alla somma delle lunghezze degli altri due lati.

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Forma polare, trigonometrica e formula di Eulero

Ogni numero complesso non nullo $z = x + iy$ può essere identificato anche tramite coordinate polari nel piano: la distanza $r = |z|$ dall'origine e l'angolo $\theta$ (detto argomento di $z$) formato dal vettore con il semiasse positivo delle ascisse.

Relazioni di conversione: $$x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta$$

Definizione. La forma trigonometrica di un numero complesso è: $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$ dove $r > 0$ e $\theta = \arg(z)$ è definito a meno di multipli interi di $2\pi$.

Utilizzando la notazione esponenziale introdotta tramite le serie (rimandando alla trattazione approfondita in Funzioni elementari complesseLe funzioni elementari complesse sono estese tramite le loro serie di potenze nel piano complesso. La formula di Eulero $e^{iz} = \cos z + i \sin z$ collega l'esponenziale alle funzioni trigonometriche, mentre il logaritmo complesso risulta essere una funzione polidroma.Funzioni elementari complesse →), si definisce la formula di Eulero: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

Ciò permette di esprimere ogni numero complesso in forma polare (o esponenziale): $$z = r e^{i\theta}$$

Esempio numerico. Convertire $z = -1 - i$ in forma polare.

1. Calcoliamo il modulo: $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
2. Troviamo l'argomento $\theta$: il punto si trova nel terzo quadrante del piano di Argand-Gauss ($x < 0, y < 0$). Si ha $\tan\theta = \frac{-1}{-1} = 1$, da cui $\theta = \frac{5\pi}{4}$ (equivalente a $-\frac{3\pi}{4}$ a meno di $2\pi$: $\arctan 1=\frac\pi4$ da sola darebbe il quadrante sbagliato).
3. La forma polare è $z = \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}}$.

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Prodotto, potenza e formula di De Moivre

La forma polare semplifica notevolmente il calcolo di prodotti, quozienti e potenze. Dati due numeri complessi $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ e $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$:

• Prodotto: $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ (i moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano).
• Quoziente: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ (i moduli si dividono, gli argomenti si sottraggono).

Per la potenza ennesima di un numero complesso (con $n$ intero), vale la formula di De Moivre: $$z^n = (r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$$

Esempio numerico. Calcolare $(1 + i)^8$.

1. Convertiamo $1 + i$ in forma polare: $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ e $\theta = \frac{\pi}{4}$. Quindi $1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.
2. Applichiamo la formula di De Moivre con $n = 8$: $$(1 + i)^8 = \left(\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i \frac{8\pi}{4}} = 2^4 e^{i 2\pi} = 16 (\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 16(1 + 0) = 16$$

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Radici n-esime

Teorema. Dato un numero complesso non nullo $z = r e^{i\theta}$ e un intero positivo $n \ge 1$, esistono esattamente $n$ radici ennesime distinte di $z$, date dalla formula: $$w_k = \sqrt[n]{r} \, e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1$$

Geometricamente, le $n$ radici ennesime di un numero complesso si trovano sui vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto in una circonferenza di raggio $\sqrt[n]{r}$ centrata nell'origine.

Esempio numerico. Trovare tutte le soluzioni dell'equazione $w^3 = -8$.

1. Scriviamo $-8$ in forma polare: il modulo è $r = |-8| = 8$, e l'argomento è $\theta = \pi$ (poiché si trova sul semiasse negativo delle reali). Quindi $-8 = 8 e^{i\pi}$.
2. Applichiamo la formula delle radici terze ($n=3$): $$w_k = \sqrt[3]{8} \, e^{i \frac{\pi + 2k\pi}{3}} = 2 e^{i \frac{\pi + 2k\pi}{3}}, \quad k = 0, 1, 2$$
3. Calcoliamo i singoli valori al variare di $k$:
   • Per $k = 0$: $w_0 = 2 e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$.
   • Per $k = 1$: $w_1 = 2 e^{i\frac{3\pi}{3}} = 2 e^{i\pi} = 2(\cos\pi + i\sin\pi) = 2(-1 + 0) = -2$.
   • Per $k = 2$: $w_2 = 2 e^{i\frac{5\pi}{3}} = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3}$.

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Equazioni nel campo complesso

Le equazioni algebriche nel campo complesso si risolvono spesso sfruttando la scomposizione in fattori, le formule delle radici ennesime o ponendo $z = x + iy$ quando l'equazione coinvolge anche il coniugato $\bar{z}$.

Esempio numerico. Risolvere l'equazione $z^2 - 2z + 5 = 0$. Trattandosi di un'equazione di secondo grado a coefficienti reali, possiamo applicare la formula risolutiva classica sfruttando il discriminante negativo ($\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 20 = -16$): $$z = \frac{-(-{2}) \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16 \cdot (-1)}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$$ Le due soluzioni complesse coniugate sono $z_1 = 1 + 2i$ e $z_2 = 1 - 2i$.

Esempio con il coniugato. Risolvere $z^2=\bar z$. Scrivendo $z=re^{i\theta}$ si ha $\bar z=re^{-i\theta}$, quindi $r^2e^{2i\theta}=re^{-i\theta}$. Uguagliando i moduli: $r^2=r$, cioè $r=0$ oppure $r=1$. Per $r=1$, uguagliando gli argomenti a meno di $2k\pi$: $2\theta=-\theta+2k\pi$, cioè $\theta=\frac{2k\pi}{3}$. Le soluzioni sono $z=0$, $z=1$, $z=e^{2\pi i/3}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$, $z=e^{4\pi i/3}=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$.

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Errori comuni

• Confondere l'argomento principale: Quando si calcola l'angolo $\theta$ tramite l'arcotangente di $\frac{y}{x}$, bisogna sempre verificare in quale quadrante si trova il punto $(x, y)$ sul piano di Argand-Gauss, aggiungendo eventualmente $\pi$ o $-\pi$ se la funzione $\arctan$ restituisce un angolo nel quadrante errato.
• Applicare De Moivre a basi non polari: La formula di De Moivre e le proprietà delle potenze con argomenti valgono rigorosamente quando il numero è espresso in forma polare o esponenziale, non direttamente sulla somma algebrica $x + iy$ (ad esempio, $(x+iy)^n \neq x^n + i^n y^n$).
• Cercare una sola radice: $w^n=z$ ha $n$ soluzioni distinte in $\mathbb{C}$ (per esempio $w^2=-4$ ha $w=\pm2i$), non una sola come il simbolo $\sqrt{\ }$ nei reali.
• Dimenticare che il modulo non è lineare: $|z_1+z_2|\ne|z_1|+|z_2|$ in generale (vale solo la disuguaglianza, con uguaglianza se i due vettori hanno la stessa direzione).