Variabili aleatorie miste

Ultimo argomento del punto 3 del programma ("variabili aleatorie miste: generalizzazione delle formule di calcolo di valor medio e varianza"). Prerequisiti: Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →, Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →, Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →, Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →.

Dove nascono

Non tutte le v.a. sono discrete o assolutamente continue. Esempi tipici:

• Tempo d'attesa allo sportello: con probabilità $0{,}3$ lo sportello è libero e l'attesa è esattamente $0$; altrimenti l'attesa è un tempo continuo (esponenziale). La v.a. ha una massa in $0$ e una densità su $(0, \infty)$.
• Segnale saturato: un amplificatore che non supera $1$ V restituisce $Y = \min(X, 1)$; se $X$ è continua, $Y$ vale esattamente $1$ con probabilità $P(X \ge 1) > 0$.
• Raddrizzatore: $Y = \max(X, 0)$, con massa $P(X \le 0)$ in $0$.
• Durata di una garanzia: il rimborso è $0$ se il guasto avviene dopo la scadenza.

In tutti i casi la FdD ha salti (punti con probabilità positiva) e tratti in cui cresce in modo continuo.

Definizione e struttura

Definizione (variabile aleatoria mista). Una v.a. $X$ è mista se la sua FdD si scrive come $$F_X(x) = \sum_{i \,:\, x_i \le x} p_i + \int_{-\infty}^x f(t) \, dt,$$ dove $x_1, x_2, \dots$ sono i punti di salto, $p_i = P(X = x_i) > 0$ le altezze dei salti, $f \ge 0$ una funzione (la "densità della parte continua"), con $$\sum_i p_i + \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = 1.$$

Esempio. $F_X(x) = 0{,}3 + 0{,}7(1 - e^{-2x})$ per $x \ge 0$ (e $0$ per $x < 0$): c'è un salto $p_0 = 0{,}3$ in $x = 0$ e una parte continua di massa $0{,}7$. Lettura: subito a sinistra di $0$ la FdD vale $0$, in $x = 0$ vale $0{,}3 + 0{,}7 \cdot (1 - 1) = 0{,}3$, quindi salta di $0{,}3$; per $x \to +\infty$ il termine $1 - e^{-2x}$ tende a $1$ e la FdD a $0{,}3 + 0{,}7 = 1$. Nella forma della definizione: un solo punto di salto $x_1 = 0$ con $p_1 = 0{,}3$, e $f(t) = 0{,}7 \cdot 2e^{-2t} = 1{,}4 e^{-2t}$ per $t > 0$, perché $\int_0^x 1{,}4 e^{-2t}\,dt = 0{,}7\big[-e^{-2t}\big]_0^x = 0{,}7(1 - e^{-2x})$.

Attenzione: né $\sum p_i$ né $\int f$ valgono $1$ da soli. Il peso della parte discreta è $\alpha = \sum_i p_i \in (0, 1)$, quello della parte continua è $1 - \alpha = \int f$.

Come si leggono da $F_X$:

• masse: $p_i = F_X(x_i) - F_X(x_i^-)$, l'altezza del salto in $x_i$ (con $F_X(x_i^-)$ il limite da sinistra; è la regola $P(X = x) = F_X(x) - F_X(x^-)$ della Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →);
• densità della parte continua: $f(x) = F_X'(x)$ nei punti in cui $F_X$ è derivabile (cioè fuori dai salti): lontano dai salti la somma $\sum_{x_i \le x} p_i$ è costante e ha derivata $0$, quindi resta solo la derivata della funzione integrale, che è $f$ per il teorema fondamentale del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →.

Con il linguaggio di Segnali e Sistemi si scrive un'unica "densità generalizzata" $f_X(x) = \sum_i p_i\,\delta(x - x_i) + f(x)$, con una delta di DiracImpulso di area 1 concentrato in un punto: è la derivata generalizzata del gradino unitario.Delta di Dirac e derivate generalizzate → per ogni salto: derivare un gradino di altezza $p_i$ dà proprio $p_i\,\delta$.

Media e varianza

Il valore atteso somma i due contributi: la parte discreta come nel caso discreto, la parte continua come nel caso continuo.

Formula (valore atteso di una variabile mista). $$E[g(X)] = \sum_i g(x_i) \, p_i + \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \, dx$$ (se la somma e l'integrale convergono assolutamente). In particolare $$E[X] = \sum_i x_i p_i + \int x f(x) \, dx, \qquad \text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2.$$

Esempio. Con salto $0{,}3$ in $0$ e parte continua $1{,}4e^{-2x}$ per $x \ge 0$: $E[X] = 0 \cdot 0{,}3 + 0{,}7 \cdot \frac{1}{2} = 0{,}35$ (conto spiegato nell'Esempio 1 sotto).

Tutte le proprietà (linearità, $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$, Markov, Chebyshev) restano vere, perché dipendono solo dalle proprietà del valore atteso.

Un modo equivalente: mescolanza. Spesso una mista è una "lotteria" tra una discreta $D$ e una continua $C$: con probabilità $\alpha$ si osserva $D$, con probabilità $1 - \alpha$ si osserva $C$. Allora per la formula delle probabilità totaliP(A) = Σ P(A ∣ B_i) P(B_i) per una partizione B_1, B_2, ... di Ω.Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → $$F_X = \alpha F_D + (1 - \alpha) F_C, \qquad E[g(X)] = \alpha E[g(D)] + (1 - \alpha) E[g(C)].$$ In dettaglio, con la partizione "si osserva $D$" / "si osserva $C$": $P(X \le x) = P(X \le x \mid \text{scelta } D)\,\alpha + P(X \le x \mid \text{scelta } C)\,(1 - \alpha) = \alpha F_D(x) + (1 - \alpha) F_C(x)$. Confrontando con la definizione: le masse sono $p_i = \alpha\, p_D(x_i)$ e la densità della parte continua è $f = (1 - \alpha) f_C$.

