Distribuzione geometrica

Caso notevole del punto 2 del programma. Prerequisiti: Prove ripetute e modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p: una sequenza con k successi ha probabilità p^k (1−p)^(n−k), e la probabilità di esattamente k successi è (n su k) p^k (1−p)^(n−k) (modello binomiale); il primo successo alla prova k ha probabilità (1−p)^(k−1) p.Prove ripetute e modello binomiale →, Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →. Media e varianza: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →.

Situazione

Si ripete lo stesso esperimento in modo indipendente, con probabilità di successo $p \in (0, 1]$ a ogni prova, finché non arriva il primo successo. $X =$ numero della prova in cui arriva il primo successo (cioè il numero totale di prove fatte, successo compreso).

Esempi: lanciare una moneta finché esce testa; lanciare un dado finché esce 6; trasmettere un pacchetto finché arriva senza errori.

Differenza con la binomialeBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →: nella binomiale il numero di prove $n$ è fissato e si contano i successi; nella geometrica si fissa il numero di successi (uno) e si conta quante prove servono, che è aleatorio e può essere grande quanto si vuole.

Densità

Definizione (distribuzione geometrica). $X \sim \text{Geo}(p)$ se ha alfabeto $\mathbb N^* = \{1, 2, 3, \dots\}$ e $$p_X(n) = (1 - p)^{n - 1} p, \qquad n = 1, 2, \dots$$

Esempio. Lanciare un dado fino al primo $6$: $X \sim \text{Geo}(\frac{1}{6})$ e $P(X = 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$ (due lanci senza 6, ciascuno con probabilità $\frac56$, poi un 6: $\frac{25}{36} \cdot \frac16 = \frac{25}{216} \approx 0{,}116$).

Perché. $\{X = n\}$ significa: le prime $n - 1$ prove sono insuccessi e la $n$-esima è un successo. Per l'indipendenzaPer eventi indipendenti la probabilità dell'intersezione è il prodotto delle probabilità.Indipendenza di eventi → delle prove:

$$P(X = n) = \underbrace{(1 - p) \cdots (1 - p)}_{n - 1 \text{ insuccessi}} \cdot \underbrace{p}_{\text{successo}} = (1 - p)^{n - 1} p.$$

Controllo che la somma fa 1. Posto $q = 1 - p \in [0, 1)$, è una serie geometricaLa somma dei q^j per j da 0 a infinito vale 1/(1 − q) quando il modulo di q è minore di 1.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →:

$$\sum_{n = 1}^\infty q^{n - 1} p = p \sum_{j = 0}^\infty q^j = p \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac pp = 1. \ ✓$$

Passaggi: la costante $p$ esce dalla serie; con $j = n - 1$ l'indice parte da $j = 0$ quando $n = 1$; la serie geometrica converge perché $0 \le q < 1$; infine $1 - q = p$.

(Ecco perché si esclude $p = 0$: con probabilità di successo nulla il successo non arriva mai e $X$ non sarebbe un numero.)

La densità è sempre decrescente (ogni termine è il precedente moltiplicato per $q < 1$): il valore più probabile è sempre $n = 1$, anche quando $p$ è piccolo.

Probabilità di lunga attesa e FdD

Proprietà (probabilità di lunga attesa). $$P(X > n) = (1 - p)^n, \qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

Esempio. $X \sim \text{Geo}(\frac{1}{2})$: $P(X > 3) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

Perché (senza sommare serie): $X > n$ significa che il primo successo arriva dopo la prova $n$, cioè che le prime $n$ prove sono tutte insuccessi. Per l'indipendenza la probabilità è $(1 - p)^n$.

Controllo sommando la serie. $P(X > n) = \sum_{k = n + 1}^\infty q^{k - 1} p$; con $j = k - 1 - n$ (che parte da $0$) diventa $p\, q^n \sum_{j \ge 0} q^j = p\, q^n \cdot \frac1{1 - q} = q^n$, lo stesso risultato.

