Densità e media condizionata

Punto 5 del programma ("densità e media condizionata di v.a. discrete e assolutamente continue; condizionamento rispetto a un evento e rispetto al valore di una v.a.; vettore gaussiano condizionato"). Prerequisiti: Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →, Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

L'idea

La Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata → $P(A \mid B)$ aggiorna le probabilità quando si sa che è successo $B$. Qui si fa lo stesso con una v.a.: si osserva il valore di $Y$ e ci si chiede come cambia la legge di $X$. Esempi: sapendo che il canale è in stato "disturbato" ($Y = 1$), qual è la legge del numero di errori $X$? Sapendo che un sistema ha lavorato per $T = n$ cicli, quanti successi ci si aspetta?

Condizionamento rispetto a un evento

Definizione (densità e media condizionate a un evento). Se $B$ è un evento con $P(B) > 0$, la densità di $X$ condizionata a $B$ è $$p_{X \mid B}(x) := P(X = x \mid B) = \frac{P(\{X = x\} \cap B)}{P(B)},$$ e la media condizionata è $E[X \mid B] = \sum_x x \, p_{X \mid B}(x)$.

È una densità discreta a tutti gli effetti (non negativa, somma $1$), perché $P(\cdot \mid B)$ è una probabilità. In concreto: gli eventi $\{X = x\} \cap B$, al variare di $x$, sono disgiunti e la loro unione è $B$, quindi $\sum_x P(\{X = x\} \cap B) = P(B)$ e, dividendo per $P(B)$, la somma delle $p_{X \mid B}(x)$ è $1$.

Esempio (dado): $X$ = risultato di un dado, $B$ = "esce pari". $p_{X \mid B}(x) = \frac13$ per $x \in \{2, 4, 6\}$ e $0$ altrove, quindi $E[X \mid B] = 4$. Infatti per $x$ pari $P(\{X = x\} \cap B) = P(X = x) = \frac16$ e $P(B) = \frac12$, il rapporto è $\frac13$; per $x$ dispari l'intersezione è vuota. La media è $\frac{2 + 4 + 6}{3} = 4$, contro $E[X] = 3{,}5$ senza informazione.

Esempio (assenza di memoria): $X \sim \text{Geo}(p)$, $B = \{X > n\}$: $X - n$ condizionata a $B$ è ancora $\text{Geo}(p)$ (Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →), quindi $E[X \mid X > n] = n + \frac1p$. Il conto: $P(X > n) = (1 - p)^n$ (i primi $n$ tentativi falliscono), e per $k \ge 1$ $$P(X - n = k \mid X > n) = \frac{P(X = n + k)}{P(X > n)} = \frac{p(1 - p)^{n + k - 1}}{(1 - p)^n} = p(1 - p)^{k - 1},$$ che è la densità di $\text{Geo}(p)$ in $k$ (al numeratore $\{X = n + k\} \cap \{X > n\} = \{X = n + k\}$ perché $n + k > n$). Quindi $E[X - n \mid X > n] = \frac1p$ e, per linearità della media condizionata, $E[X \mid X > n] = n + \frac1p$.

Formula delle medie totali. Se $B_1, \dots, B_k$ è una partizione di $\Omega$ con $P(B_i) > 0$: $$E[X] = \sum_i E[X \mid B_i] \, P(B_i).$$ È la formula delle probabilità totaliSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → applicata alle medie: $E[X \mid B_i] P(B_i) = \sum_x x \, P(\{X = x\} \cap B_i)$, e sommando su $i$ si ottiene $\sum_x x \sum_i P(\{X = x\} \cap B_i) = \sum_x x \, P(X = x) = E[X]$. Esempio: dado, $B_1$ = pari, $B_2$ = dispari: $E[X] = 4 \cdot \frac12 + 3 \cdot \frac12 = 3{,}5$ ✓ (la media dei dispari $1, 3, 5$ è $3$).

Condizionamento al valore di una v.a. discreta

Definizione (densità e media condizionate a una v.a. discreta). Siano $X, Y$ discrete. Per ogni $y$ con $p_Y(y) > 0$, la densità di $X$ condizionata a $Y = y$ è $$p_{X \mid Y}(x \mid y) := P(X = x \mid Y = y) = \frac{p_{X,Y}(x, y)}{p_Y(y)},$$ e la media condizionata è $E[X \mid Y = y] := \sum_x x \, p_{X \mid Y}(x \mid y)$.

