Esercizio 17densità congiunta c(x+y) sul quadrato

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(a) La costante $c$

Su un quadrato $x + y \ge 0$ e $c > 0$, quindi $f \ge 0$. Resta la normalizzazione $\iint_{\mathbb R^2} f = 1$ (Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →). Fuori dal quadrato $f = 0$, quindi si integra solo su $[0, 3]^2$. L'integrale doppio su un rettangolo si calcola come due integrali semplici uno dentro l'altro, nell'ordine che si preferisce (Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →).

Integrale interno (in $x$, con $y$ fissato, che si tratta come una costante):

$$\int_0^3 (x + y)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + xy\right]_{x=0}^{x=3} = \frac92 + 3y.$$

(Una primitiva di $x$ è $\frac{x^2}{2}$, una primitiva della costante $y$ è $yx$; in $x = 3$ vale $\frac92 + 3y$, in $x = 0$ vale $0$.)

Integrale esterno (in $y$):

$$\int_0^3\left(\frac92 + 3y\right)dy = \frac92\cdot 3 + 3\cdot\frac92 = \frac{27}{2} + \frac{27}{2} = 27.$$

(La costante $\frac92$ integrata su un intervallo lungo $3$ dà $\frac92 \cdot 3$; $\int_0^3 3y \, dy = 3\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^3 = 3 \cdot \frac92$.)

Quindi $c\cdot 27 = 1$:

$$\boxed{c = \frac{1}{27}}$$

Controllo veloce. Per simmetria $\iint x = \iint y$ (scambiando i nomi delle variabili il quadrato non cambia), e $\iint x\,dx\,dy = \left(\int_0^3 x\,dx\right)\cdot\left(\int_0^3 dy\right) = \frac92\cdot 3 = \frac{27}{2}$ (integrale di un prodotto di una funzione di $x$ per una di $y$, qui la costante $1$, su un rettangolo); il totale è $2 \cdot \frac{27}{2} = 27$ ✓.

(b) Densità marginali

Marginale di $X$. Si integra la congiunta in $y$ (Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →): $f_X(x) = \int_{\mathbb R} f(x, y)\,dy$.

• Se $x \notin [0, 3]$, $f(x, y) = 0$ per ogni $y$, quindi $f_X(x) = 0$.
• Se $x \in [0, 3]$, $f(x, y) \ne 0$ solo per $y \in [0, 3]$ (supporto rettangolare: gli estremi non dipendono da $x$): $$f_X(x) = \frac{1}{27}\int_0^3 (x + y)\,dy = \frac{1}{27}\left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_0^3 = \frac{1}{27}\left(3x + \frac92\right) = \frac x9 + \frac16.$$ Nell'ultimo passaggio $\frac{3x}{27} = \frac x9$ e $\frac{9/2}{27} = \frac{9}{54} = \frac16$.

$$\boxed{f_X(x) = \left(\frac x9 + \frac16\right)\mathbb 1_{[0,3]}(x)}$$

Marginale di $Y$. La densità è simmetrica in $x$ e $y$ ($f(x, y) = f(y, x)$), quindi lo stesso calcolo con i ruoli scambiati dà

$$\boxed{f_Y(y) = \left(\frac y9 + \frac16\right)\mathbb 1_{[0,3]}(y)}$$

Controllo: $\int_0^3\left(\frac x9 + \frac16\right)dx = \frac{9}{18} + \frac36 = \frac12 + \frac12 = 1$ ✓ (con $\int_0^3 \frac x9 dx = \frac19 \cdot \frac92$ e $\int_0^3 \frac16 dx = \frac36$).

(c) Non indipendenza e densità condizionata

Non indipendenza

$X$ e $Y$ sarebbero indipendenti se $f(x, y) = f_X(x)f_Y(y)$ per (quasi) ogni $(x, y)$. Basta trovare una zona in cui non vale. Nel punto $(0, 0)$:

$$f(0, 0) = \frac{1}{27}(0 + 0) = 0, \qquad f_X(0)\,f_Y(0) = \frac16\cdot\frac16 = \frac1{36} \ne 0.$$

E non è un caso isolato: vicino a $(0, 0)$ la congiunta è circa $0$ mentre il prodotto delle marginali è circa $\frac1{36}$, quindi la disuguaglianza vale su tutto un intorno (che ha area positiva).

$$\boxed{X \text{ e } Y \text{ non sono indipendenti}}$$

Altro modo di vederlo. $\frac{x + y}{27}$ è una somma, non un prodotto $g(x)h(y)$: non si fattorizza. In concreto, con $f_X(x) = \frac{2x + 3}{18}$ e $f_Y(y) = \frac{2y + 3}{18}$ (denominatore comune), $f_X(x)f_Y(y) = \frac{(2x + 3)(2y + 3)}{324} = \frac{4xy + 6x + 6y + 9}{324}$ contiene il termine $xy$, che in $\frac{x + y}{27}$ non c'è: due polinomi uguali su tutto il quadrato dovrebbero avere gli stessi coefficienti.

