Teorema di Green nel piano

Prerequisiti: Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →, Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →.

Il Teorema di Green fornisce uno strumento potente per convertire integrali di linea lungo curve chiuse in integrali doppi, semplificando notevolmente il calcolo in presenza di regioni di integrazione opportune.

Orientamento del bordo

Affinché il teorema sia applicabile, è fondamentale che la curva $C$ che delimita la regione $R$ sia chiusa e semplice (non si auto-interseca). L'orientamento convenzionale è quello positivo (antiorario): percorrendo la curva, la regione $R$ deve rimanere sempre alla sinistra dell'osservatore.

Più in generale il teorema vale per i domini regolari: regioni limitate il cui bordo è formato da un numero finito di curve chiuse, semplici e regolari a tratti (per esempio un disco, un poligono, una corona circolare). Il bordo si orienta in modo che, percorrendolo, la regione resti a sinistra.

Enunciato del Teorema di Green

Teorema (di Green). Sia $R$ un dominio regolare del piano, con bordo $C = \partial R$ orientato positivamente. Sia $\mathbf{F} = \langle M(x,y), N(x,y) \rangle$ un campo vettoriale di classe $C^1$ in $R$. Allora:

$$\oint_C M \, dx + N \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dx \, dy$$

Esempio. $\mathbf{F} = (M, N) = (-y, x)$ sul disco unitario: $\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_R (1 - (-1))\,dx\,dy = 2\pi$.

Il termine $\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}$ è noto come rotore nel pianomisura la tendenza del campo a far ruotare attorno a un punto; è la componente z del rotore del campo (M, N, 0).

Idea della dimostrazione. Basta dimostrare separatamente $-\oint_C M\,dx = \iint_R M_y$ e $\oint_C N\,dy = \iint_R N_x$. Per la prima, su un dominio y-semplice $R = \{a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$: $$\iint_R M_y\,dx\,dy = \int_a^b \left[M(x, g_2(x)) - M(x, g_1(x))\right]dx$$ (teorema fondamentale nell'integrale interno in $y$). Il bordo è fatto dal grafico inferiore percorso da sinistra a destra (contributo $\int_a^b M(x, g_1(x))\,dx$), dal grafico superiore percorso da destra a sinistra (contributo $-\int_a^b M(x, g_2(x))\,dx$) e da eventuali segmenti verticali, dove $dx = 0$. Quindi $\oint_C M\,dx = -\iint_R M_y$. Un dominio generale si spezza in pezzi semplici: sui tagli interni i contributi si cancellano, perché ogni taglio è percorso due volte in versi opposti.

Esempio: una circuitazione calcolata con l'integrale doppio

$\mathbf{F} = \left(y\,e^{-x},\ \frac12 x^2 - e^{-x}\right)$ lungo la circonferenza di centro $(2, 0)$ e raggio $1$, in senso antiorario. Il calcolo diretto sarebbe pesante; con Green: $$\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = \left(x + e^{-x}\right) - e^{-x} = x$$ quindi la circuitazione è $\iint_R x\,dA$ sul disco. Questo integrale è l'area per l'ascissa del baricentro: $\pi \cdot 2 = 2\pi$ (il baricentro del disco è il centro).

Controllo con un campo noto. Per $(-y, x)$ il rotore è $1 - (-1) = 2$, quindi sul disco di raggio $a$ la circuitazione è $2\cdot\pi a^2$, come trovato direttamente in Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →.

Applicazioni al calcolo di aree

Il teorema permette di calcolare l'area di una regione $R$ integrando lungo il suo bordo. Poiché l'area è $\iint_R 1 \, dA$, scegliendo opportunamente $M$ e $N$ tali che $\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 1$, otteniamo:

Formula (area di una regione con l'integrale di linea). $$\text{Area}(R) = \oint_C x \, dy = -\oint_C y \, dx = \frac{1}{2} \oint_C (x \, dy - y \, dx)$$

Esempio. Disco di raggio $r$, con $x = r\cos t$ e $y = r\sin t$: $\oint_C x\,dy = \int_0^{2\pi} r\cos t \cdot r\cos t\,dt = \pi r^2$.

Esempio: Area dell'ellisse

Consideriamo l'ellisse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Parametrizziamo il bordo come $x(t) = a \cos t$, $y(t) = b \sin t$ per $t \in [0, 2\pi]$. Utilizzando la formula $\text{Area} = \oint_C x \, dy$:

1. Calcoliamo $dy = b \cos t \, dt$.
2. $\text{Area} = \int_0^{2\pi} (a \cos t)(b \cos t) \, dt = ab \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt$.
3. Poiché $\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi$, l'area è $\pi ab$.

Domini con buchi

Se il dominio $R$ non è semplicemente connesso (presenta dei "buchi"), il bordo $C$ è costituito da più componenti. Il teorema di Green resta valido purché si orientino i bordi in modo che la regione $R$ sia sempre a sinistra: il bordo esterno viene percorso in senso antiorario, quelli interni (i fori) in senso orario.

Conseguenza per il campo $\mathbf{F} = \left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}\right)$, irrotazionale fuori dall'origine. Se $C$ è una curva chiusa semplice antioraria che gira attorno all'origine, si prende una piccola circonferenza $C_\varepsilon$ attorno all'origine, dentro $C$. Nella regione tra le due curve il campo è $C^1$ e il rotore è nullo, quindi Green dà $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} - \oint_{C_\varepsilon}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ (il segno meno perché $C_\varepsilon$ va percorsa in senso orario). La circuitazione lungo $C$ è quella lungo la circonferenza, cioè $2\pi$, qualunque sia la forma di $C$. Se invece $C$ non gira attorno all'origine, Green si applica direttamente e dà $0$.

Legame con i campi conservativi

Il Teorema di Green spiega perché un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo (Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →): se $C$ è una curva chiusa semplice nel dominio, la regione che racchiude sta tutta nel dominio (non ci sono buchi), il rotore lì è nullo e quindi $\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint 0 = 0$. Circuitazione nulla su ogni curva chiusa significa campo conservativo.

Errori comuni

• Orientamento: Scambiare il senso di percorrenza. Se la curva è oraria, il risultato dell'integrale va cambiato di segno.
• Singolarità: Applicare il teorema quando il campo $\mathbf{F}$ non è differenziabile in qualche punto interno a $R$ (es. il campo $\mathbf{F} = \langle \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \rangle$ nell'origine). In questi casi, il rotore è nullo ovunque ma il teorema non è applicabile direttamente.
• Curve aperte: Cercare di usare Green su archi di curva. Per farlo, bisogna chiudere la curva con un segmento e sottrarre il valore dell'integrale calcolato su tale segmento.
• Curve che si intrecciano: su una curva a forma di otto il teorema si applica a ciascun lobo separatamente, con il suo orientamento.