Distribuzione gaussiana (normale)

Caso notevole del punto 3 del programma, il più importante di tutto il corso. Prerequisiti: Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →. Seguito: Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →, Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →.

Perché è ovunque

Il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale → dice che la somma di tante piccole cause indipendenti ha, approssimativamente, legge gaussiana, qualunque sia la legge delle singole cause. Il rumore termico in un circuito (somma dei contributi di moltissimi elettroni), gli errori di misura, l'altezza di una popolazione, il numero di teste in 100 lanci: tutti hanno distribuzione approssimativamente normale. Nelle telecomunicazioni il modello standard del rumore di canale è il rumore gaussiano.

Gaussiana standard $N(0, 1)$

Definizione (gaussiana standard). $Z \sim N(0, 1)$ se ha densità $$\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}, \qquad z \in \mathbb R.$$ La sua FdD si indica con $\Phi(z) = \displaystyle\int_{-\infty}^z \varphi(t) \, dt$.

Esempio. $Z \sim N(0,1)$: $\varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}399$ e $P(Z \le 0) = \Phi(0) = \frac{1}{2}$.

Perché la costante $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. Bisogna sapere che $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2} dz = \sqrt{2\pi}$. Il trucco classico: si calcola $I^2$ come integrale doppio e si passa in coordinate polarix = r cos θ, y = r sin θ con r ≥ 0 e θ in [0, 2π): l'elemento d'area dx dy diventa r dr dθ, dove r è il determinante jacobiano.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari → ($x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$):

$$I^2 = \int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R} e^{-(x^2 + y^2)/2} \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2/2} r \, dr \, d\theta = 2\pi \left[-e^{-r^2/2}\right]_0^\infty = 2\pi.$$

Passo per passo:

• Prima uguaglianza. $I^2 = I \cdot I = \int e^{-x^2/2}\,dx \cdot \int e^{-y^2/2}\,dy$ (la variabile di integrazione è muta, quindi la si può chiamare $y$ nel secondo fattore). Il prodotto di un integrale in $x$ e uno in $y$ è l'integrale doppio del prodotto (teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini → letto al contrario), e $e^{-x^2/2} e^{-y^2/2} = e^{-(x^2 + y^2)/2}$.
• Seconda. In polari $x^2 + y^2 = r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2$; tutto il piano si descrive con $r \in [0, \infty)$ e $\theta \in [0, 2\pi)$.
• Terza. L'integranda non dipende da $\theta$: l'integrale in $\theta$ dà il fattore $2\pi$. Per quello in $r$, $-e^{-r^2/2}$ è una primitiva di $r e^{-r^2/2}$ (la derivata di $-e^{-r^2/2}$ è $-e^{-r^2/2} \cdot (-r)$, regola della catenaDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →).
• Quarta. $\left[-e^{-r^2/2}\right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1$.

Infine $I > 0$ (integranda positiva), quindi da $I^2 = 2\pi$ segue $I = \sqrt{2\pi}$. Il fattore $r$ dello jacobiano è ciò che rende l'integrale calcolabile ($r e^{-r^2/2}$ ha primitiva elementare, $e^{-z^2/2}$ da sola no).

Proprietà di $\varphi$ e $\Phi$.

• $\varphi$ è pariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari → (simmetrica rispetto a $0$, perché dipende solo da $z^2$), con massimo $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}399$ in $z = 0$ e flessi in $z = \pm 1$. Il perché con le derivate: $\varphi'(z) = -z\,\varphi(z)$ (regola della catena), positiva per $z < 0$ e negativa per $z > 0$, quindi il massimo è in $0$; derivando ancora con la regola del prodotto, $\varphi''(z) = -\varphi(z) - z\varphi'(z) = (z^2 - 1)\varphi(z)$, che cambia segno esattamente in $z = \pm 1$: lì la curva passa da convessa a concava, cioè ha i flessif è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →.
• $\Phi$ non ha un'espressione elementare: i suoi valori si leggono dalle tavole (o si calcolano al computer). Per questo negli esercizi si lasciano i risultati "in funzione di $\Phi$".
• Simmetria: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Perché: per la parità di $\varphi$, l'area a sinistra di $-z$ è uguale all'area a destra di $z$, cioè $P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z)$. In formule, con la sostituzione $s = -t$: $\int_{-\infty}^{-z} \varphi(t)\,dt = \int_{z}^{+\infty} \varphi(-s)\,ds = \int_z^{+\infty} \varphi(s)\,ds$. In particolare, con $z = 0$, $\Phi(0) = 1 - \Phi(0)$, cioè $\Phi(0) = \frac12$; e le tavole riportano solo $z \ge 0$.
• Due code: $P(|Z| > c) = 2(1 - \Phi(c))$ e $P(|Z| \le c) = 2\Phi(c) - 1$. La seconda: $P(-c \le Z \le c) = \Phi(c) - \Phi(-c) = \Phi(c) - (1 - \Phi(c)) = 2\Phi(c) - 1$; la prima è il suo complementare, $1 - (2\Phi(c) - 1) = 2 - 2\Phi(c)$.