Esempio. Con $p_{X,Y} \equiv \frac{1}{4}$ su $\{0,1\}^2$: $p_Y(1) = \frac14 + \frac14 = \frac12$, quindi $p_{X \mid Y}(x \mid 1) = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ per $x = 0, 1$ e $E[X \mid Y = 1] = 0 \cdot \frac12 + 1 \cdot \frac12 = \frac{1}{2}$.

Nella tabella della congiunta: si prende la colonna $Y = y$ e la si divide per la sua somma, cioè per la marginale $p_Y(y)$, in modo che sommi a $1$.

Esempio (urna): 2 nere e 3 bianche, due estrazioni senza reinserimento (Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →). Dato $Y = 1$ (seconda nera), la colonna è $(\frac{3}{10}, \frac{1}{10})$ con somma $\frac{4}{10}$, quindi $P(X = 0 \mid Y = 1) = \frac{3/10}{4/10} = \frac34$, $P(X = 1 \mid Y = 1) = \frac{1/10}{4/10} = \frac14$ e $E[X \mid Y = 1] = 0 \cdot \frac34 + 1 \cdot \frac14 = \frac14$. Si ritrova il conto diretto: se la seconda è nera, la prima è una delle altre 4 palline, di cui 1 nera.

Regola del prodotto rovesciata: $p_{X,Y}(x, y) = p_{X \mid Y}(x \mid y) \, p_Y(y)$. Molti esercizi danno la legge di $Y$ e la legge condizionata di $X$, e la congiunta si costruisce così.

Indipendenza: $X$ e $Y$ sono indipendenti se e solo se $p_{X \mid Y}(x \mid y) = p_X(x)$ per ogni $y$: conoscere $Y$ non cambia la legge di $X$.

Esempio d'esame: somma di un numero aleatorio di Bernoulli

(II parziale 15.01.2026, Esercizio 22 · somma di un numero geometrico di Bernoulli.) $X_1, X_2, \dots \sim \text{Be}(p)$ indipendenti, $T \sim \text{Geo}(q)$ indipendente da esse, $Y = X_1 + \dots + X_T$ (si fa un numero aleatorio $T$ di prove e si contano i successi).

Dato $T = n$, $Y$ è la somma di $n$ Bernoulli indipendenti (l'indipendenza di $T$ dalle $X_k$ permette di sostituire $T$ con $n$ senza cambiare la loro legge):

$$P(Y = j \mid T = n) = P(X_1 + \dots + X_n = j) = \binom nj p^j (1 - p)^{n - j}, \qquad j = 0, \dots, n.$$

Cioè $Y \mid T = n \sim \text{Bin}(n, p)$, e quindi $E[Y \mid T = n] = np$ (la somma di $n$ Bernoulli indipendenti di parametro $p$ è binomialeBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →, con media $np$).

Perché si può togliere il condizionamento. $P(Y = j \mid T = n) = \frac{P(X_1 + \dots + X_n = j, \ T = n)}{P(T = n)}$, e il numeratore si fattorizza in $P(X_1 + \dots + X_n = j) \, P(T = n)$ perché $X_1 + \dots + X_n$ è funzione delle sole $X_k$, indipendenti da $T$; il fattore $P(T = n)$ si semplifica.

Condizionamento al valore di una v.a. continua

Se $Y$ è continua, $P(Y = y) = 0$ e la definizione elementare non si può usare. Si definisce per analogia, con le densità al posto delle probabilità.

Definizione (densità e media condizionate a una v.a. continua). Sia $(X, Y)$ assolutamente continuo. Per ogni $y$ con $f_Y(y) > 0$, la densità di $X$ condizionata a $Y = y$ è $$f_{X \mid Y}(x \mid y) := \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_Y(y)},$$ e $E[X \mid Y = y] := \int x \, f_{X \mid Y}(x \mid y) \, dx$.

Esempio. $f_{X,Y} = 1$ sul quadrato $[0,1]^2$: $f_{X \mid Y}(x \mid y) = 1$ per $x \in [0,1]$, cioè $X \mid Y = y \sim U(0,1)$ e $E[X \mid Y = y] = \frac{1}{2}$.

