Formula integrale di Cauchy

Prerequisiti: Integrale di linea complesso e teorema di CauchyL'integrale di una funzione complessa lungo una curva $z(t)$, $t\in[a,b]$, vale $\int_C f(z),dz=\int_a^b f(z(t)),z'(t),dt$ e dipende in generale dal cammino. Se $f$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso l'integrale su ogni curva chiusa è nullo (teorema di Cauchy), l'integrale dipende solo dagli estremi e vale $F(z_1)-F(z_0)$ con $F'=f$. Si può deformare il cammino senza attraversare singolarità: $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ per ogni curva che gira una volta attorno a $z_0$.Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy →, Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →, Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-RiemannStudio delle funzioni complesse come trasformazioni da C in C, definizione di limite, derivata complessa e funzioni olomorfe. Enunciazione e dimostrazione delle condizioni di Cauchy-Riemann e loro legame con l'equazione di Laplace e le funzioni armoniche.Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann →.

Formula integrale di Cauchy

Il valore di una funzione olomorfa in un punto interno a una curva chiusa dipende unicamente dai valori che la funzione assume lungo la curva stessa.

Teorema. (Formula integrale di Cauchy) Sia $f: \Omega \to \mathbb{C}$ una funzione olomorfaderivabile nel senso complesso in un intorno aperto in un aperto $\Omega$. Sia $C$ una curva chiusacurva continua i cui estremi coincidono, semplice, orientata in senso antiorario e tale che la regione racchiusa da $C$ sia contenuta in $\Omega$. Allora, per ogni punto $z_0$ interno a $C$, si ha: $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz$$

Esempio. $\oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z - 1}\,dz = 2\pi i\,e^1 = 2\pi i\,e$, perché $e^z$ è olomorfa e $z_0 = 1$ sta dentro il cerchio $|z| = 2$.

Questa formula esprime una proprietà di rigidità straordinaria delle funzioni olomorfe: a differenza delle funzioni reali di variabile reale, il comportamento della funzione sul bordo determina univocamente il suo comportamento in tutto l'interno.

Dimostrazione. La funzione $\frac{f(z)}{z-z_0}$ è olomorfa fuori da $z_0$, quindi per la deformazione dei cammini (Integrale di linea complesso e teorema di CauchyL'integrale di una funzione complessa lungo una curva $z(t)$, $t\in[a,b]$, vale $\int_C f(z),dz=\int_a^b f(z(t)),z'(t),dt$ e dipende in generale dal cammino. Se $f$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso l'integrale su ogni curva chiusa è nullo (teorema di Cauchy), l'integrale dipende solo dagli estremi e vale $F(z_1)-F(z_0)$ con $F'=f$. Si può deformare il cammino senza attraversare singolarità: $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ per ogni curva che gira una volta attorno a $z_0$.Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy →) l'integrale su $C$ è uguale a quello sulla circonferenza $C_\varepsilon$ di centro $z_0$ e raggio $\varepsilon$. Scrivendo $f(z)=f(z_0)+\big(f(z)-f(z_0)\big)$: $$\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)\oint_{C_\varepsilon}\frac{dz}{z-z_0}+\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=2\pi i\,f(z_0)+\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz .$$ Sull'ultimo integrale vale la stima del modulo $\le\frac{\max_{C_\varepsilon}|f(z)-f(z_0)|}{\varepsilon}\cdot2\pi\varepsilon=2\pi\max_{C_\varepsilon}|f(z)-f(z_0)|$, che tende a $0$ per $\varepsilon\to0$ per la continuità di $f$. Ma l'integrale non dipende da $\varepsilon$: quindi vale $0$. $\blacksquare$

Esempio numerico

Calcoliamo l'integrale: $$\oint_C \frac{z^2 + 1}{z - 2} dz$$ dove $C$ è la circonferenza $|z| = 3$ percorsa in senso antiorario.

1. Identifichiamo la funzione $f(z) = z^2 + 1$, che è un polinomio e quindi intera (olomorfa su tutto $\mathbb{C}$).
2. Individuiamo la singolarità del denominatore: $z_0 = 2$.
3. Verifichiamo che il punto $z_0 = 2$ sia interno alla curva $C$. Poiché il raggio della circonferenza è $3$ e $|2| = 2 < 3$, il punto è interno.
4. Applichiamo la formula integrale di Cauchy con $f(2) = 2^2 + 1 = 5$: $$\oint_C \frac{z^2 + 1}{z - 2} dz = 2\pi i \cdot f(2) = 2\pi i \cdot 5 = 10\pi i$$

Formule di Cauchy per le derivate

Derivando formalmente la formula integrale di Cauchy rispetto al parametro $z_0$ sotto il segno di integrale, si ottiene che una funzione olomorfa ammette derivate di qualsiasi ordine e che ciascuna derivata è anch'essa olomorfa.

Teorema. (Formule di Cauchy per le derivate) Sotto le stesse ipotesi della formula integrale di Cauchy, la funzione $f$ ammette derivate di ogni ordine $n \in \mathbb{N}$ in ogni punto interno $z_0$, e queste sono date da: $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$$

Esempio. $\oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^3}\,dz = \frac{2\pi i}{2!}\,f''(0) = \pi i$, con $f(z) = e^z$ e $f''(0) = 1$.

Esempio numerico

Calcoliamo l'integrale: $$\oint_C \frac{e^z}{(z - 1)^3} dz$$ dove $C$ è la circonferenza $|z| = 2$ percorsa in senso antiorario.