Esempio 1: sportello

Con probabilità $0{,}3$ l'attesa è $0$; altrimenti è $\text{Exp}(2)$ (in minuti). Quindi $p_0 = 0{,}3$ in $x = 0$ e $f(x) = 0{,}7 \cdot 2e^{-2x}$ per $x > 0$.

FdD: $$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 0{,}3 + 0{,}7(1 - e^{-2x}) & x \ge 0. \end{cases}$$

È la mescolanza con $\alpha = 0{,}3$, $D \equiv 0$ (FdD: gradino da $0$ a $1$ in $x = 0$) e $C \sim \text{Exp}(2)$ (FdD $1 - e^{-2x}$, vedi Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →). Salto di $0{,}3$ in $0$, poi crescita continua verso $1$. Controllo: $0{,}3 + \int_0^\infty 1{,}4 e^{-2x} dx = 0{,}3 + 0{,}7 \int_0^\infty 2e^{-2x}\,dx = 0{,}3 + 0{,}7 \cdot 1 = 1$ ✓ (l'ultimo integrale è l'area della densità di $\text{Exp}(2)$).

Media: $$E[X] = 0 \cdot 0{,}3 + \int_0^\infty x \cdot 1{,}4 e^{-2x} \, dx = 0{,}7 \cdot \underbrace{\int_0^\infty x \cdot 2e^{-2x} dx}_{= 1/2 \text{ (media di Exp(2))}} = 0{,}35 \text{ minuti}.$$

Il punto $0$ contribuisce $0 \cdot 0{,}3 = 0$; nella parte continua si scrive $1{,}4 = 0{,}7 \cdot 2$ per riconoscere sotto l'integrale la media di $\text{Exp}(2)$, che è $\frac1\lambda = \frac12$.

Varianza: con lo stesso trucco, $E[X^2] = 0^2 \cdot 0{,}3 + 0{,}7 \cdot E[\text{Exp}(2)^2] = 0{,}7 \cdot \frac{2}{4} = 0{,}35$, perché il momento secondo di $\text{Exp}(\lambda)$ è $\frac{2}{\lambda^2} = \frac24$. Quindi $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2 = 0{,}35 - 0{,}35^2 = 0{,}35 - 0{,}1225 = 0{,}2275$.

Esempio 2: saturazione

$X \sim U(0, 2)$ e $Y = \min(X, 1)$ (il segnale è tagliato a $1$).

• Se $X < 1$, $Y = X$: su $[0, 1)$ c'è una parte continua con densità $f(y) = \frac12$ (quella di $X \sim U(0, 2)$, che vale $\frac{1}{2 - 0}$).
• Se $X \ge 1$, $Y = 1$: massa $p_1 = P(X \ge 1) = \frac{2 - 1}{2} = \frac12$ nel punto $1$ (lunghezza relativa di $[1, 2]$ in $[0, 2]$).

Controllo: $\int_0^1 \frac12 dy + \frac12 = 1$ ✓. FdD (metodo di Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →): per $0 \le y < 1$, $\min(X, 1) \le y$ succede solo se $X \le y$ (il valore $1$ è più grande di $y$), quindi $F_Y(y) = P(X \le y) = \frac y2$; per $y \ge 1$ l'evento è certo, $F_Y(y) = 1$. Il limite da sinistra in $1$ è $\frac12$, il valore in $1$ è $1$: salto di $\frac12$.

$$E[Y] = \int_0^1 y \cdot \frac12 \, dy + 1 \cdot \frac12 = \frac14 + \frac12 = \frac34,$$

dove $\int_0^1 \frac y2\,dy = \frac12 \cdot \frac{1}{2} = \frac14$ (parte continua) e $1 \cdot \frac12$ è il contributo della massa.

Lo stesso risultato si ottiene col teorema fondamentale applicato a $X$, senza trovare la legge di $Y$, spezzando l'integrale dove cambia la formula di $\min(x, 1)$: $E[\min(X, 1)] = \int_0^2 \min(x, 1) \frac12 dx = \frac12\left(\int_0^1 x\,dx + \int_1^2 1\,dx\right) = \frac12\left(\frac12 + 1\right) = \frac34$ ✓. È un buon controllo negli esercizi.

Come riconoscere il tipo di una v.a. dalla FdD

È esattamente la domanda "specificandone il tipo (assolutamente continua, discreta, mista)" del II appello 12.02.2026 (Esercizio 14 · funzione a gradini di una esponenziale), dove la FdD trovata era a gradini e quindi la v.a. era discreta.

Errori comuni

• Normalizzare separatamente la parte discreta e la parte continua: è la somma dei due pesi che fa $1$.
• Dimenticare la massa nel calcolo della media (o calcolarla due volte, anche come parte della densità).
• Usare $P(X < x) = P(X \le x)$ nei punti di salto: lì differiscono proprio della massa $p_i$.
• Derivare la FdD nei punti di salto: la derivata lì non esiste, e la massa va trattata a parte.