Perché ha senso. Si condiziona a $\{y \le Y \le y + h\}$, che ha probabilità positiva, e si manda $h \to 0$: $P(X \le x \mid y \le Y \le y + h) \approx \frac{\int_{-\infty}^x f_{X,Y}(s, y) h \, ds}{f_Y(y) h}$, e le $h$ si semplificano. Le due approssimazioni vengono dal teorema della media integraleL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →: su un intervallo $[y, y + h]$ piccolo l'integrale di una funzione continua è circa il valore nel punto per la lunghezza $h$, quindi $$P(y \le Y \le y + h) = \int_y^{y+h} f_Y(t) \, dt \approx f_Y(y) h, \qquad P(X \le x, \ y \le Y \le y + h) = \int_{-\infty}^x \int_y^{y + h} f_{X,Y}(s, t) \, dt \, ds \approx h \int_{-\infty}^x f_{X,Y}(s, y) \, ds.$$ Il rapporto tende a $\int_{-\infty}^x \frac{f_{X,Y}(s, y)}{f_Y(y)} \, ds$: la funzione integrata è proprio $f_{X \mid Y}(s \mid y)$.

Geometricamente: si taglia la superficie $z = f_{X,Y}(x, y)$ con il piano verticale "$Y = y$" e si rinormalizza il profilo ottenuto perché abbia area $1$.

Esempio (II parziale 15.01.2026, Esercizio 17 · densità congiunta c(x+y) sul quadrato): $f(x, y) = \frac{x + y}{27}$ su $[0, 3]^2$, $f_Y(y) = \frac y9 + \frac16 = \frac{2y + 3}{18}$. Per $y \in [0, 3]$:

$$f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{(x + y)/27}{(2y + 3)/18} = \frac{2(x + y)}{3(2y + 3)} = \frac{2x + 2y}{6y + 9}, \qquad x \in [0, 3].$$

La marginale è quella calcolata in Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →, riscritta con denominatore comune: $\frac y9 + \frac16 = \frac{2y}{18} + \frac{3}{18}$. Nella divisione si moltiplica per il reciproco, $\frac{x + y}{27} \cdot \frac{18}{2y + 3}$, e $\frac{18}{27} = \frac23$.

Controllo: $\int_0^3 \frac{2x + 2y}{6y + 9} dx = \frac{1}{6y + 9}\big[x^2 + 2xy\big]_0^3 = \frac{9 + 6y}{6y + 9} = 1$ ✓. La densità condizionata dipende da $y$: altra conferma che $X$ e $Y$ non sono indipendenti.

Costruire la congiunta dalla condizionata: $f_{X,Y}(x, y) = f_{X \mid Y}(x \mid y) \, f_Y(y)$.

Esempio (II appello 12.02.2026, Esercizio 21 · densità condizionata e proprietà della torre): $Y$ ha densità $3y^2$ su $[0, 1]$ e, dato $Y = y$, $X$ è uniforme su $[0, y]$: $f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac1y \mathbb 1_{[0, y]}(x)$ (la densità uniforme su un intervallo è $\frac{1}{\text{lunghezza}}$ dentro e $0$ fuori, Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →; $\mathbb 1_{[0, y]}(x)$ vale $1$ se $0 \le x \le y$ e $0$ altrimenti). Allora $$f_{X,Y}(x, y) = \frac1y \cdot 3y^2 = 3y \quad \text{sul triangolo } \{0 \le x \le y \le 1\}.$$ Il triangolo nasce mettendo insieme i due vincoli: $0 \le y \le 1$ (dove $f_Y > 0$) e $0 \le x \le y$ (dove l'indicatrice vale $1$).

La media condizionata come variabile aleatoria

$E[X \mid Y = y]$ è un numero che dipende da $y$: chiamiamolo $h(y)$. Sostituendo $y$ con la v.a. $Y$ si ottiene una nuova v.a.:

Definizione (media condizionata come variabile aleatoria). $$E[X \mid Y] := h(Y), \qquad \text{dove } h(y) = E[X \mid Y = y].$$

Esempio. Se $E[X \mid Y = y] = \frac{y}{2}$, allora $E[X \mid Y] = \frac{Y}{2}$, una v.a. funzione di $Y$.

È la migliore previsione di $X$ che si può fare conoscendo $Y$. Esempi: se $X \mid Y = y \sim U(0, y)$, allora $h(y) = \frac y2$ e $E[X \mid Y] = \frac Y2$; se $Y \mid T = n \sim \text{Bin}(n, p)$, allora $E[Y \mid T] = pT$.

