Funzioni di più variabili e insiemi di livello

Prerequisiti: Topologia di RnIn Rn la distanza tra due punti è la norma euclidea della differenza, ‖X − Y‖ = √(Σ(xi − yi)²). Con le palle aperte B(X0, r) si classificano i punti rispetto a un insieme D (interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati) e si definiscono insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti (= chiusi e limitati) e connessi per archi.Topologia di Rn →, Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →.

Molte grandezze dipendono da più di un numero: la temperatura in una stanza dipende dalle tre coordinate del punto, l'area di un rettangolo da base e altezza ($A(b, h) = bh$). Servono quindi funzioni che hanno come ingresso un vettore.

Definizione. Una funzione reale di $n$ variabili reali è una legge $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ che associa a ogni punto $X = (x_1, \dots, x_n) \in D$ un unico numero reale $f(X)$.

Esempio. $f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ è una funzione di $n = 2$ variabili, definita sul disco $x^2 + y^2 \le 1$, con $f(0,0) = 1$.

Rispetto al caso di una variabile cambia solo l'ingresso: l'uscita resta un numero. Le funzioni con uscita vettoriale si vedono in Matrice jacobiana e derivata delle funzioni compostePer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte →.

Dominio naturale

Definizione. Il dominio naturale di $f$ è l'insieme dei punti $X \in \mathbb{R}^n$ in cui l'espressione di $f$ ha senso.

Le condizioni sono le stesse di una variabile: denominatori $\neq 0$, argomenti dei logaritmi $> 0$, radicandi delle radici di indice pari $\geq 0$. La differenza è che la soluzione non è un intervallo ma una regione del piano (o dello spazio), che conviene disegnare.

Esempio 1. $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$. Si impone $1 - x^2 - y^2 \geq 0$, cioè $x^2 + y^2 \leq 1$: è il disco chiuso di centro l'origine e raggio $1$, circonferenza compresa (perché $\ge$ e non $>$).

Esempio 2. $f(x, y) = \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}$. Il prodotto è $\geq 0$ quando i due fattori hanno lo stesso segno (o uno dei due è nullo):

• $1 - x^2 \geq 0$ e $1 - y^2 \geq 0$, cioè $|x| \leq 1$ e $|y| \leq 1$: il quadrato $[-1, 1] \times [-1, 1]$;
• $1 - x^2 \leq 0$ e $1 - y^2 \leq 0$, cioè $|x| \geq 1$ e $|y| \geq 1$: le quattro regioni "d'angolo" fuori dal quadrato, per esempio $x \ge 1,\ y \ge 1$.

Il dominio è l'unione delle due parti. Le strisce come $\{|x| < 1,\ |y| > 1\}$ sono escluse, perché lì un fattore è positivo e l'altro negativo.

Esempio 3. $f(x, y) = \dfrac{\log(y - x^2)}{x - 1}$. Serve $y - x^2 > 0$ (argomento del logaritmo) e $x \neq 1$ (denominatore). Il dominio è la regione strettamente sopra la parabola $y = x^2$, privata dei punti della retta verticale $x = 1$. La parabola stessa è esclusa.

Grafico

Definizione. Il grafico di $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è l'insieme $$G_f = \{(X, f(X)) : X \in D\} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$$

Esempio. Il grafico di $f(x,y) = x^2 + y^2$ è il paraboloide $z = x^2 + y^2$ in $\mathbb{R}^3$; contiene il punto $(1, 1, 2)$.

Per $n = 2$ si pone $z = f(x, y)$: sopra ogni punto $(x, y)$ del dominio si alza il punto di quota $f(x, y)$, e si ottiene una superficie nello spazio. Per $n \geq 3$ il grafico sta in $\mathbb{R}^4$ o oltre e non si può disegnare.

Superfici da riconoscere:

• Piano: $z = ax + by + c$.
• Paraboloide: $z = x^2 + y^2$, una "coppa" con il vertice nell'origine.
• Cono: $z = \sqrt{x^2 + y^2}$: la quota è la distanza dall'origine, quindi cresce linearmente.
• Semisfera: $z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$; elevando al quadrato $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ con $z \geq 0$, la metà superiore della sfera di raggio $R$.
• Sella: $z = x^2 - y^2$.

Un modo per capire la forma è guardare le restrizioni a rette, cioè fissare una variabile. Per la sella, sull'asse $x$ ($y = 0$) si ha $z = x^2$, una parabola verso l'alto; sull'asse $y$ ($x = 0$) si ha $z = -y^2$, una parabola verso il basso. Nell'origine la superficie sale in una direzione e scende nell'altra, come una sella da cavallo.

Insiemi di livello

Disegnare una superficie è difficile; le carte geografiche risolvono il problema con le isoipse, le linee che uniscono i punti alla stessa quota.

Definizione. L'insieme di livello $c$ di $f$ è $$L_c = \{X \in D : f(X) = c\}$$ Per $n = 2$ si chiama curva di livello: è la proiezione sul piano $xy$ dell'intersezione del grafico con il piano orizzontale $z = c$. Per $n = 3$ è in genere una superficie.

Esempio. Per $f(x,y) = x^2 + y^2$ l'insieme di livello $L_c$ è la circonferenza di raggio $\sqrt{c}$ se $c > 0$, il solo punto $(0,0)$ se $c = 0$, l'insieme vuoto se $c < 0$.

Come si trovano: si scrive l'equazione $f(x, y) = c$ e si riconosce la curva, al variare di $c$.

• Paraboloide $f(x, y) = x^2 + y^2$:

  • $c > 0$: $x^2 + y^2 = c$, circonferenze di centro l'origine e raggio $\sqrt{c}$;
  • $c = 0$: il solo punto $(0, 0)$;
  • $c < 0$: insieme vuoto (una somma di quadrati non è negativa).

  Le circonferenze si allargano come $\sqrt c$: passando da $c = 1$ a $c = 4$ il raggio va da $1$ a $2$. Più le curve di livello sono fitte, più la superficie è ripida.

• Cono $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$: per $c > 0$ circonferenze di raggio $c$, equidistanziate (pendenza costante).

• Sella $f(x, y) = x^2 - y^2$: per $c \neq 0$ le curve $x^2 - y^2 = c$ sono iperboli (con i rami lungo l'asse $x$ se $c > 0$, lungo l'asse $y$ se $c < 0$); per $c = 0$, $x^2 = y^2$ dà le due rette $y = x$ e $y = -x$.

• Piano $f(x, y) = 2x + y$: le curve $2x + y = c$ sono rette parallele $y = -2x + c$.

Errori comuni

• Dimenticare il bordo o includerlo a sproposito: con $\geq$ (radici) il bordo appartiene al dominio, con $>$ (logaritmi) no.
• Confondere dominio e immagine: il dominio è una regione del piano $xy$; i valori $z = f(x, y)$ sono l'immagine.
• Curve di livello vuote: non tutti i livelli $c$ sono assunti; per $x^2 + y^2$ quelli negativi danno l'insieme vuoto.
• Leggere una curva di livello come grafico: la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ non è un "pezzo" di superficie, è l'insieme dei punti del piano dove la funzione vale $1$.