Esercizio 22somma di un numero geometrico di Bernoulli

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Che cosa rappresenta $Y$

$Y$ è una somma con un numero aleatorio di addendi. Un esempio concreto: un trasmettitore invia pacchetti finché il canale non si chiude; il numero di pacchetti inviati è $T \sim \text{Geo}(q)$ (il canale si chiude con probabilità $q$ dopo ogni pacchetto); ogni pacchetto arriva corretto con probabilità $p$, indipendentemente. $Y$ = numero di pacchetti arrivati corretti.

La difficoltà: $T$ è aleatorio, quindi $Y$ non è una binomiale. L'idea è condizionare a $T$: fissato il numero di addendi, tutto diventa noto.

(a) Legge di $Y$ dato $T = n$

Sull'evento $\{T = n\}$ si ha $Y = X_1 + \dots + X_n$. Quindi

$$P(Y = j \mid T = n) = P(X_1 + \dots + X_n = j \mid T = n) = P(X_1 + \dots + X_n = j).$$

L'ultimo passaggio usa l'indipendenza di $T$ dalle $X_k$: sapere che $T = n$ non cambia la legge di $X_1, \dots, X_n$, quindi si può togliere il condizionamento. Per esteso, con la definizione di Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →: $$P(X_1 + \dots + X_n = j \mid T = n) = \frac{P(X_1 + \dots + X_n = j,\ T = n)}{P(T = n)} = \frac{P(X_1 + \dots + X_n = j)\,P(T = n)}{P(T = n)},$$ dove la fattorizzazione al numeratore vale perché $X_1 + \dots + X_n$ è funzione delle sole $X_k$, e funzioni di v.a. indipendenti sono indipendenti (Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →).

$X_1 + \dots + X_n$ è la somma di $n$ Bernoulli indipendenti di parametro $p$, cioè il numero di successi in $n$ prove indipendenti: è una binomialeBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta → $\text{Bin}(n, p)$.

$$\boxed{P(Y = j \mid T = n) = \binom nj p^j(1 - p)^{n - j}, \quad j = 0, 1, \dots, n; \qquad Y \mid T = n \ \sim\ \text{Bin}(n, p)}$$

Sì, è una distribuzione nota: la binomiale (Densità e media condizionataLa densità condizionata di X dato Y = y è p(x, y)/p_Y(y) nel discreto e f(x, y)/f_Y(y) nel continuo; la sua media è E[X | Y = y], e E[X | Y] è la v.a. che si ottiene sostituendo y con Y. Proprietà della torre: E[E[X | Y]] = E[X]. Per un vettore gaussiano, X dato Y = y è gaussiana con media m₁ + (Cov/Var Y)(y − m₂) e varianza σ₁²(1 − ρ²).Densità e media condizionata →).

(b) Valor medio di $Y$

Proprietà della torre (Densità e media condizionataLa densità condizionata di X dato Y = y è p(x, y)/p_Y(y) nel discreto e f(x, y)/f_Y(y) nel continuo; la sua media è E[X | Y = y], e E[X | Y] è la v.a. che si ottiene sostituendo y con Y. Proprietà della torre: E[E[X | Y]] = E[X]. Per un vettore gaussiano, X dato Y = y è gaussiana con media m₁ + (Cov/Var Y)(y − m₂) e varianza σ₁²(1 − ρ²).Densità e media condizionata →): $E[Y] = E\big[E[Y \mid T]\big]$.

Passo 1. Dato $T = n$, $Y \sim \text{Bin}(n, p)$, che ha media $np$ (somma delle $n$ medie $E[X_k] = p$, per linearità): $$E[Y \mid T = n] = np \quad \Longrightarrow \quad E[Y \mid T] = pT$$ (si sostituisce il numero $n$ con la v.a. $T$).