Proprietà della torre

Proprietà della torre (o della media iterata): $$E\big[E[X \mid Y]\big] = E[X].$$ Nel continuo: $E[X] = \int E[X \mid Y = y] \, f_Y(y) \, dy$; nel discreto: $E[X] = \sum_y E[X \mid Y = y] \, p_Y(y)$.

Esempio. $Y \sim U(0,1)$ e $E[X \mid Y] = \frac{Y}{2}$: $E[X] = E\left[\frac{Y}{2}\right] = \frac12 E[Y] = \frac12 \cdot \frac12 = \frac{1}{4}$.

Dimostrazione (caso continuo). $$\int E[X \mid Y = y] f_Y(y) \, dy = \int \left(\int x \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_Y(y)} dx\right) f_Y(y) \, dy = \iint x f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy = E[X]. \ \blacksquare$$

Il primo passaggio è la definizione di $E[X \mid Y = y]$; nel secondo $f_Y(y)$, che non dipende da $x$, entra nell'integrale interno e si semplifica, e i due integrali uno dentro l'altro sono un integrale doppio (FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →); l'ultimo è il valore medio di $g(X, Y) = X$ calcolato con la congiunta (Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →).

È la formula delle medie totali con infinite "cause" $\{Y = y\}$: si calcola la media in ogni scenario e poi si fa la media degli scenari, pesata con la loro probabilità.

Perché è utile: spesso $E[X \mid Y]$ è immediata (la legge condizionata è nota) mentre la legge di $X$ è complicata.

Esempio 1 (II appello 12.02.2026): $E[X \mid Y] = \frac Y2$ e $E[Y] = \int_0^1 y \cdot 3y^2 dy = \frac34$, quindi $$E[X] = E\left[\frac Y2\right] = \frac12 \cdot \frac34 = \frac38,$$ senza calcolare la marginale di $X$ (che è $\frac32(1 - x^2)$ e dà lo stesso risultato, controllo ✓). I conti: $\int_0^1 3y^3 \, dy = \frac34$; per il controllo $\int_0^1 x \cdot \frac32(1 - x^2) \, dx = \frac32\left(\frac12 - \frac14\right) = \frac32 \cdot \frac14 = \frac38$ ✓.

Esempio 2 (II parziale 15.01.2026): $E[Y \mid T] = pT$ e $E[T] = \frac1q$ (media della Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →), quindi per la torre e la linearità $E[Y] = E[pT] = pE[T] = \frac pq$. Si fanno in media $\frac1q$ prove e ognuna ha successo con probabilità $p$.

Versione generale. Per ogni funzione $g$: $E[g(X)] = E\big[E[g(X) \mid Y]\big]$. Con $g(x) = e^{i\theta x}$ si calcola la Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica → di somme aleatorie: nell'esempio 2, $E[e^{i\theta Y} \mid T = n] = a^n$ con $a = pe^{i\theta} + 1 - p$, quindi $\varphi_Y(\theta) = E[a^T]$, una serie geometrica.

I passaggi. Dato $T = n$, $e^{i\theta Y} = e^{i\theta X_1} \cdots e^{i\theta X_n}$, e la media di un prodotto di v.a. indipendenti è il prodotto delle medie; ciascuna vale $E[e^{i\theta X_k}] = p e^{i\theta} + (1 - p) e^0 = a$. Poi $$\varphi_Y(\theta) = \sum_{n \ge 1} a^n \, q(1 - q)^{n - 1} = qa \sum_{m \ge 0} \big((1 - q)a\big)^m = \frac{qa}{1 - (1 - q)a},$$ con $m = n - 1$ e la serie geometricaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $(1 - q)a$, che converge perché $|a| \le p + (1 - p) = 1$ e quindi $|(1 - q)a| \le 1 - q < 1$ (la serie geometrica con ragione complessa converge quando il modulo della ragione è minore di $1$, come per i reali).

Proprietà utili (dalla definizione): $E[g(Y) X \mid Y] = g(Y) E[X \mid Y]$ ("ciò che è noto esce dalla media condizionata"); se $X$ e $Y$ sono indipendenti, $E[X \mid Y] = E[X]$.