Media e varianza. $E[Z] = 0$ perché $z\varphi(z)$ è dispari (e integrabile). Più in dettaglio: $\int_0^\infty z e^{-z^2/2}\,dz = \big[-e^{-z^2/2}\big]_0^\infty = 1$ è finito, quindi $E[Z]$ esiste; e l'integrale di una funzione dispari su $(-\infty, \infty)$ è nullo, perché il contributo di $(-\infty, 0]$ è l'opposto di quello di $[0, \infty)$. Per la varianza, per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti → con $u = z$ ($du = dz$), $dv = z e^{-z^2/2}dz$ ($v = -e^{-z^2/2}$, la primitiva appena usata):

$$E[Z^2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int z \cdot z e^{-z^2/2} \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left( \left[-z e^{-z^2/2}\right]_{-\infty}^{\infty} + \int e^{-z^2/2} dz \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (0 + \sqrt{2\pi}) = 1.$$

Il termine di bordo è nullo perché $z e^{-z^2/2} \to 0$ per $z \to \pm\infty$ (l'esponenziale di $-z^2$ va a zero più in fretta di qualunque potenza), e l'integrale rimasto è $I = \sqrt{2\pi}$.

Quindi $\text{Var}(Z) = E[Z^2] - E[Z]^2 = 1 - 0 = 1$.

Valori di $\Phi$ da ricordare

Regola 68-95-99,7: $P(|Z| \le 1) \approx 0{,}683$, $P(|Z| \le 2) \approx 0{,}954$, $P(|Z| \le 3) \approx 0{,}997$ (dalla formula delle due code e dalla tabella: $2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826$, $2 \cdot 0{,}9772 - 1 = 0{,}9544$, $2 \cdot 0{,}99865 - 1 = 0{,}9973$). Una gaussiana sta quasi sempre entro tre deviazioni standard dalla media.

Gaussiana generale $N(\mu, \sigma^2)$

Definizione (gaussiana generale). $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, con $\mu \in \mathbb R$ e $\sigma > 0$, se $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \qquad x \in \mathbb R.$$ Allora $E[X] = \mu$ e $\text{Var}(X) = \sigma^2$.

Esempio. $X \sim N(3, 4)$ ha media $3$, varianza $4$ e deviazione standard $\sigma = 2$.

Media e varianza si ricavano senza integrare: come si vedrà sotto, $X = \mu + \sigma Z$ con $Z \sim N(0, 1)$, quindi $E[X] = \mu + \sigma \cdot 0 = \mu$ e $\text{Var}(X) = \sigma^2 \cdot 1$ (proprietà di Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →). Il massimo della densità è in $x = \mu$ e vale $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$: dimezzare $\sigma$ raddoppia l'altezza, perché l'area deve restare $1$.

$\mu$ sposta la campana (centro), $\sigma$ la allarga o la stringe (larghezza). Attenzione: il secondo parametro è la varianza $\sigma^2$, non la deviazione standard. $N(0, 4)$ ha $\sigma = 2$.

Trasformazioni affini e standardizzazione

Teorema (trasformazioni affini di una gaussiana). Se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ e $a \ne 0$, $b \in \mathbb R$, allora $$aX + b \sim N(a\mu + b, \ a^2\sigma^2).$$

Esempio. $X \sim N(1, 4)$: $3X - 2 \sim N(3 \cdot 1 - 2,\ 9 \cdot 4) = N(1, 36)$.

Dimostrazione (caso $a > 0$; per $a < 0$ è analoga). Sia $Y = aX + b$. Allora

$$F_Y(y) = P(aX + b \le y) = P\left(X \le \frac{y - b}{a}\right) = F_X\left(\frac{y - b}{a}\right).$$

Il secondo passaggio sottrae $b$ e divide per $a > 0$, operazioni che non cambiano il verso della disuguaglianza. Derivando (regola della catenaDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →: la derivata di $\frac{y - b}{a}$ rispetto a $y$ è $\frac1a$, e $F_X' = f_X$):

$$f_Y(y) = \frac1a f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) = \frac{1}{a\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{\left(\frac{y - b}{a} - \mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - b - a\mu)^2}{2a^2\sigma^2}\right),$$

che è la densità di $N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$. ∎

Nell'ultimo passaggio: $\frac{y - b}{a} - \mu = \frac{y - b - a\mu}{a}$, il cui quadrato porta un $a^2$ al denominatore dell'esponente; e $a\sqrt{2\pi\sigma^2} = \sqrt{a^2 \cdot 2\pi\sigma^2}$ perché $a > 0$. Il risultato ha la forma della densità gaussiana con centro $a\mu + b$ (il numero sottratto a $y$) e varianza $a^2\sigma^2$.

