Sigma-algebre di eventi

Lezione 2 (1 ottobre 2026). Prima: Spazio campionario ed eventiUno spazio di probabilità è la terna (Ω, F, P); Ω raccoglie gli esiti possibili dell'esperimento, un evento è un sottoinsieme di Ω, e le operazioni logiche tra eventi sono unione, intersezione e complementare.Spazio campionario ed eventi →. Dopo: Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →. Esercizio svolto: Esercizio 1 · sigma-algebre su un insieme di quattro elementi.

Perché non basta prendere tutti i sottoinsiemi

Un evento è un sottoinsieme $A \subseteq \Omega$, cioè un elemento dell'insieme delle parti𝒫(Ω) è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di Ω; se Ω ha n elementi ne ha 2^n.Insiemi e insieme delle parti → $\mathcal{P}(\Omega)$. Verrebbe naturale assegnare una probabilità a tutti i sottoinsiemi. A volte però $\mathcal{P}(\Omega)$ è troppo grande:

• quando $\Omega$ è non numerabile (es. $\Omega = [0, 1]$) si dimostra che non esiste una probabilità "ragionevole" (ad esempio quella che dà a ogni intervallo la sua lunghezza) definita su tutti i sottoinsiemi: ci sono insiemi troppo irregolari per essere misurati. Se ne riparla in Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di BorelNegli spazi non discreti la probabilità non si ricava più dai singoli esiti: si usa la σ-algebra di Borel (generata dagli intervalli), la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi e la definizione generale di v.a. come funzione X con {X ≤ x} evento per ogni x.Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel →;
• a volte si vuole descrivere un'informazione parziale: chi osserva solo se il dado è pari o dispari non sa distinguere $\{2\}$ da $\{4\}$.

Si sceglie quindi una sottofamiglia $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ di eventi "ammessi". Perché il modello funzioni, $\mathcal{F}$ deve essere stabile per le operazioni logiche: se so dare una probabilità ad $A$ e a $B$, devo saperla dare anche a "non $A$", ad "$A$ o $B$", ecc. Queste richieste sono esattamente la definizione di σ-algebra.

Definizione

Definizione (σ-algebra). Una famiglia di eventi $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ è una σ-algebra su $\Omega$ se:

1. $\emptyset \in \mathcal{F}$;
2. se $A \in \mathcal{F}$ allora $A^c \in \mathcal{F}$ (chiusura rispetto al complementare);
3. se $(A_n)_{n \ge 1}$ sono tutti in $\mathcal{F}$, allora $\bigcup_{n \ge 1} A_n \in \mathcal{F}$ (chiusura rispetto alle unioni numerabili).

Esempio. Su $\Omega = \{1, \dots, 6\}$ la famiglia $\{\emptyset, \{2,4,6\}, \{1,3,5\}, \Omega\}$ è una σ-algebra; $\{\emptyset, \{1\}, \Omega\}$ non lo è, perché manca il complementare $\{2, \dots, 6\}$.

La "σ" ricorda la parola somma (unione) numerabile del punto 3: non basta chiedere la chiusura per unioni di due insiemi, serve quella per successioni infinite di eventi (ad esempio "prima o poi esce testa" $= \bigcup_{n \ge 1} \{\text{testa al lancio } n\}$).

Conseguenze della definizione

Dai tre assiomi seguono tutte le altre chiusure.

a) $\Omega \in \mathcal{F}$. Per (1) $\emptyset \in \mathcal{F}$, e per (2) anche il suo complementare $\emptyset^c = \Omega \in \mathcal{F}$.

b) Chiusura per unioni finite. Se $A_1, \dots, A_n \in \mathcal{F}$, allora $\bigcup_{k=1}^n A_k \in \mathcal{F}$. Perché: si completa la lista con infiniti insiemi vuoti, $A_{n+1} = A_{n+2} = \dots = \emptyset$ (che stanno in $\mathcal{F}$ per (1)). L'unione numerabile $\bigcup_{k \ge 1} A_k$ è uguale a $A_1 \cup \dots \cup A_n$ (aggiungere $\emptyset$ non cambia nulla) e sta in $\mathcal{F}$ per (3).