Si chiama "probabilità di lunga attesa" ed è la formula più usata negli esercizi. Per esempio (II appello 12.02.2026 e III appello 24.06.2026): $X \sim \text{Geo}(\frac12)$, $E[X] = 2$, quindi

$$P(X > E[X]) = P(X > 2) = \left(1 - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14.$$

Ne segue la FdDLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →: per $n$ intero $F_X(n) = P(X \le n) = 1 - P(X > n) = 1 - (1 - p)^n$ (complementare), e tra due interi consecutivi $F_X$ è costante perché lì $X$ non ha valori, quindi in generale

$$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ 1 - (1 - p)^{\lfloor x \rfloor} & x \ge 1. \end{cases}$$

Assenza di memoria

Proprietà (assenza di memoria). Per ogni $n, m \ge 0$ interi: $$P(X > n + m \mid X > n) = P(X > m).$$

Esempio. $X \sim \text{Geo}(\frac{1}{2})$: $P(X > 5 \mid X > 2) = P(X > 3) = \frac{1}{8}$. Conto diretto: $\frac{P(X > 5)}{P(X > 2)} = \frac{1/32}{1/4} = \frac{4}{32} = \frac18$.

Dimostrazione. Se $X > n + m$ allora anche $X > n$, quindi $\{X > n + m\} \cap \{X > n\} = \{X > n + m\}$. Per la definizione di Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →:

$$P(X > n + m \mid X > n) = \frac{P(X > n + m)}{P(X > n)} = \frac{(1 - p)^{n + m}}{(1 - p)^n} = (1 - p)^m = P(X > m). \ \blacksquare$$

Significato. Sapendo che nelle prime $n$ prove non è arrivato nessun successo, la probabilità di dover aspettare ancora più di $m$ prove è la stessa che si aveva all'inizio. Le prove passate non "caricano" quelle future: la moneta non si ricorda di aver dato croce dieci volte di fila. È la versione matematica del fatto che puntare su un numero "ritardatario" al lotto non dà nessun vantaggio.

La geometrica è l'unica legge a valori in $\mathbb N^*$ senza memoria; nel continuo lo stesso ruolo lo ha l'esponenziale (Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →).

Media e varianza

Proprietà (media e varianza della geometrica). Se $X \sim \text{Geo}(p)$: $\quad E[X] = \dfrac1p, \qquad \text{Var}(X) = \dfrac{1 - p}{p^2}.$

Esempio. $X \sim \text{Geo}(\frac{1}{6})$: $E[X] = 6$ e $\text{Var}(X) = \frac{5/6}{1/36} = 30$.

Media. Derivando termine a termine la serie geometrica $\sum_{n \ge 0} q^n = \frac1{1 - q}$ (lecito per $|q| < 1$) si ottiene $\sum_{n \ge 1} n q^{n - 1} = \frac{1}{(1 - q)^2}$. Quindi

$$E[X] = \sum_{n = 1}^\infty n \, q^{n - 1} p = p \cdot \frac{1}{(1 - q)^2} = \frac{p}{p^2} = \frac1p.$$

Da dove viene la serie derivata. $\sum_{n \ge 0} q^n$ è una serie di potenzeLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor → in $q$ con raggio di convergenza $1$, e dentro il raggio si può derivare termine a termine. A sinistra la derivata di $q^n$ è $n q^{n-1}$ (il termine $n = 0$ è la costante $1$, con derivata $0$, per questo la somma parte da $n = 1$). A destra, con le Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →, $\frac{d}{dq}(1 - q)^{-1} = -(1 - q)^{-2} \cdot (-1) = (1 - q)^{-2}$ (derivata della funzione composta: il $-1$ finale è la derivata di $1 - q$). Nel calcolo di $E[X]$ la costante $p$ esce dalla somma e $(1 - q)^2 = p^2$.

Interpretazione: se il successo ha probabilità $\frac16$ (un 6 col dado), in media servono $6$ lanci.

Varianza. Derivando una seconda volta, $\sum_{n \ge 2} n(n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{(1 - q)^3}$ (a sinistra la derivata di $n q^{n-1}$ è $n(n-1) q^{n-2}$, e il termine $n = 1$ sparisce; a destra $\frac{d}{dq}(1 - q)^{-2} = -2(1 - q)^{-3} \cdot (-1) = 2(1 - q)^{-3}$), quindi

$$E[X(X - 1)] = \sum_{n = 2}^\infty n(n - 1) q^{n - 1} p = pq \cdot \frac{2}{(1 - q)^3} = \frac{2q}{p^2}.$$

(Il termine $n = 1$ di $E[X(X-1)]$ vale $0$; si scrive $q^{n-1} = q \cdot q^{n-2}$ per far comparire la serie appena calcolata, e $\frac{2pq}{p^3} = \frac{2q}{p^2}$.) Si passa per $E[X(X - 1)]$ invece che per $E[X^2]$ perché $n(n-1)q^{n-2}$ è esattamente la derivata seconda di $q^n$.