Passo 2. Media di $pT$, con $E[T] = \frac1q$ (Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →: si aspettano in media $\frac1q$ prove per il primo successo) e la costante $p$ che esce dalla media: $$E[Y] = E[pT] = p\,E[T] = \frac pq.$$

$$\boxed{E[Y] = \frac pq}$$

Interpretazione: si fanno in media $\frac1q$ prove, ognuna con successo di probabilità $p$: in media $\frac pq$ successi. È la formula di WaldPer una somma di un numero aleatorio T di v.a. i.i.d. indipendenti da T: E[somma] = E[T] per E[X_1]. $E[Y] = E[T]\,E[X_1]$.

Attenzione: il risultato sembra ovvio, ma la linearità della media da sola non basta, perché il numero di addendi è aleatorio: serve il condizionamento.

(c) Funzione caratteristica di $Y$

Funzione caratteristica di Bernoulli e binomiale

Per $X \sim \text{Be}(p)$ (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →): $$a := \varphi_{\text{Be}(p)}(\theta) = E[e^{i\theta X}] = (1 - p)e^{i\theta\cdot 0} + p\,e^{i\theta\cdot 1} = pe^{i\theta} + 1 - p.$$

Per $\text{Bin}(n, p)$, somma di $n$ Bernoulli indipendenti, la funzione caratteristica è il prodotto: $\varphi_{\text{Bin}(n,p)}(\theta) = a^n$. Infatti $e^{i\theta(X_1 + \dots + X_n)} = e^{i\theta X_1} \cdots e^{i\theta X_n}$, e la media di un prodotto di funzioni di v.a. indipendenti è il prodotto delle medie, ciascuna uguale ad $a$.

Torre

Con la versione generale della proprietà della torre, $E[g(Y)] = E\big[E[g(Y) \mid T]\big]$, e $g(y) = e^{i\theta y}$:

$$\varphi_Y(\theta) = E\big[E[e^{i\theta Y} \mid T]\big].$$

Dato $T = n$, $Y \sim \text{Bin}(n, p)$, quindi $E[e^{i\theta Y} \mid T = n] = a^n$, cioè $E[e^{i\theta Y} \mid T] = a^T$. Resta da calcolare $E[a^T]$:

$$\varphi_Y(\theta) = E[a^T] = \sum_{k=1}^\infty a^k\,P(T = k) = \sum_{k=1}^\infty a^k(1 - q)^{k - 1}q.$$

Qui $a^T$ è una funzione di $T$ (con $\theta$ fissato $a$ è un numero complesso), e la sua media si calcola con il teorema fondamentale del valor medioE(g(T)) è la somma dei g(k) pesati con P(T = k).Valore atteso → e la densità geometrica $P(T = k) = q(1 - q)^{k - 1}$, $k \ge 1$.

La serie geometrica

Si raccoglie $qa$ (scrivendo $a^k = a \cdot a^{k-1}$, così che $a^{k-1}(1 - q)^{k-1} = \big((1 - q)a\big)^{k-1}$) e si pone $j = k - 1$, che parte da $0$ quando $k$ parte da $1$; poi si usa la serie geometricaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → $\sum_{j \ge 0} z^j = \frac{1}{1 - z}$ con $z = (1 - q)a$:

$$\sum_{k=1}^\infty a^k(1 - q)^{k-1}q = qa\sum_{k=1}^\infty \big((1 - q)a\big)^{k-1} = qa\sum_{j=0}^\infty\big((1 - q)a\big)^j = \frac{qa}{1 - (1 - q)a}.$$

Convergenza. La serie geometrica (anche complessa) converge se la ragione ha modulo $< 1$: le somme parziali sono $\frac{1 - z^{N+1}}{1 - z}$ e $|z^{N+1}| = |z|^{N+1} \to 0$ (per il modulo dei complessi vedi Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →). Qui $|a| = |\varphi_{\text{Be}(p)}(\theta)| \le 1$ (ogni funzione caratteristica ha modulo al più $1$; direttamente, per la disuguaglianza triangolare $|pe^{i\theta} + 1 - p| \le p|e^{i\theta}| + 1 - p = p + 1 - p = 1$) e $1 - q < 1$, quindi $|(1 - q)a| \le 1 - q < 1$ ✓.

$$\boxed{\varphi_Y(\theta) = \frac{qa}{1 - (1 - q)a}, \qquad a = pe^{i\theta} + 1 - p}$$

È la funzione $E[s^T] = \frac{qs}{1 - (1 - q)s}$ della Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica → calcolata in $s = a$.