c) Chiusura per intersezioni (finite o numerabili). Se $A_n \in \mathcal{F}$ per ogni $n$, allora $\bigcap_n A_n \in \mathcal{F}$. Perché: per De MorganIl complementare di un'unione è l'intersezione dei complementari, e viceversa.Spazio campionario ed eventi →

$$\bigcap_n A_n = \Big(\bigcup_n A_n^c\Big)^c$$

e a destra si usano solo complementari (2) e unioni numerabili (3): gli $A_n^c$ stanno in $\mathcal{F}$, la loro unione pure, e così il complementare dell'unione.

Da dove viene l'uguaglianza. De Morgan applicata agli eventi $A_n^c$ dà $\big(\bigcup_n A_n^c\big)^c = \bigcap_n (A_n^c)^c$, e il complementare del complementare è l'evento di partenza, $(A_n^c)^c = A_n$ (un esito che non sta fuori da $A_n$ sta in $A_n$). Le regole sono quelle di Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi →.

d) Chiusura per differenze. $A \setminus B = A \cap B^c \in \mathcal{F}$ se $A, B \in \mathcal{F}$, e quindi anche $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

In sintesi: partendo da eventi di $\mathcal{F}$ e combinandoli con una quantità al più numerabile di complementari, unioni e intersezioni si resta sempre dentro $\mathcal{F}$.

Esempi

Verifica della terza. $\mathcal{F} = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$: contiene $\emptyset$; i complementari sono $\emptyset \leftrightarrow \Omega$ e $A \leftrightarrow A^c$, tutti presenti; le unioni di elementi danno $\emptyset$, $A$, $A^c$ oppure $\Omega$ (ad esempio $A \cup A^c = \Omega$, $A \cup \emptyset = A$), tutti presenti ✓.

Esempio concreto. Dado, $A =$ "pari" $= \{2, 4, 6\}$: la σ-algebra generata è $\{\emptyset, \{2, 4, 6\}, \{1, 3, 5\}, \Omega\}$. È tutto ciò che sa dire chi conosce solo la parità del risultato.

Esercizio della lezione su $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$ (stabilire se due famiglie sono σ-algebre): Esercizio 1 · sigma-algebre su un insieme di quattro elementi.

Proprietà delle σ-algebre

1. L'intersezione di σ-algebre è una σ-algebra. Se $\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2$ sono σ-algebre su $\Omega$, anche $\mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2$ (gli eventi che stanno in entrambe) lo è. Più in generale, se $(\mathcal{F}_i)_{i \in I}$ sono σ-algebre su $\Omega$ (con $I$ qualunque), allora $\bigcap_{i \in I} \mathcal{F}_i$ è una σ-algebra.

Perché: $\emptyset$ sta in ogni $\mathcal{F}_i$, quindi nell'intersezione. Se $A$ sta nell'intersezione, sta in ogni $\mathcal{F}_i$, quindi $A^c$ sta in ogni $\mathcal{F}_i$ (ognuna è chiusa per complementare), quindi $A^c$ sta nell'intersezione. Stesso ragionamento per le unioni numerabili.

Attenzione: l'unione di σ-algebre in generale NON è una σ-algebra. Esempio su $\Omega = \{1, 2, 3\}$: $\mathcal{F}_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{2, 3\}, \Omega\}$ e $\mathcal{F}_2 = \{\emptyset, \{2\}, \{1, 3\}, \Omega\}$ sono σ-algebre (generate da $\{1\}$ e da $\{2\}$). Nella loro unione ci sono $\{1\}$ e $\{2\}$ ma non $\{1\} \cup \{2\} = \{1, 2\}$: non è chiusa per unione.