Caso $a < 0$. Dividendo per $a$ il verso si inverte: $F_Y(y) = P\big(X \ge \frac{y - b}{a}\big) = 1 - F_X\big(\frac{y - b}{a}\big)$, e derivando $f_Y(y) = -\frac1a f_X\big(\frac{y - b}{a}\big) = \frac{1}{|a|} f_X\big(\frac{y - b}{a}\big)$; da qui lo stesso conto con $|a|$ al posto di $a$ (il quadrato non vede il segno).

Che media e varianza siano quelle lo si sapeva già ($E[aX + b] = aE[X] + b$, $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$): la cosa nuova è che la legge resta gaussiana.

Standardizzazione. Con $a = \frac1\sigma$, $b = -\frac\mu\sigma$:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1).$$

Infatti la media diventa $a\mu + b = \frac\mu\sigma - \frac\mu\sigma = 0$ e la varianza $a^2\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$.

Viceversa $X = \mu + \sigma Z$. Ogni calcolo su una gaussiana qualsiasi si riduce quindi a $\Phi$:

Formula (standardizzazione di una gaussiana). $$P(X \le x) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right).$$

Esempio. $X \sim N(3, 4)$: $P(X \le 5) = \Phi\left(\frac{5 - 3}{2}\right) = \Phi(1) \approx 0{,}841$.

Metodo per gli esercizi

1. Identificare $\mu$ e $\sigma = \sqrt{\text{varianza}}$.
2. Riscrivere l'evento in termini di $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ (sottrarre $\mu$ e dividere per $\sigma > 0$ non cambia il verso delle disuguaglianze).
3. Usare $\Phi$, la simmetria $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ e il complementare $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$.

Esempio 1 (III appello 24.06.2026, Esercizio 20 · vettore gaussiano, combinazione lineare e correlazione): $U \sim N(3, 4)$, quindi $\sigma = 2$:

$$P(U > 5) = P\left(Z > \frac{5 - 3}{2}\right) = P(Z > 1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}159.$$

Esempio 2 (I appello 15.01.2026, Esercizio 18 · vettore gaussiano con covarianza diagonale): $V \sim N(0, 4)$:

$$P(|V| > 2) = P\left(|Z| > \frac22\right) = P(|Z| > 1) = 2(1 - \Phi(1)) \approx 0{,}317.$$

Esempio 3: trovare una soglia. Il rumore $X \sim N(0, \sigma^2)$ con $\sigma = 0{,}1$ V: sotto quale soglia $s$ resta il $95\%$ delle volte in modulo? Standardizzando, $P(|X| \le s) = P\big(|Z| \le \frac s\sigma\big) = 2\Phi(s/\sigma) - 1$ (formula delle due code). Si impone $2\Phi(s/\sigma) - 1 = 0{,}95$, cioè $\Phi(s/\sigma) = \frac{1 + 0{,}95}{2} = 0{,}975$; dalla tabella il valore con $\Phi = 0{,}975$ è $1{,}96$ (si legge la tabella "al contrario", dalla probabilità al punto), quindi $s/\sigma = 1{,}96$ e $s = 1{,}96 \cdot 0{,}1 = 0{,}196$ V.

Somme di gaussiane indipendenti

Teorema (somma di gaussiane indipendenti). Se $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ e $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ sono indipendenti, allora $$X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \ \sigma_1^2 + \sigma_2^2), \qquad aX + bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2, \ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2).$$

Esempio. $X \sim N(1, 4)$ e $Y \sim N(2, 5)$ indipendenti: $X + Y \sim N(3, 9)$.

Le medie si sommano sempre (linearità) e le varianze si sommano per l'indipendenza; la parte non ovvia è che la legge resta gaussiana. Si dimostra con la convoluzione (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →: la densità della somma è la convoluzioneIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà → delle densità, la stessa operazione dei segnali) o, molto più rapidamente, con la Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →, che è la trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi → della densità: la trasformata di una gaussiana è ancora una gaussiana, e la convoluzione diventa un prodotto. Per l'esempio: medie $1 + 2 = 3$, varianze $4 + 5 = 9$. Attenzione alla differenza: $X - Y \sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, le varianze si sommano anche nella differenza.

Il caso con $X, Y$ non indipendenti ma congiuntamente gaussiane è in Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Il quadrato di una gaussiana standard

Se $Z \sim N(0, 1)$, la legge di $Z^2$ è $\Gamma(\frac12, \frac12)$ (chi-quadro con un grado di libertà): il calcolo, che usa la FdD perché $z \mapsto z^2$ non è iniettiva, è in Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →. Collegamento con la Distribuzione gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma →.

Riepilogo

Errori comuni

• Dividere per la varianza invece che per la deviazione standard: con $N(3, 4)$ si divide per $2$, non per $4$.
• Sottrarre le varianze nella differenza: $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ per v.a. indipendenti.
• Scrivere $\Phi(-1) = -\Phi(1)$: $\Phi$ è una probabilità, sempre tra $0$ e $1$; la regola è $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$.
• Dimenticare il complementare: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$, non $\Phi(z)$.
• Pensare che la somma di due gaussiane sia sempre gaussiana: serve l'indipendenza (o che siano congiuntamente gaussiane).