Controlli.

• $\theta = 0$: $a = 1$, $\varphi_Y(0) = \frac{q}{1 - (1 - q)} = 1$ ✓.
• Media: $E[Y] = -i\varphi_Y'(0)$ (la derivata in $0$ della funzione caratteristica dà $i E[Y]$, vedi i momenti in Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →). Derivando $\varphi_Y = \frac{qa}{1 - (1 - q)a}$ rispetto ad $a$ con la regola del quoziente (Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →) si ottiene $$\frac{q\big(1 - (1 - q)a\big) - qa \cdot \big(-(1 - q)\big)}{\big(1 - (1 - q)a\big)^2} = \frac{q - q(1 - q)a + q(1 - q)a}{\big(1 - (1 - q)a\big)^2} = \frac{q}{\big(1 - (1 - q)a\big)^2},$$ che in $a = 1$ vale $\frac{q}{q^2} = \frac1q$; e $\frac{da}{d\theta} = ipe^{i\theta}$, che in $0$ vale $ip$. Per la regola della catena $\varphi_Y'(0) = \frac1q \cdot ip = \frac{ip}{q}$ e $E[Y] = -i\cdot\frac{ip}{q} = -i^2 \frac pq = \frac pq$ ✓, come in (b).

Un'osservazione in più (non richiesta). Posto $r = p + q - pq$, sostituendo $a$ e semplificando si verifica che $$\varphi_Y(\theta) = \pi + (1 - \pi)\,\frac{\beta e^{i\theta}}{1 - (1 - \beta)e^{i\theta}}, \qquad \pi = \frac{q(1 - p)}{r}, \quad \beta = \frac qr.$$ Per l'unicità della funzione caratteristica: $Y$ vale $0$ con probabilità $\pi$ (nessun successo prima che il canale si chiuda) e, altrimenti, è una $\text{Geo}(\beta)$. Riconoscere la forma della funzione caratteristica basta a identificare la legge. (La costante $\pi$ ha funzione caratteristica costante perché $e^{i\theta \cdot 0} = 1$, e $\frac{\beta e^{i\theta}}{1 - (1 - \beta)e^{i\theta}}$ è quella di $\text{Geo}(\beta)$, cioè la formula di sopra con $s = e^{i\theta}$.)

Controllo diretto di $P(Y = 0)$. Con la formula delle probabilità totaliSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → su $T$: $P(Y = 0) = \sum_{n \ge 1} P(T = n)(1 - p)^n = q(1 - p)\sum_{n \ge 1}\big((1 - q)(1 - p)\big)^{n-1} = \frac{q(1 - p)}{1 - (1 - q)(1 - p)}$, e il denominatore è $1 - (1 - p - q + pq) = p + q - pq = r$ ✓. Controllo della media: $E[Y] = (1 - \pi)\frac1\beta = \frac{r - q + pq}{r} \cdot \frac rq = \frac{p}{q}$ ✓ (con $r - q + pq = p$).

Errori comuni

• Scrivere $Y \sim \text{Bin}(T, p)$ come se fosse una legge: lo è solo condizionatamente a $T$; la legge di $Y$ è un'altra.
• Calcolare $E[Y] = E[T]\cdot p$ "per linearità" senza giustificazione: il risultato è giusto, ma va motivato con la torre (o con Wald).
• Partire la serie da $k = 0$: la geometrica del corso parte da $1$.
• Dimenticare di verificare che la serie converge.