Esercizio 21densità condizionata e proprietà della torre

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Lettura dei dati

• $Y$ ha densità $3y^2$ su $[0, 1]$: tende a essere vicina a $1$. Controllo: $\int_0^1 3y^2dy = 1$ ✓.
• Dato $Y = y$, la densità di $X$ è costante, uguale a $\frac1y$, sull'intervallo $[0, y]$: cioè $X \mid Y = y \sim U(0, y)$ (uniformeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →).

Un modo di immaginarlo: si sceglie un numero $Y$ in $[0, 1]$ con densità $3y^2$, poi si sceglie $X$ a caso uniformemente tra $0$ e $Y$.

(a) $E[X]$ con la proprietà della torre

La proprietà della torreE(X) = E(E(X ∣ Y)): si calcola la media in ogni scenario Y = y e poi si fa la media sugli scenari.Densità e media condizionata → dice

$$E[X] = E\big[E[X \mid Y]\big].$$

Passo 1: media condizionata. Dato $Y = y$, $X$ è uniforme su $[0, y]$, la cui media è il punto medio:

$$E[X \mid Y = y] = \frac{0 + y}{2} = \frac y2, \qquad \text{quindi} \quad E[X \mid Y] = \frac Y2.$$

Con la definizione: $E[X \mid Y = y] = \int x \, f_{X \mid Y}(x \mid y)\,dx = \int_0^y x \cdot \frac1y \, dx = \frac1y \cdot \frac{y^2}{2} = \frac y2$ ($y$ è fissato, quindi $\frac1y$ è una costante che esce dall'integrale in $x$). Per passare a $E[X \mid Y]$ si sostituisce il numero $y$ con la v.a. $Y$.

Passo 2: media della media condizionata. Per linearità $E\left[\frac Y2\right] = \frac12 E[Y]$, e

$$E[Y] = \int_0^1 y\cdot 3y^2\,dy = 3\int_0^1 y^3\,dy = 3 \left[\frac{y^4}{4}\right]_0^1 = \frac34.$$

$$E[X] = \frac12\cdot\frac34 = \frac38.$$

$$\boxed{E[X] = \frac38}$$

Non è servito conoscere la legge di $X$: è il vantaggio della proprietà della torre.

(La soluzione ufficiale scrive i passaggi come $\frac32\int_0^1 y^3dy$, cioè $\frac12\int_0^1 y\cdot 3y^2dy$: è lo stesso conto.)

(b) Densità congiunta e sua regione di positività

Dalla definizione di densità condizionata, $f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$, si ricava la "regola del prodotto"

$$f_{XY}(x, y) = f_{X \mid Y}(x \mid y)\,f_Y(y) = \frac1y\,\mathbb 1_{[0,y]}(x)\cdot 3y^2\,\mathbb 1_{[0,1]}(y) = 3y\,\mathbb 1_{[0,y]}(x)\,\mathbb 1_{[0,1]}(y).$$

Il prodotto delle indicatrici vale $1$ quando entrambe le condizioni sono vere: $0 \le x \le y$ e $0 \le y \le 1$.

$$\boxed{f_{XY}(x, y) = 3y \ \text{ sul triangolo } T = \{(x, y) : 0 \le x \le y \le 1\}, \qquad 0 \text{ altrove}}$$

Il triangolo $T$ ha vertici $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 1)$: è la metà del quadrato unitario sopra la bisettrice $y = x$.

Controllo: $\iint_T 3y\,dx\,dy = \int_0^1\left(\int_0^y 3y\,dx\right)dy = \int_0^1 3y^2\,dy = 1$ ✓. È la formula di riduzione per un dominio normale rispetto all'asse $y$ (Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →): a $y$ fissato $x$ va da $0$ a $y$, e l'integrale interno di $3y$ (costante rispetto a $x$) è $3y \cdot y = 3y^2$, cioè proprio $f_Y(y)$, come deve essere.

(c) Marginale di $X$ e di nuovo $E[X]$

Riscrivere il triangolo "per $x$ fissato"

Per la marginale di $X$ si fissa $x$ e si integra in $y$ (Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →). Serve quindi descrivere $T$ con $x$ come variabile "esterna":

• $T = \{0 \le y \le 1,\ 0 \le x \le y\}$ (per $y$ fissato, $x$ va da $0$ a $y$);
• $T = \{0 \le x \le 1,\ x \le y \le 1\}$ (per $x$ fissato, $y$ va da $x$ a $1$).

Sono lo stesso insieme: su un disegno, il segmento verticale a quota $x$ dentro $T$ parte dalla bisettrice ($y = x$) e arriva al lato superiore ($y = 1$).

Marginale

Per $x \in [0, 1]$:

$$f_X(x) = \int_{\mathbb R} f_{XY}(x, y)\,dy = \int_x^1 3y\,dy = \left[\frac32 y^2\right]_x^1 = \frac32(1 - x^2).$$

(Una primitiva di $3y$ è $\frac32 y^2$; valutata in $1$ e in $x$ dà $\frac32 - \frac32 x^2$.)

Per $x \notin [0, 1]$, $f_X(x) = 0$.

$$\boxed{f_X(x) = \frac32(1 - x^2)\,\mathbb 1_{[0,1]}(x)}$$

Controllo: $\int_0^1\frac32(1 - x^2)dx = \frac32\left(1 - \frac13\right) = \frac32 \cdot \frac23 = 1$ ✓. La densità è decrescente (derivata $-3x \le 0$ su $[0, 1]$): $X$ tende a essere piccola, perché è "una frazione uniforme" di $Y$.

$E[X]$ dalla marginale

$$E[X] = \int_0^1 x\cdot\frac32(1 - x^2)\,dx = \frac32\int_0^1 (x - x^3)\,dx = \frac32\left(\frac12 - \frac14\right) = \frac32\cdot\frac14 = \frac38.$$

$$\boxed{E[X] = \frac38}$$

Coincide con il risultato di (a) ✓: le due strade devono dare lo stesso valore, ed è il senso dell'esercizio. La proprietà della torre ha evitato il calcolo della marginale.

Errori comuni

• In (a) scrivere $E[X \mid Y = y] = \frac1y$: confonde il valore della densità condizionata con la sua media.
• In (b) dimenticare l'indicatrice $\mathbb 1_{[0,y]}(x)$ e dire che la congiunta è $3y$ su tutto il quadrato (l'integrale verrebbe $\frac32$, non $1$).
• In (c) integrare $y$ da $0$ a $1$ per ogni $x$, ottenendo $f_X(x) = \frac32$ costante: per $x$ fissato, solo gli $y \ge x$ stanno nel triangolo.
• Integrare $y$ da $0$ a $x$: sarebbe il triangolo sotto la bisettrice, quello sbagliato.