Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy

Prerequisiti: Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-RiemannStudio delle funzioni complesse come trasformazioni da C in C, definizione di limite, derivata complessa e funzioni olomorfe. Enunciazione e dimostrazione delle condizioni di Cauchy-Riemann e loro legame con l'equazione di Laplace e le funzioni armoniche.Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann →, Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie →, Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →, Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano →.

Definizione e calcolo

Una curva nel piano complesso è una funzione $z(t)=x(t)+iy(t)$, $t\in[a,b]$, derivabile con continuità (o a tratti). Si indica con $C$ la curva orientata dal punto iniziale $z(a)$ a quello finale $z(b)$. Diversamente dal caso reale, tra due punti del piano passano infinite curve, quindi il cammino fa parte dei dati dell'integrale.

Definizione. Sia $f$ continua su $C$. L'integrale di $f$ lungo $C$ è il limite delle somme di Riemann $$\int_C f(z)\,dz=\lim\sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\,(z_k-z_{k-1}),$$ dove $z_0,\dots,z_n$ sono punti successivi sulla curva, $\zeta_k$ è un punto dell'arco tra $z_{k-1}$ e $z_k$ e il limite si fa facendo tendere a zero la distanza massima $|z_k-z_{k-1}|$.

Esempio. Per $f(z) = 1$ le somme di Riemann sono $\sum (z_k - z_{k-1}) = z_n - z_0$, quindi $\int_C dz = z_n - z_0$: dipende solo dagli estremi della curva.

Nella pratica si usa la parametrizzazione: sostituire $z=z(t)$ e $dz=z'(t)\,dt$ (come nel cambio di variabile degli integrali reali).

Teorema. Se $f$ è continua su $C$ e $z(t)$, $t\in[a,b]$, è una parametrizzazione regolare di $C$: $$\int_C f(z)\,dz=\int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt .$$

Esempio. $\oint_{|z|=1} \frac{dz}{z}$: con $z(t) = e^{it}$, $z'(t) = i e^{it}$ si ha $\int_0^{2\pi} \frac{i e^{it}}{e^{it}}\,dt = \int_0^{2\pi} i\,dt = 2\pi i$.

L'integrale a destra è un integrale di una funzione reale a valori complessi: si integrano separatamente parte reale e parte immaginaria. Il fattore $z'(t)$ non va dimenticato: è lui che trasforma $dz$ in $dt$.

Legame con gli integrali di linea reali. Con $f=u+iv$ e $dz=dx+i\,dy$, moltiplicando: $$\int_C f\,dz=\int_C (u\,dx-v\,dy)+i\int_C (v\,dx+u\,dy).$$ Sono due integrali di forme differenziali come quelli di Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →: la parte reale è il lavoro del campo $(u,-v)$ e la parte immaginaria il lavoro del campo $(v,u)$.

Proprietà.

• Linearità: $\int_C(\alpha f+\beta g)\,dz=\alpha\int_C f\,dz+\beta\int_C g\,dz$.
• Percorrendo la curva al contrario ($-C$) l'integrale cambia segno; se $C$ è l'unione di $C_1$ e $C_2$ in successione, gli integrali si sommano.
• Stima. Se $|f(z)|\le M$ su $C$ e $C$ ha lunghezza $L$, allora $\left|\int_C f\,dz\right|\le M\,L$ (perché $|z'(t)|$ integrato è la lunghezza della curva).

Esempio 1: $\int z\,dz$ da $0$ a $1+i$ lungo due cammini

Segmento. $z(t)=(1+i)t$, $t\in[0,1]$, $z'(t)=1+i$: $$\int_0^1 (1+i)t\,(1+i)\,dt=(1+i)^2\int_0^1 t\,dt=\frac{2i}{2}=i .$$ Cammino $0\to1\to1+i$. Primo tratto: $z=t$, $dz=dt$, $\int_0^1 t\,dt=\tfrac12$. Secondo tratto: $z=1+it$, $dz=i\,dt$, $\int_0^1(1+it)\,i\,dt=i+i^2\tfrac12=i-\tfrac12$. Somma: $\tfrac12+i-\tfrac12=i$. I due cammini danno lo stesso risultato, come si vedrà tra poco: $z$ è olomorfa e ha primitiva $z^2/2$.