Allora $E[X^2] = E[X(X - 1)] + E[X] = \frac{2q}{p^2} + \frac1p$ e

$$\text{Var}(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac1{p^2} = \frac{2q + p - 1}{p^2} = \frac{2q - q}{p^2} = \frac{q}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}.$$

(Denominatore comune $p^2$, quindi $\frac1p = \frac{p}{p^2}$; poi $p - 1 = -q$.)

Per $\text{Geo}(\frac12)$: $E[X] = 2$, $\text{Var}(X) = \frac{1/2}{1/4} = 2$.

Funzioni esponenziali di una geometrica

Negli esercizi capita di dover calcolare $E[s^X]$ per un numero $s$ (è la funzione generatrice delle probabilitàLa funzione s ↦ E[s^X]; da essa si ricavano densità e momenti, ed è parente della funzione generatrice dei momenti.; con $s = e^t$ diventa la Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti →, e coincide con la trasformata zetaLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze → $\sum_n p_X(n) z^{-n}$ della successione $p_X(n)$ calcolata in $z = 1/s$). Con il teorema fondamentale del valore medioLa media di g(X) si calcola sommando g(x) per la densità di X, senza trovare la legge di g(X).Valore atteso →:

$$E[s^X] = \sum_{n = 1}^\infty s^n q^{n - 1} p = ps \sum_{j = 0}^\infty (qs)^j = \frac{ps}{1 - qs}, \qquad \text{se } |qs| < 1.$$

Passaggi: $s^n q^{n-1} p = ps \cdot s^{n-1} q^{n-1} = ps\,(qs)^{n-1}$, poi $j = n - 1$ e serie geometrica di ragione $qs$.

Se invece $|qs| \ge 1$ la serie diverge e $E[s^X] = +\infty$ (per $s > 0$): i termini $(qs)^j \ge 1$ non tendono a $0$, che è la condizione necessariaUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → per la convergenza.

III appello 24.06.2026: $X \sim \text{Geo}(\frac12)$, $W = \left(\frac32\right)^X$. Qui $qs = \frac12 \cdot \frac32 = \frac34 < 1$:

$$E[W] = \sum_{n = 1}^\infty \left(\tfrac32\right)^n \left(\tfrac12\right)^{n} = \sum_{n = 1}^\infty \left(\tfrac34\right)^n = \frac{3/4}{1 - 3/4} = 3.$$

Il fattore $\left(\frac12\right)^n$ è la densità $p_X(n) = \left(\frac12\right)^{n-1} \cdot \frac12$; poi $\frac32 \cdot \frac12 = \frac34$, e la serie geometrica che parte da $n = 1$ vale $\frac{q'}{1 - q'}$ con $q' = \frac34$.

(Formula generale: $\frac{ps}{1 - qs} = \frac{3/4}{1/4} = 3$ ✓.) Lo stesso calcolo con $s = a$ complessoI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi → dà la Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica → nel II parziale 15.01.2026: $E[a^T] = \frac{qa}{1 - (1 - q)a}$ per $T \sim \text{Geo}(q)$ (la serie geometrica $\sum z^j = \frac1{1-z}$ vale anche per $z$ complesso con modulo minore di 1).

Somma di due geometriche

Se $X, Y \sim \text{Geo}(p)$ sono indipendenti, $Z = X + Y$ è il numero di prove necessarie per ottenere due successi; vale $p_Z(n) = (n - 1) p^2 (1 - p)^{n - 2}$ per $n \ge 2$ (per $p = \frac12$: $\frac{n - 1}{2^n}$). Il calcolo è in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →.

Attenzione alla convenzione

Alcuni testi (e alcune librerie) chiamano geometrica il numero di insuccessi prima del primo successo, $X' = X - 1$, con alfabeto $\{0, 1, 2, \dots\}$, densità $(1 - p)^k p$ e media $\frac{1 - p}{p}$. In questo corso $\text{Geo}(p)$ parte da $1$ e ha media $\frac1p$.

Riepilogo

Errori comuni

• Esponente sbagliato: in $P(X = n)$ l'esponente è $n - 1$ (gli insuccessi), in $P(X > n)$ è $n$.
• $P(X \ge n)$ confusa con $P(X > n)$: $P(X \ge n) = P(X > n - 1) = (1 - p)^{n - 1}$.
• Pensare che l'assenza di memoria renda gli eventi indipendenti: $\{X > n + m\}$ e $\{X > n\}$ non sono indipendenti (uno contiene l'altro); è la probabilità condizionata che coincide con quella iniziale.
• Usare la convenzione da 0 con le formule del corso (o viceversa).