Esercizio 9eventi A e B dalle probabilità delle intersezioni

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Lo strumento: i quattro "atomi"

Due eventi $A$ e $B$ dividono $\Omega$ in quattro pezzi disgiunti, che insieme coprono tutto:

Le quattro caselle formano una partizioneEventi disgiunti la cui unione è Ω.Spazio campionario ed eventi → di $\Omega$: ogni esito sta in $A$ o in $A^c$, e (indipendentemente) in $B$ o in $B^c$, quindi in una e una sola delle quattro intersezioni. Per additivitàSe due eventi sono disgiunti, la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità.Misura di probabilità e sue proprietà →:

• le quattro probabilità sommano a $1$;
• ogni riga somma alla probabilità dell'evento di riga: $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ (perché $A$ è l'unione disgiunta dei due pezzi);
• ogni colonna somma alla probabilità dell'evento di colonna.

Con tre caselle note la quarta si trova per differenza da $1$, e poi tutto il resto. È lo stesso schema delle tabelle delle densità congiunteTabella delle P(X = x, Y = y), con le marginali come somme di riga e colonna.Vettori aleatori discreti →.

Testo 1

Completare la tabella

Le quattro caselle sommano a $1$, quindi la casella mancante è $1$ meno le altre tre: $P(A \cap B) = 1 - \frac14 - \frac12 - \frac14 = 0$. Poi si sommano righe e colonne: $P(A) = 0 + \frac14$, $P(A^c) = \frac14 + \frac12$, $P(B) = 0 + \frac14$, $P(B^c) = \frac14 + \frac12$.

Quindi $P(A) = \frac14$, $P(B) = \frac14$, $P(A \cap B) = 0$: $A$ e $B$ sono incompatibili (a meno di un evento di probabilità nulla: $P(A \cap B) = 0$ non obbliga $A \cap B$ a essere vuoto, vedi Esercizio 2 · eventi di probabilità 0 e 1).

(a) Indipendenza

$A$ e $B$ sono indipendenti se $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. Qui

$$P(A \cap B) = 0 \ne \frac14 \cdot \frac14 = \frac1{16} = P(A)P(B).$$

$$\boxed{A \text{ e } B \text{ non sono indipendenti}}$$

Strada della soluzione ufficiale, equivalente: si controlla la coppia dei complementari, che è indipendente se e solo se lo è la coppia originale (Indipendenza di eventiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →). $P(A^c \cap B^c) = \frac12$, mentre $P(A^c)P(B^c) = \frac34 \cdot \frac34 = \frac9{16}$: diversi, quindi né $A^c, B^c$ né $A, B$ sono indipendenti. Questa via usa direttamente un dato del testo.

Intuizione. Due eventi incompatibili con probabilità positive non sono mai indipendenti: se si verifica $A$, si sa con certezza che $B$ non si è verificato, quindi l'informazione su $A$ cambia (eccome) la probabilità di $B$.

(b) $P(A \cup B)$

$A \cup B$ è "almeno uno dei due", il complementare di "nessuno dei due" $A^c \cap B^c$ (De MorganIl complementare di un'unione è l'intersezione dei complementari: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c.Operazioni tra insiemi →: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$), e si usa la regola del complementare $P(E) = 1 - P(E^c)$:

$$P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac12 = \frac12.$$

$$\boxed{P(A \cup B) = \frac12}$$

Controllo con la formula dell'unione (Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →): $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac14 + \frac14 - 0 = \frac12$ ✓. Oppure dalla tabella: $A \cup B$ è fatto dalle tre caselle diverse da $A^c \cap B^c$, $0 + \frac14 + \frac14 = \frac12$.

(c) $P(A \mid B)$

Definizione di Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata → (lecita perché $P(B) = \frac14 > 0$):

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{1/4} = 0.$$

$$\boxed{P(A \mid B) = 0}$$

Coerente con l'incompatibilità: sapendo che $B$ si è verificato, $A$ non può (quasi certamente) essersi verificato.

Testo 2

(a) $P(A^c \cap B^c)$

Ancora De Morgan: $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$, quindi

$$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac12 = \frac12.$$

$$\boxed{P(A^c \cap B^c) = \frac12}$$

(b) $P(A)$, $P(B)$ e indipendenza

Ora tre caselle sono note: $P(A \cap B) = 0$, $P(A^c \cap B) = \frac14$, $P(A^c \cap B^c) = \frac12$. La quarta: $P(A \cap B^c) = 1 - 0 - \frac14 - \frac12 = \frac14$.

È la stessa tabella del testo 1, con i dati presentati in un altro ordine. Somme di riga e di colonna:

$$\boxed{P(A) = \frac14, \qquad P(B) = 0 + \frac14 = \frac14}$$

(La soluzione ufficiale calcola prima $P(A^c) = P(A^c \cap B) + P(A^c \cap B^c) = \frac34$ e poi $P(A) = 1 - \frac34$.)

Indipendenza: $P(A \cap B) = 0 \ne \frac1{16} = P(A)P(B)$, quindi $A$ e $B$ non sono indipendenti.

Metodo

1. Disegnare la tabella $2 \times 2$ degli atomi.
2. Inserire i dati; usare De Morgan per tradurre unioni in intersezioni di complementari.
3. Completare con "somma $= 1$" e somme di riga/colonna.
4. Rispondere alle domande leggendo la tabella.

Errori comuni

• Confondere incompatibili e indipendenti: sono quasi opposti. Incompatibili con probabilità positive ⇒ non indipendenti.
• Scrivere $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ senza controllare che $P(A \cap B) = 0$ (qui per fortuna lo è).
• Sbagliare De Morgan: il complementare di $A \cup B$ è $A^c \cap B^c$, non $A^c \cup B^c$.