Esempio 2: $\int \bar z\,dz$ dipende dal cammino

Stessi cammini, con $f(z)=\bar z$. Segmento: $\bar z=(1-i)t$, $dz=(1+i)\,dt$, quindi $(1-i)(1+i)\int_0^1 t\,dt=2\cdot\tfrac12=1$. Cammino $0\to1\to1+i$: primo tratto $\int_0^1 t\,dt=\tfrac12$; secondo tratto $\bar z=1-it$, $dz=i\,dt$, $\int_0^1(1-it)\,i\,dt=\int_0^1(i+t)\,dt=i+\tfrac12$. Somma: $1+i\neq 1$. Qui il risultato cambia: $\bar z$ non è olomorfa (non soddisfa Cauchy-Riemann).

Esempio 3: le potenze su una circonferenza

Sia $C$ la circonferenza $|z-z_0|=r$ percorsa una volta in senso antiorario: $z(\theta)=z_0+re^{i\theta}$, $\theta\in[0,2\pi]$, $z'(\theta)=ire^{i\theta}$. Per ogni $n\in\mathbb{Z}$: $$\oint_C (z-z_0)^n\,dz=\int_0^{2\pi} r^ne^{in\theta}\,ire^{i\theta}\,d\theta=i\,r^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)\theta}\,d\theta .$$

• Se $n\ne-1$, $\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)\theta}d\theta=\left[\frac{e^{i(n+1)\theta}}{i(n+1)}\right]_0^{2\pi}=0$, perché $e^{i(n+1)2\pi}=1$.
• Se $n=-1$ l'esponente è nullo e l'integrando è $1$: l'integrale vale $i\cdot2\pi$.

$$\boxed{\oint_{|z-z_0|=r}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i,\qquad \oint_{|z-z_0|=r}(z-z_0)^n\,dz=0\ \ (n\neq-1)}$$ Il risultato non dipende dal raggio $r$. Questo integrale è il mattone di tutta la teoria dei residui (Teorema dei residuiIl teorema dei residui permette di calcolare integrali di funzioni complesse su curve chiuse sfruttando il coefficiente $a_{-1}$ della serie di Laurent attorno alle singolarità isolate. Il residuo in un polo semplice si calcola come $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$, mentre per poli di ordine $n$ si usa la formula di derivazione.Teorema dei residui →).

Primitive e indipendenza dal cammino

Teorema. Sia $f$ continua in un aperto $A$ e sia $F$ una primitiva di $f$ in $A$, cioè $F'=f$ (derivata complessa). Per ogni curva $C\subset A$ da $z_0$ a $z_1$: $$\int_C f(z)\,dz=F(z_1)-F(z_0).$$ In particolare l'integrale lungo una curva chiusa è $0$.

Esempio. $f(z) = z^2$ ha primitiva $F(z) = \frac{z^3}{3}$: lungo ogni curva da $0$ a $1+i$ l'integrale vale $\frac{(1+i)^3}{3} = \frac{-2 + 2i}{3}$, e su ogni curva chiusa vale $0$.

Perché. Per la regola della catena $\frac{d}{dt}F(z(t))=F'(z(t))\,z'(t)=f(z(t))\,z'(t)$, quindi l'integrale è l'integrale di una derivata e vale $F(z(b))-F(z(a))$ per il teorema fondamentale del calcolo.

È l'analogo complesso del teorema sui campi conservativi di Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →: la primitiva $F$ è il potenziale. Nell'Esempio 1 si ha $F=z^2/2$ e $F(1+i)-F(0)=\frac{2i}{2}=i$, come calcolato.

Teorema di Cauchy

Teorema (Cauchy). Sia $D$ un dominio semplicemente connesso (senza buchi) e $f$ olomorfa in $D$. Per ogni curva chiusa $C$ contenuta in $D$: $$\oint_C f(z)\,dz=0 .$$ Di conseguenza $f$ ammette una primitiva in $D$ e l'integrale tra due punti non dipende dal cammino.