Densità di $X$ condizionata a $Y = y$

Definizione (Densità e media condizionataLa densità condizionata di X dato Y = y è p(x, y)/p_Y(y) nel discreto e f(x, y)/f_Y(y) nel continuo; la sua media è E[X | Y = y], e E[X | Y] è la v.a. che si ottiene sostituendo y con Y. Proprietà della torre: E[E[X | Y]] = E[X]. Per un vettore gaussiano, X dato Y = y è gaussiana con media m₁ + (Cov/Var Y)(y − m₂) e varianza σ₁²(1 − ρ²).Densità e media condizionata →): per $y$ con $f_Y(y) > 0$, cioè $y \in [0, 3]$,

$$f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)}.$$

Scrivendo $f_Y(y) = \frac y9 + \frac16 = \frac{2y + 3}{18}$:

$$f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{\frac{1}{27}(x + y)}{\frac{2y + 3}{18}} = \frac{18(x + y)}{27(2y + 3)} = \frac{2(x + y)}{3(2y + 3)}, \qquad x \in [0, 3].$$ (Dividere per una frazione è moltiplicare per la reciproca; poi $\frac{18}{27} = \frac23$, semplificando per $9$.)

$$\boxed{f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{2x + 2y}{6y + 9}\,\mathbb 1_{[0,3]}(x), \qquad y \in [0, 3]}$$

Controllo: per ogni $y$ fissato è una densità in $x$: $$\int_0^3\frac{2x + 2y}{6y + 9}dx = \frac{1}{6y + 9}\Big[x^2 + 2xy\Big]_{x=0}^{x=3} = \frac{9 + 6y}{6y + 9} = 1 \ ✓$$ (il denominatore non dipende da $x$ ed esce dall'integrale).

Lettura. Per $y = 0$: $f_{X \mid Y}(x \mid 0) = \frac{2x}{9}$, che cresce da $0$ a $\frac23$: se $Y$ è piccola, $X$ tende a essere grande. Per $y = 3$: $\frac{2x + 6}{27}$, quasi piatta. La legge di $X$ cambia a seconda del valore di $Y$: è un'altra conferma che non sono indipendenti (se lo fossero, la condizionata sarebbe sempre uguale alla marginale).

Media condizionata (non richiesta, ma utile): $$E[X \mid Y = y] = \int_0^3 x\frac{2x + 2y}{6y + 9}dx = \frac{18 + 9y}{6y + 9} = \frac{3(y + 2)}{2y + 3},$$ perché $\int_0^3 (2x^2 + 2xy)\,dx = \left[\frac{2x^3}{3} + x^2 y\right]_0^3 = 18 + 9y$, e poi si raccoglie $3$ sopra e sotto. Vale $2$ per $y = 0$ e $\frac{15}{9} = \frac53$ per $y = 3$, ed è decrescente in $y$: la derivata (regola del quozienteDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →) è $\frac{3(2y + 3) - 3(y + 2) \cdot 2}{(2y + 3)^2} = \frac{-3}{(2y + 3)^2} < 0$. Questo è coerente con la covarianza negativa $\text{Cov}(X, Y) = -\frac1{16}$ calcolata in Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui → (vedi Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →).

Controllo con la proprietà della torreLa densità condizionata di X dato Y = y è p(x, y)/p_Y(y) nel discreto e f(x, y)/f_Y(y) nel continuo; la sua media è E[X | Y = y], e E[X | Y] è la v.a. che si ottiene sostituendo y con Y. Proprietà della torre: E[E[X | Y]] = E[X]. Per un vettore gaussiano, X dato Y = y è gaussiana con media m₁ + (Cov/Var Y)(y − m₂) e varianza σ₁²(1 − ρ²).Densità e media condizionata →: $\int_0^3 \frac{3(y + 2)}{2y + 3} \cdot \frac{2y + 3}{18} \, dy = \frac16 \int_0^3 (y + 2) \, dy = \frac16\left(\frac92 + 6\right) = \frac{21}{12} = \frac74 = E[X]$ ✓.

Errori comuni

• Integrare in $x$ e poi dimenticare di integrare in $y$, trovando una "costante" che dipende da $y$.
• Scrivere le marginali senza indicatrice.
• Dimostrare la non indipendenza con un solo punto senza osservare che la disuguaglianza vale su un insieme di area positiva (le densità sono definite a meno di insiemi di area nulla). Va bene un punto in cui entrambe le funzioni sono continue, come $(0, 0)$.
• Dividere per $f_X(x)$ invece che per $f_Y(y)$ nella condizionata.