1. La funzione $f(z) = e^z$ è intera. Il punto $z_0 = 1$ si trova all'interno di $|z| = 2$ ($|1| = 1 < 2$).
2. Riconosciamo la struttura della formula per la derivata seconda ($n = 2$), poiché l'esponente al denominatore è $3 = n + 1$: $$\oint_C \frac{e^z}{(z - 1)^3} dz = \frac{2\pi i}{2!} f''(1)$$
3. Calcoliamo la derivata seconda di $f(z) = e^z$: $f''(z) = e^z$, quindi $f''(1) = e^1 = e$.
4. Sostituiamo nel calcolo dell'integrale: $$\frac{2\pi i}{2} \cdot e = \pi i e$$

Proprietà di valor medio

Dalla formula integrale di Cauchy per $n = 0$ nel caso in cui $C$ sia una circonferenza di centro $z_0$ e raggio $r$, parametrizzata da $z(\theta) = z_0 + re^{i\theta}$ con $\theta \in [0, 2\pi]$, si ricava la proprietà del valor medio: $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta}) d\theta$$ Il valore di una funzione olomorfa in un punto coincide esattamente con la media aritmetica dei valori assunti dalla funzione su qualsiasi cerchio circoscritto al punto.

Teorema di Liouville

Un'importante conseguenza delle formule di Cauchy per le derivate è il teorema di Liouville, che riguarda le funzioni olomorfe definite su tutto il piano complesso (chiamate funzioni intere).

Teorema. (Liouville) Se $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ è una funzione intera e limitata (cioè esiste una costante $M > 0$ tale che $|f(z)| \le M$ per ogni $z \in \mathbb{C}$), allora $f(z)$ è una funzione costante.

Esempio. $\cos z$ è intera ma non limitata ($\cos(iy) = \cosh y \to +\infty$), quindi non contraddice il teorema; $f(z) \equiv 3$ è intera e limitata, ed è costante.

La dimostrazione sfrutta la stima sulla derivata prima ottenuta dalle formule di Cauchy: $|f'(z_0)| \le \frac{M \cdot \text{lunghezza}(C)}{2\pi \cdot r^2} = \frac{M}{r}$, la quale tende a zero per $r \to +\infty$.

Olomorfa implica analitica e serie di potenze

Grazie alla formula integrale di Cauchy, è possibile espandere ogni funzione olomorfa in una serie di potenze attorno a un punto, dimostrando l'equivalenza profonda tra i concetti di funzione olomorfa e funzione analitica.

Teorema. (Analiticità delle funzioni olomorfe) Se $f(z)$ è olomorfa in un disco aperto $B(z_0, R)$, allora essa è sviluppabile in serie di potenzesomma infinita di potenze della forma $\sum a_n (z-z_0)^n$ convergente nello stesso disco: $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$$ dove i coefficienti sono dati da $a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$.

Esempio. $f(z) = e^z$ è olomorfa in $\mathbb{C}$ e $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{1}{n!}$, quindi $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ per ogni $z$.

Questo mostra che in campo complesso la derivabilità complessa (anche solo una volta) implica la derivabilità infinita e la rappresentabilità mediante Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →.

Raggio di convergenza e singolarità

Il raggio di convergenza $R$ di una serie di potenze centrata in $z_0$ non è determinato da comportamenti anomali lungo l'asse reale, bensì dalla distanza nel piano complesso tra il centro $z_0$ e la singolarità (il punto in cui la funzione cessa di essere olomorfa) più vicina.

Teorema. (Raggio di convergenza) Se $f$ è olomorfa in un aperto privato di alcuni punti isolati (le singolarità), il raggio di convergenza $R$ della serie di Taylor centrata in $z_0$ è esattamente la distanza tra $z_0$ e la singolarità più vicina nel piano complesso.

Esempio. $f(z) = \frac{1}{1 + z^2}$ ha singolarità in $\pm i$: la serie di Taylor centrata in $z_0 = 0$ ha raggio di convergenza $1$, la distanza da $\pm i$.

Esempio numerico

Consideriamo la funzione reale $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. Se consideriamo la funzione nel campo reale, essa è definita e infinitamente derivabile su tutto $\mathbb{R}$. Tuttavia, se sviluppiamo la sua serie di potenze centrata in $z_0 = 0$: $$\frac{1}{1 + z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{2n}$$ notiamo che il raggio di convergenza della serie è $R = 1$. Analizzando la funzione nel piano complesso $f(z) = \frac{1}{1 + z^2}$, il denominatore si azzera nei punti $z = i$ e $z = -i$. La distanza di questi punti dall'origine $z_0 = 0$ è pari a: $$|0 - i| = |-i| = 1$$ Il limite del raggio di convergenza della serie reale è dunque spiegato unicamente dalla presenza di singolarità complesse invisibili se ci si limita all'asse reale.

Errori comuni

• Confondere la singolarità con il bordo: Pensare che un integrale su una curva chiusa sia nullo semplicemente perché la funzione è continua o definita sul bordo $C$, dimenticandosi di controllare se all'interno di $C$ siano presenti punti di non-analiticità (singolarità).
• Errata identificazione dell'ordine $n$: Sbagliare a contare l'esponente al denominatore nella formula di Cauchy per le derivate, scambiando $(z - z_0)^{n+1}$ e usando un fattoriale $n!$ scorretto.
• Valutare il raggio di convergenza solo sui numeri reali: Cercare le limitazioni di una serie di potenze analizzando unicamente le discontinuità reali della funzione, ignorando le singolarità nel piano complesso che determinano il vero raggio $R$.