Vettore gaussiano condizionato

Teorema (vettore gaussiano condizionato). Se $(X, Y)$ è un vettore gaussiano con medie $m_1, m_2$, varianze $\sigma_1^2, \sigma_2^2 > 0$ e correlazione $\rho$, allora, dato $Y = y$, $$X \mid Y = y \ \sim \ N\left(m_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y - m_2), \ \ \sigma_1^2(1 - \rho^2)\right).$$ Equivalentemente $E[X \mid Y] = m_1 + \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(Y)}(Y - m_2)$.

Esempio. $(X,Y)$ gaussiano centrato con $\sigma_1 = \sigma_2 = 1$ e $\rho = \frac{1}{2}$: dato $Y = 2$, $X \sim N\left(\frac{1}{2} \cdot 2,\ 1 - \frac{1}{4}\right) = N\left(1, \frac{3}{4}\right)$. (Media: $m_1 = m_2 = 0$ e $\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac12$, quindi $0 + \frac12(2 - 0) = 1$; varianza $1 \cdot (1 - \rho^2) = 1 - \frac14$.)

Perché (idea). Si scrive $X = m_1 + c(Y - m_2) + W$ scegliendo $c = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(Y)}$ in modo che $W$ abbia covarianza nulla con $Y$: infatti, per bilinearità (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →; le costanti non contano), $\text{Cov}(W, Y) = \text{Cov}(X - cY, Y) = \text{Cov}(X, Y) - c\,\text{Var}(Y) = 0$. $(W, Y)$ è gaussiano (trasformazione lineare di $(X, Y)$), quindi $W$ e $Y$ non correlate sono indipendenti (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →). Dato $Y = y$, la parte $m_1 + c(y - m_2)$ è fissata e resta $W$, che per l'indipendenza ha la stessa legge di prima: gaussiana con media $E[X] - m_1 - c(E[Y] - m_2) = 0$ e varianza $$\text{Var}(W) = \text{Var}(X) - c^2\text{Var}(Y) = \sigma_1^2 - \frac{\rho^2\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_2^2} = \sigma_1^2(1 - \rho^2).$$ Il primo passaggio: $\text{Var}(X - cY) = \text{Var}(X) + c^2 \text{Var}(Y) - 2c\,\text{Cov}(X, Y)$, e siccome $\text{Cov}(X, Y) = c\,\text{Var}(Y)$ l'ultimo termine è $-2c^2\text{Var}(Y)$; in tutto $\text{Var}(X) - c^2 \text{Var}(Y)$. Nel secondo si usa $c = \frac{\rho\sigma_1\sigma_2}{\sigma_2^2} = \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}$, che è anche il coefficiente davanti a $(y - m_2)$ nella media del teorema.

Tre osservazioni.

• La media condizionata è una funzione lineare di $y$: è la retta di regressione.
• La varianza condizionata non dipende da $y$ ed è più piccola di $\sigma_1^2$ (se $\rho \ne 0$): osservare $Y$ riduce l'incertezza su $X$ di un fattore $1 - \rho^2$.
• Se $\rho = 0$ la legge condizionata è la marginale: $X$ e $Y$ sono indipendenti, come già visto in Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Esempio. $\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, $m = (1, -1)$: $c = \frac22 = 1$, quindi $X \mid Y = y \sim N(1 + (y + 1), \ 4 - 1^2 \cdot 2) = N(y + 2, \ 2)$. Qui $c = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(Y)} = \frac{\Sigma_{12}}{\Sigma_{22}}$ e $y - m_2 = y + 1$. Con $\rho^2 = \frac{2^2}{4 \cdot 2} = \frac12$ si ritrova la varianza $\sigma_1^2(1 - \rho^2) = 4 \cdot \frac12 = 2$: osservare $Y$ dimezza la varianza di $X$.

Riepilogo

Errori comuni

• Dividere per la marginale sbagliata: per condizionare a $Y = y$ si divide per $f_Y(y)$, non per $f_X(x)$.
• Dimenticare il supporto della condizionata: $f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac1y$ vale solo per $0 \le x \le y$.
• Trattare $E[X \mid Y]$ come un numero: è una v.a. (funzione di $Y$); è $E[X \mid Y = y]$ a essere un numero.
• Applicare la torre al contrario: $E[E[X \mid Y]]$ dà $E[X]$, non $E[Y]$.