Esercizio 10vincita con due estrazioni da un'urna

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Idea: ridursi a una binomiale

La vincita dipende solo da quante nere si estraggono. Sia $Y$ = numero di palline nere nelle 2 estrazioni.

Legge di $Y$. Con reinserimento, l'urna è uguale a ogni estrazione: ogni estrazione dà nera con probabilità $\frac{8}{14} = \frac47$ (8 casi favorevoli su 14 palline equiprobabili, vedi Spazi di probabilità discreti e uniformiIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →), e le estrazioni sono indipendentiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi → (il risultato della prima non cambia la composizione dell'urna per la seconda). Contare i successi (nere) in $n = 2$ prove indipendenti con la stessa probabilità $p = \frac47$ è il modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con successo di probabilità p: il numero di successi è Bin(n, p).Prove ripetute e modello binomiale →:

$$Y \sim \text{Bin}\left(2, \tfrac47\right).$$

Legame tra $X$ e $Y$. Con $Y$ nere ci sono $2 - Y$ bianche, quindi

$$X = 2Y - 1 \cdot (2 - Y) = 2Y - 2 + Y = 3Y - 2.$$

Controllo: $Y = 0 \Rightarrow X = -2$ (due bianche, si perdono 2 euro); $Y = 1 \Rightarrow X = 1$ ($+2 - 1$); $Y = 2 \Rightarrow X = 4$ ✓.

(a) Densità discreta di $X$

Densità di $Y$, con $p = \frac47$ e $1 - p = \frac37$:

$$p_Y(0) = \left(\tfrac37\right)^2 = \frac{9}{49}, \qquad p_Y(1) = \binom21 \cdot \tfrac47 \cdot \tfrac37 = \frac{24}{49}, \qquad p_Y(2) = \left(\tfrac47\right)^2 = \frac{16}{49}.$$

È la formula della binomialeBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta → $p_Y(k) = \binom2k p^k (1-p)^{2-k}$ con $k = 0, 1, 2$ (e $\binom20 = \binom22 = 1$). Il fattore $\binom21 = 2$ in $p_Y(1)$ conta i due ordini possibili (nera-bianca e bianca-nera), ciascuno con probabilità $\frac47 \cdot \frac37 = \frac{12}{49}$ per l'indipendenza.

Densità di $X$. $x \mapsto 3x - 2$ è iniettivaIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → (retta con pendenza $3 \ne 0$), quindi ogni valore di $X$ corrisponde a un solo valore di $Y$ e ne eredita la probabilità (Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →):

$$\boxed{p_X(-2) = \frac{9}{49}, \qquad p_X(1) = \frac{24}{49}, \qquad p_X(4) = \frac{16}{49}}$$

e $p_X(x) = 0$ per ogni altro $x$. Alfabeto $\{-2, 1, 4\}$. Controllo: $\frac{9 + 24 + 16}{49} = 1$ ✓.

(b) Media e varianza

Via veloce: proprietà di media e varianza. Per la binomialeBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta → $E[Y] = np = 2 \cdot \frac47 = \frac87$ e $\text{Var}(Y) = np(1 - p) = 2 \cdot \frac47 \cdot \frac37 = \frac{24}{49}$. Per la linearità della mediaE(aY + b) = aE(Y) + b.Valore atteso → e la proprietà $\text{Var}(aY + b) = a^2\text{Var}(Y)$ (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →):

$$E[X] = 3E[Y] - 2 = 3 \cdot \frac87 - 2 = \frac{24 - 14}{7} = \frac{10}{7},$$

$$\text{Var}(X) = 9\,\text{Var}(Y) = 9 \cdot \frac{24}{49} = \frac{216}{49}.$$

$$\boxed{E[X] = \frac{10}{7} \approx 1{,}43 \text{ euro}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{216}{49} \approx 4{,}41}$$

La costante $-2$ sposta la media ma non cambia la varianza (spostare tutti i valori non cambia quanto sono sparpagliati); il fattore $3$ si eleva al quadrato.

Controllo con la densità di $X$.

$$E[X] = -2 \cdot \frac{9}{49} + 1 \cdot \frac{24}{49} + 4 \cdot \frac{16}{49} = \frac{-18 + 24 + 64}{49} = \frac{70}{49} = \frac{10}{7} \ ✓$$

$$E[X^2] = 4 \cdot \frac{9}{49} + 1 \cdot \frac{24}{49} + 16 \cdot \frac{16}{49} = \frac{36 + 24 + 256}{49} = \frac{316}{49},$$

$$\text{Var}(X) = \frac{316}{49} - \frac{100}{49} = \frac{216}{49} \ ✓$$

$E[X^2]$ si calcola col teorema fondamentale del valor medioIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso → con $g(x) = x^2$: i quadrati dei valori sono $(-2)^2 = 4$, $1^2 = 1$, $4^2 = 16$. Poi $E[X]^2 = \left(\frac{10}{7}\right)^2 = \frac{100}{49}$ e $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$.

Interpretazione. Il gioco è favorevole: in media si vincono circa $1{,}43$ euro a partita. Anche a occhio: ogni estrazione vale in media $2 \cdot \frac47 - 1 \cdot \frac37 = \frac{8 - 3}{7} = \frac57$ euro, e due estrazioni $\frac{10}{7}$ (linearità).

Terzo controllo, estrazione per estrazione. $X = G_1 + G_2$, dove $G_i$ è il guadagno dell'estrazione $i$: vale $2$ con probabilità $\frac47$ e $-1$ con probabilità $\frac37$. $E[G_i^2] = 4 \cdot \frac47 + 1 \cdot \frac37 = \frac{19}{7}$, quindi $\text{Var}(G_i) = \frac{19}{7} - \frac{25}{49} = \frac{133 - 25}{49} = \frac{108}{49}$. $G_1$ e $G_2$ sono indipendenti, quindi le varianze si sommano (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →): $\text{Var}(X) = 2 \cdot \frac{108}{49} = \frac{216}{49}$ ✓. La deviazione standard è $\sqrt{216}/7 \approx 2{,}10$ euro, più grande della media: in una singola partita si può perdere (con probabilità $\frac{9}{49} \approx 18\%$).

Errori comuni

• Usare la probabilità $\frac{8}{14}$ senza semplificarla non è un errore, ma $\frac47$ rende i conti più puliti.
• Dimenticare il fattore 2 in $p_Y(1)$.
• Scrivere $\text{Var}(3Y - 2) = 3\text{Var}(Y) - 2$ o $9\text{Var}(Y) - 2$: le costanti additive spariscono e quelle moltiplicative si elevano al quadrato.
• Considerare le estrazioni senza reinserimento: si avrebbe un'ipergeometrica e le estrazioni non sarebbero indipendenti.