2. σ-algebra generata da una famiglia. Data una famiglia qualunque di eventi $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$, esiste la più piccola σ-algebra che contiene tutti gli eventi di $\mathcal{A}$:

Definizione (σ-algebra generata). $$\sigma(\mathcal{A}) := \bigcap_{i \in I} \mathcal{F}_i, \qquad \text{dove } (\mathcal{F}_i)_{i \in I} \text{ sono tutte le \sigma -algebre che contengono } \mathcal{A}$$

e si chiama σ-algebra generata da $\mathcal{A}$.

Perché funziona:

• la famiglia delle $\mathcal{F}_i$ non è vuota, perché $\mathcal{P}(\Omega)$ è una σ-algebra che contiene $\mathcal{A}$;
• l'intersezione è una σ-algebra per la proprietà 1, e contiene $\mathcal{A}$ perché ogni $\mathcal{F}_i$ lo contiene;
• è la più piccola: ogni σ-algebra che contiene $\mathcal{A}$ è una delle $\mathcal{F}_i$, e l'intersezione è contenuta in ciascuna di esse.

Esempio: $\sigma(\{A\}) = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$, la σ-algebra generata da un solo evento vista sopra. Nella pratica, per trovare $\sigma(\mathcal{A})$ su un $\Omega$ finito si aggiungono ad $\mathcal{A}$ complementari, unioni e intersezioni finché la famiglia non si "chiude" (vedi l'esercizio 1).

Esempio: σ-algebra generata da una partizione. Dado, partizione $B_1 = \{1, 2\}$, $B_2 = \{3\}$, $B_3 = \{4, 5, 6\}$ (è l'informazione di chi sa solo se è uscito "basso", "3" o "alto"). La σ-algebra generata è formata da tutte le unioni di blocchi:

$$\emptyset,\ \{1,2\},\ \{3\},\ \{4,5,6\},\ \{1,2,3\},\ \{1,2,4,5,6\},\ \{3,4,5,6\},\ \Omega$$

Perché bastano queste. Il complementare di un'unione di blocchi è l'unione dei blocchi rimasti (i blocchi ricoprono $\Omega$ senza sovrapporsi), e un'unione di unioni di blocchi è ancora un'unione di blocchi: la famiglia è già chiusa. Ogni blocco si può prendere o lasciare, quindi gli elementi sono $2^3 = 8$ (stesso conto dei sottoinsiemi di un insieme di 3 elementi, vedi Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti →). In generale una partizione finita in $k$ blocchi genera una σ-algebra con $2^k$ eventi; con i 6 singoletti si ritrova $\mathcal{P}(\Omega)$, con $2^6 = 64$ eventi.

Convenzione per gli spazi discreti

Proprietà (σ-algebra degli spazi discreti). Se $\Omega$ è discreto (finito o numerabile) si prende sempre $\mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega)$.

Esempio. Per il dado $\mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega)$ contiene tutti i $2^6 = 64$ sottoinsiemi di $\Omega$.

Nel caso discreto non ci sono insiemi "troppo irregolari": a ogni sottoinsieme si può dare una probabilità sommando le probabilità dei suoi esiti (Spazi di probabilità discreti e uniformiIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →). Le σ-algebre più piccole torneranno con gli spazi continui (Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di BorelNegli spazi non discreti la probabilità non si ricava più dai singoli esiti: si usa la σ-algebra di Borel (generata dagli intervalli), la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi e la definizione generale di v.a. come funzione X con {X ≤ x} evento per ogni x.Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel →).

Errori comuni

• Dimenticare la chiusura per unioni numerabili e verificare solo le unioni di due insiemi: su $\Omega$ finito è equivalente, su $\Omega$ infinito no.
• Credere che l'unione di due σ-algebre sia una σ-algebra (controesempio sopra).
• Dimenticare $\emptyset$ o $\Omega$ quando si elencano gli elementi di una σ-algebra.
• Per dimostrare che una famiglia NON è una σ-algebra basta un solo controesempio: un complementare, un'unione o un'intersezione che manca.