Esempio. $\oint_{|z|=1} e^z\,dz = 0$, perché $e^z$ è olomorfa in tutto $\mathbb{C}$.

Dimostrazione (con $f'$ continua e $C$ bordo di una regione $R\subset D$). Si usa la scrittura reale dell'integrale e il Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano →: $$\oint_C f\,dz=\oint_C(u\,dx-v\,dy)+i\oint_C(v\,dx+u\,dy)=\iint_R(-v_x-u_y)\,dx\,dy+i\iint_R(u_x-v_y)\,dx\,dy .$$ Per le condizioni di Cauchy-Riemann $u_y=-v_x$ e $u_x=v_y$, quindi entrambi gli integrandi sono nulli. $\blacksquare$

La primitiva si costruisce fissando $z_0\in D$ e ponendo $F(z)=\int_{z_0}^{z}f(w)\,dw$ lungo un cammino qualsiasi (la scelta non conta per il teorema). L'ipotesi "senza buchi" non si può togliere: $1/z$ è olomorfa in $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, che ha un buco nell'origine, e l'integrale sulla circonferenza vale $2\pi i\ne0$ (Esempio 3).

Deformazione dei cammini

Teorema (deformazione). Siano $C_1$ e $C_2$ due curve chiuse semplici percorse in senso antiorario, con $C_2$ contenuta all'interno di $C_1$. Se $f$ è olomorfa sulle due curve e in tutta la regione compresa tra loro, allora $$\oint_{C_1}f(z)\,dz=\oint_{C_2}f(z)\,dz .$$

Esempio. $\oint_{|z|=3} \frac{dz}{z} = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} = 2\pi i$, perché $\frac{1}{z}$ è olomorfa nella corona tra le due circonferenze.

Perché. La regione tra le curve ha come bordo $C_1$ (antioraria) e $C_2$ (oraria, i buchi si percorrono al contrario, come in Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano →). Applicando la dimostrazione precedente a questa regione si ha $\oint_{C_1}f\,dz-\oint_{C_2}f\,dz=0$.

Si può quindi deformare una curva senza cambiare l'integrale, purché non si attraversi nessun punto in cui $f$ non è olomorfa.

Conseguenza. Se $C$ è una curva chiusa semplice antioraria e $z_0$ è all'interno di $C$, deformando $C$ in una piccola circonferenza di centro $z_0$ (Esempio 3): $$\oint_C\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i,$$ mentre se $z_0$ è all'esterno di $C$ la funzione è olomorfa dentro $C$ e l'integrale è $0$ (Cauchy).

Esempio 4: $\oint\frac{dz}{z^2-1}$

Poiché $\frac{1}{z^2-1}=\frac12\left(\frac1{z-1}-\frac1{z+1}\right)$ (si verifica: $\frac12\cdot\frac{(z+1)-(z-1)}{z^2-1}=\frac1{z^2-1}$), gli unici punti problematici sono $z=\pm1$.

• Su $|z-1|=\tfrac12$ (contiene solo $z=1$): $\frac12\cdot2\pi i-\frac12\cdot0=\pi i$.
• Su $|z|=2$ (contiene entrambi): $\frac12\cdot2\pi i-\frac12\cdot2\pi i=0$.
• Su $|z-5|=1$ (non contiene nessuno): $0$ per il teorema di Cauchy.

Errori comuni

• Dimenticare $z'(t)$ nel passare dall'integrale complesso a quello reale: $dz$ non è $dt$.
• Credere che l'integrale su una curva chiusa sia sempre nullo. Lo è solo se $f$ è olomorfa dentro la regione racchiusa, non solo sulla curva: $1/z$ sulla circonferenza è perfettamente regolare, ma dà $2\pi i$ perché l'origine sta all'interno.
• Usare la primitiva di una funzione non olomorfa. $\bar z$ non ha primitiva: l'Esempio 2 mostra che l'integrale dipende dal cammino.
• Confondere la curva con il grafico di $f$. La curva vive nel piano di partenza, il grafico di $f$ avrebbe quattro dimensioni reali.
• Orientamento: una curva percorsa in senso orario cambia il segno del risultato ($-2\pi i$ per $1/z$).